회로 법칙과 에너지 저장

목표

• 스위칭 회로(switched circuit)에 키르히호프 전류 법칙과 전압 법칙(Kirchhoff’s current and voltage laws)을 한 구간씩 적용합니다.
• 일정한 전압 또는 전류가 가해질 때 인덕터 전류와 커패시터 전압이 얼마나 변하는지 계산합니다.
• 인덕터 전류와 커패시터 전압이 순간적으로 변할 수 없는 이유와, 이 성질이 스위치 동작에 미치는 영향을 설명합니다.

이론

키르히호프 법칙

노드(node)로 들어가는 전류의 합은 0이고(키르히호프 전류 법칙), 닫힌 루프(loop)를 따라 전압을 모두 더하면 0입니다(키르히호프 전압 법칙) [Alexander & Sadiku 2017, Ch. 2]. 스위칭 컨버터는 스위칭 주기(switching period)의 구간마다 다른 선형 회로가 됩니다. 한 구간 안에서는 두 법칙이 적용되며, 아래의 소자 법칙(element law)이 구간과 구간을 이어 줍니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 2].

일정한 전압이 걸린 인덕터

인덕터 양단의 전압은 인덕턴스에 인덕터 전류의 변화율을 곱한 값입니다 [Alexander & Sadiku 2017, Ch. 6]. 양단 전압이 일정하면 전류는 시간에 대해 선형적으로 변합니다.

$$\Delta i = \frac{V_L t}{L}$$

$\Delta i$

인덕터 전류 변화량

$L$

인덕턴스

$V_L$

인덕터 전압

$t$

지속 시간

일정한 전압이 걸린 인덕터의 전류 변화✓ 테스트 7개로 검증됨

가정, 표기 규약, 출처

가정

• 이상적(무손실) 스위치와 수동 소자
• 구간 t 동안 전압(인덕터) 또는 전류(커패시터)가 일정함

비고

인덕터 법칙을 적분한 결과이며, 전압이 일정한 동안 전류는 직선으로 변합니다. 컨버터 페이지의 $\Delta i_L$(리플의 절반)이 아니라 전체 변화량입니다

출처

Alexander & Sadiku 2017, Ch. 6 (Capacitors and Inductors)

유도

sympy 단계별 유도

수식 id

ind.di · equations.yaml 항목

이는 구간 동안의 전체 변화량이며, 컨버터 페이지에서는 리플의 절반(half-ripple) $\Delta i_L$, 즉 피크-피크(peak-to-peak) 변화량의 절반을 사용합니다(Erickson의 규약).

일정한 전류가 흐르는 커패시터

쌍대(dual) 법칙에 따르면 커패시터로 흘러 들어가는 전류는 커패시턴스에 커패시터 전압의 변화율을 곱한 값입니다. 따라서 전류가 일정하면 전압은 선형적으로 변합니다 [Alexander & Sadiku 2017, Ch. 6].

$$\Delta v_C = \frac{I_C t}{C}$$

$\Delta v_C$

커패시터 전압 변화량

$C$

커패시턴스(출력 커패시터)

$I_C$

커패시터 전류

$t$

지속 시간

일정한 전류가 흐르는 커패시터의 전압 변화✓ 테스트 7개로 검증됨

가정, 표기 규약, 출처

가정

• 이상적(무손실) 스위치와 수동 소자
• 구간 t 동안 전압(인덕터) 또는 전류(커패시터)가 일정함

비고

커패시터 법칙을 적분한 결과로, 인덕터 법칙의 쌍대입니다

출처

Alexander & Sadiku 2017, Ch. 6 (Capacitors and Inductors)

유도

sympy 단계별 유도

수식 id

cap.dv · equations.yaml 항목

저장 에너지

인덕터는 자계(magnetic field)에, 커패시터는 전계(electric field)에 에너지를 저장합니다 [Alexander & Sadiku 2017, Ch. 6].

$$E_L = \frac{L I_L^{2}}{2}$$

$E_L$

인덕터에 저장된 에너지

$I_L$

인덕터 직류 전류

$L$

인덕턴스

인덕터에 저장된 에너지✓ 테스트 7개로 검증됨

가정, 표기 규약, 출처

가정

• 이상적(무손실) 스위치와 수동 소자
• 선형(비포화) 자성 재료

출처

Alexander & Sadiku 2017, Ch. 6 (Capacitors and Inductors)

