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스위칭 컨버터 스터디

소신호 모델

목표

섹션 제목: “목표”
  • 소신호 모델(small-signal model)이 무엇이며 언제 유효한지 설명합니다.
  • 벅 컨버터의 제어-출력 전달함수(control-to-output transfer function)를 직류 이득(dc gain), 이중 극점(double pole), 품질 계수(quality factor)로 설명합니다.
  • 회로 값으로부터 Gd0G_{d0}, ω0\omega_0, QQ를 계산하고 공진 피크(resonant peak)를 예측합니다.

이론

섹션 제목: “이론”

섭동(perturbation)과 선형화(linearization)

섹션 제목: “섭동(perturbation)과 선형화(linearization)”

듀티비(duty ratio)가 전압과 전류에 곱해지므로 컨버터의 평균 모델(averaged model)은 비선형입니다. 피드백 루프를 설계하려면 동작점(operating point) 주위의 작은 변동에 대한 모델의 응답이 필요합니다. 각 물리량을 직류 값과 작은 교류 변동의 합으로 씁니다. 예를 들어 듀티비는 DD와 d^(t)\hat{d}(t)의 합입니다. 두 교류 변동의 곱은 버립니다. 남는 것은 선형 회로, 즉 소신호 모델이며, 이 모델은 직류 값보다 훨씬 작은 변동과 스위칭 주파수(switching frequency)보다 훨씬 낮은 주파수에서 유효합니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 7].

벅의 제어-출력 전달함수

섹션 제목: “벅의 제어-출력 전달함수”

벅에서 듀티비는 스위치 노드 전압에 직접 작용하고, 이 전압을 L-C 필터와 부하가 이어서 걸러 냅니다. 따라서 d^\hat{d}에서 출력 전압 변동까지의 제어-출력 전달함수 Gvd(s)G_{vd}(s)는 직류 이득 뒤에 2차 저역통과(low-pass) 응답이 이어지는 형태입니다. 이 응답은 필터의 공진 각주파수(resonant angular frequency) ω0\omega_0에 있는 한 쌍의 극점으로 이루어지며, 그 품질 계수 QQ는 부하가 정합니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8]. 직류 이득은 정적 특성 곡선(static characteristic)의 기울기입니다.

Gd0=VgG_{d0} = V_g
Gd0G_{d0}
제어-출력 직류 이득
VgV_g
입력 전압
벅 제어-출력 직류 이득, CCM✓ 테스트 7개로 검증됨
가정, 표기 규약, 출처
가정
  • 이상적(무손실) 스위치와 수동 소자
  • 연속 전도 모드(CCM)
  • CCM 동작점 주변의 소신호(선형화) 모델
  • 저항성 부하 R
비고
정적 특성 곡선의 ∂V/∂D\partial V/\partial D와 같습니다
출처
Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8 (Converter Transfer Functions)
유도
sympy 단계별 유도
수식 id
buck.ss.Gd0 · equations.yaml 항목
ω0=1LC\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L C}}
ω0\omega_0
LC 공진 각주파수(rad/s)
CC
커패시턴스(출력 커패시터)
LL
인덕턴스
벅: LC 극점의 각주파수✓ 테스트 7개로 검증됨
가정, 표기 규약, 출처
가정
  • 이상적(무손실) 스위치와 수동 소자
  • 연속 전도 모드(CCM)
  • CCM 동작점 주변의 소신호(선형화) 모델
  • 저항성 부하 R
출처
Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8 (Converter Transfer Functions)
유도
sympy 단계별 유도
수식 id
buck.ss.w0 · equations.yaml 항목
Q=RCLQ = R \sqrt{\frac{C}{L}}
QQ
품질 계수(quality factor)
CC
커패시턴스(출력 커패시터)
LL
인덕턴스
RR
부하 저항
벅: LC 극점의 품질 계수✓ 테스트 7개로 검증됨
가정, 표기 규약, 출처
가정
  • 이상적(무손실) 스위치와 수동 소자
  • 연속 전도 모드(CCM)
  • CCM 동작점 주변의 소신호(선형화) 모델
  • 저항성 부하 R
출처
Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8 (Converter Transfer Functions)
유도
sympy 단계별 유도
수식 id
buck.ss.Q · equations.yaml 항목

평균화한 회로(averaged circuit)에서 세 값을 모두 유도하는 과정은 유도 과정 페이지에 있습니다.