유도

sympy 단계별 유도

수식 id

ind.E · equations.yaml 항목

$$E_C = \frac{C V_C^{2}}{2}$$

$E_C$

커패시터에 저장된 에너지

$C$

커패시턴스(출력 커패시터)

$V_C$

커패시터 전압

커패시터에 저장된 에너지✓ 테스트 7개로 검증됨

가정, 표기 규약, 출처

가정

• 이상적(무손실) 스위치와 수동 소자

출처

Alexander & Sadiku 2017, Ch. 6 (Capacitors and Inductors)

유도

sympy 단계별 유도

수식 id

cap.E · equations.yaml 항목

인덕터 전류와 커패시터 전압은 순간적으로 변할 수 없습니다. 값이 순간적으로 바뀌려면 저장 에너지(stored energy)도 순간적으로 바뀌어야 하기 때문입니다 [Alexander & Sadiku 2017, Ch. 6]. 따라서 트랜지스터가 꺼질 때 인덕터 전류는 어딘가로 계속 흘러야 하며, 컨버터는 다이오드나 두 번째 스위치를 통해 이 전류에 경로를 제공합니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 4]. 또한 정상상태(steady state)에서는 전류가 매 주기 끝에 시작 값으로 돌아오며, 이것이 전압-초 평형(volt-second balance)입니다.

풀이 예제

일정한 전압이 걸린 인덕터와 일정한 전류가 흐르는 커패시터 예제입니다.

인덕터·커패시터 예제

기호	값	구하는 방법
$V_L$ 인덕터 전압	12 V	주어진 값
$t$ 지속 시간	5 µs	주어진 값
$L$ 인덕턴스	100 µH	주어진 값
$I_C$ 커패시터 전류	1.2 A	주어진 값
$C$ 커패시턴스(출력 커패시터)	10 µF	주어진 값
$I_L$ 인덕터 직류 전류	2 A	주어진 값
$V_C$ 커패시터 전압	12 V	주어진 값
$\Delta i$ 인덕터 전류 변화량	600 mA	일정한 전압이 걸린 인덕터의 전류 변화
$\Delta v_C$ 커패시터 전압 변화량	600 mV	일정한 전류가 흐르는 커패시터의 전압 변화
$E_L$ 인덕터에 저장된 에너지	200 µJ	인덕터에 저장된 에너지
$E_C$ 커패시터에 저장된 에너지	720 µJ	커패시터에 저장된 에너지

구간 동안 인덕터 전류는 600 mA만큼, 커패시터 전압은 600 mV만큼 상승합니다. 주어진 전류에서 인덕터가 저장하는 에너지는 200 µJ이며, 주어진 전압에서 커패시터가 저장하는 에너지는 720 µJ입니다.

직접 해 보기

▶ 수식 탐색기에서 열기: 일정한 전압이 걸린 인덕터의 전류 변화
초기값을 가져온 예제 lc-elements

$L$을 로그 범위에 걸쳐 스윕(sweep)하십시오. 전류 변화량은 인덕턴스에 반비례하여 줄어듭니다. 이것이 전압과 스위칭 주파수(switching frequency)가 같을 때 인덕터가 클수록 전류 리플(current ripple)이 작아지는 이유입니다.

벤치 실습

저항과 인덕터의 직렬 회로를 함수 발생기(function generator)의 구형파(square wave)로 구동하되, 구형파의 주기는 인덕턴스를 저항으로 나눈 값보다 훨씬 짧게 하십시오. 그러면 전류 프로브(current probe)로 관찰한 인덕터 전류는 삼각파에 가깝습니다. 각 반주기 동안 인덕터에 거의 일정한 전압이 걸리기 때문입니다. 각 램프(ramp)의 기울기를 측정하고, 측정한 인덕터 양단 전압을 인덕터 식에 넣어 얻은 값과 비교하십시오. 인덕터 대신 커패시터를 넣고, 주기를 저항과 커패시턴스의 곱보다 훨씬 짧게 하여, 커패시터 양단 전압을 대상으로 같은 과정을 반복하십시오.

주의할 점

• 리플의 절반은 말 그대로 절반입니다. 이 페이지의 변화량은 구간 동안의 전체 변화량이며, 컨버터 페이지의 $\Delta i_L$은 피크-피크 리플의 절반입니다. 두 규약을 섞으면 결과가 두 배가 되거나 절반이 됩니다.
• 인덕터 전류에는 항상 경로가 있어야 합니다. 인덕터 전류는 순간적으로 멈출 수 없습니다 [Alexander & Sadiku 2017, Ch. 6]. 따라서 유일한 경로를 끊으면 무언가가 도통(conduction)할 때까지 스위치 양단에 큰 전압이 걸립니다.
• 방전된 커패시터를 강한 전원(stiff source)에 연결하면 서지 전류(surge)가 흐릅니다. 커패시터 전압은 급변할 수 없습니다 [Alexander & Sadiku 2017, Ch. 6]. 따라서 커패시터를 전압원에 직접 연결하면 루프 안의 저항으로만 제한되는 전류가 흐릅니다.

더 알아보기

• 강좌 6.002 Circuits and Electronics (Spring 2007) — A. Agarwal, MIT OpenCourseWare (course content by A. Agarwal and J. H. Lang) · 확인일 2026-09-23
  동영상 강의, 강의 노트, 연습 문제를 갖춘 MIT의 첫 회로 과목.
• 강의 노트 6.002 Lecture Notes — A. Agarwal, MIT OpenCourseWare · 확인일 2026-09-23
  회로 법칙, 에너지 저장 소자, 정현파 정상상태를 다루는 강의별 노트(2000년 가을 학기 자료).

퀴즈

1. $100\,\mu\mathrm{H}$ 인덕터 양단에 $4\,\mu\mathrm{s}$ 동안 일정한 $5\,\mathrm{V}$가 걸립니다. 인덕터 전류는 얼마나 변합니까?

   1. $0.02\,\mathrm{A}$
   2. $0.2\,\mathrm{A}$
   3. $2\,\mathrm{A}$
   4. $20\,\mathrm{A}$
   정답과 해설

   정답: B 전류는 전압을 인덕턴스로 나눈 변화율, 즉 $5 \times 10^4\,\mathrm{A/s}$로 $4\,\mu\mathrm{s}$ 동안 변합니다.

2. $10\,\mu\mathrm{F}$ 커패시터를 일정한 $2\,\mathrm{mA}$로 $1\,\mathrm{ms}$ 동안 충전합니다. 커패시터 전압은 얼마나 상승합니까?

   1. $0.02\,\mathrm{V}$
   2. $0.2\,\mathrm{V}$
   3. $2\,\mathrm{V}$
   4. $20\,\mathrm{V}$
   정답과 해설

   정답: B 전달된 전하는 전류와 시간의 곱인 $2\,\mu\mathrm{C}$이며, 이를 커패시턴스로 나누면 전압 변화량이 됩니다.

3. $1\,\mathrm{mH}$ 인덕터는 $3\,\mathrm{A}$에서 얼마의 에너지를 저장합니까?

   1. $1.5\,\mathrm{mJ}$
   2. $3\,\mathrm{mJ}$
   3. $4.5\,\mathrm{mJ}$
   4. $9\,\mathrm{mJ}$
   정답과 해설

   정답: C 인덕턴스의 절반에 전류의 제곱을 곱한 값, 즉 $0.5 \times 10^{-3} \times 9$입니다.

4. 이상적인 인덕터에서 순간적으로 변할 수 없는 양은 무엇입니까?

   1. 전압
   2. 전류
   3. 전압과 전류 모두
   4. 둘 다 아님
   정답과 해설

   정답: B 저장 에너지는 전류에 따라 정해지며, 전류가 급변하려면 무한대의 전압이 필요합니다. 반면 전압은 급변할 수 있으며, 실제로 스위칭 에지마다 급변합니다.

5. 인덕터 양단의 일정한 전압을 두 배로 높입니다. 전류의 변화율은 어떻게 됩니까?

   1. 절반이 됨
   2. 변하지 않음
   3. 두 배가 됨
   4. 네 배가 됨
   정답과 해설

   정답: C 전류의 변화율은 전압을 인덕턴스로 나눈 값입니다.

6. 벅 컨버터에서 인덕터 전류가 온 구간 동안 $0.4\,\mathrm{A}$만큼 상승합니다. 컨버터 페이지에서 사용하는 리플의 절반 $\Delta i_L$은 얼마입니까?

   1. $0.1\,\mathrm{A}$
   2. $0.2\,\mathrm{A}$
   3. $0.4\,\mathrm{A}$
   4. $0.8\,\mathrm{A}$
   정답과 해설

   정답: B 온 구간 동안의 상승분은 피크-피크 리플이며, $\Delta i_L$은 그 절반입니다(Erickson의 규약).