보드 선도(Bode plot) 읽기

섹션 제목: “보드 선도(Bode plot) 읽기”

ω0\omega_0보다 훨씬 낮은 주파수에서는 크기가 Gd0G_{d0}로 평탄하고 위상은 거의 0입니다. ω0\omega_0에서 크기는 정확히 직류 이득의 QQ배이고 위상은 90° 떨어진 상태입니다. ω0\omega_0보다 높은 주파수에서는 크기가 주파수의 제곱에 반비례하여 줄어들고 위상은 −180°에 가까워집니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8]. 경부하(light load, 큰 RR)에서는 QQ가 높아집니다. 즉 공진 피크가 높고 좁아지며 위상이 급격히 변하고, 피드백 루프는 이를 감당해야 합니다. 헤르츠 단위로 나타내려면 ω0\omega_0 값을 2π2\pi로 나누십시오.

풀이 예제

섹션 제목: “풀이 예제”

앞선 페이지들의 벅 예제를 이번에는 소신호 시스템으로 해석합니다.

벅 예제
기호값구하는 방법
VgV_g 입력 전압24 V주어진 값
LL 인덕턴스100 µH주어진 값
CC 커패시턴스(출력 커패시터)10 µF주어진 값
RR 부하 저항10 Ω주어진 값
Gd0G_{d0} 제어-출력 직류 이득24 V벅 제어-출력 직류 이득, CCM
ω0\omega_0 LC 공진 각주파수(rad/s)31.6 krad/s벅: LC 극점의 각주파수
QQ 품질 계수(quality factor)3.16벅: LC 극점의 품질 계수

직류 이득은 입력 전압과 같으며, 듀티비 단위당 24 V입니다. 극점은 31.6 krad/s에 있고, QQ = 3.16이므로 그 주파수에서의 크기는 직류 이득에 이 값을 곱한 것과 같습니다.

직접 해 보기

섹션 제목: “직접 해 보기”

▶ 수식 탐색기에서 열기: 벅: LC 극점의 품질 계수
초기값을 가져온 예제 buck-basic

RR을 여러 디케이드에 걸쳐(로그 축) 스윕(sweep)해 보십시오. QQ는 부하 저항(load resistance)에 비례하여 커지므로 공진 피크는 경부하에서 가장 높습니다.

벤치 실습

섹션 제목: “벤치 실습”

주파수 응답 분석기(frequency response analyzer, FRA)로 개루프(open-loop) 벅의 PWM 변조기(PWM modulator) 제어 입력에 작은 정현파(sinusoidal) 변동을 주입하고, 제어 입력 변동에 대한 출력 전압 변동의 비를 주파수에 따라 측정하십시오. 공진 피크를 찾아 그 주파수를 ω0/(2π)\omega_0/(2\pi)와 비교하십시오. 더 가벼운 부하에서 반복하여, 피크는 커지지만 그 주파수는 그대로인지 확인하십시오. 주입 진폭은 절반으로 줄여도 응답이 변하지 않을 만큼 작게 유지하십시오.

주의할 점

섹션 제목: “주의할 점”
  • 실제 부품은 공진을 감쇠(damping)시킵니다. 이상적인 모델에는 부하 외에는 손실이 없습니다. 권선 저항(winding resistance)과 커패시터 직렬 저항은 QQ를 낮추고, 커패시터의 직렬 저항은 영점(zero)을 추가합니다. 커패시터의 임피던스가 1/(sC)1/(sC)에 그 저항을 더한 값이 되기 때문입니다.
  • 이 모델은 스위칭 주파수보다 훨씬 낮은 주파수에서만 유효하며, 작은 변동에 대해서만 성립합니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 7]. fsf_s 근처에서는 평균 모델이 더 이상 회로를 기술하지 못합니다.
  • DCM에서는 전달함수가 달라집니다. DCM에서는 인덕터 전류가 더 이상 한 주기에서 다음 주기로 상태를 넘기지 않으며, L-C 공진이 저주파 응답에서 사라집니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 15].

더 알아보기

섹션 제목: “더 알아보기”
  • 도서 챕터 AC Equivalent Circuit Modeling (Ch. 7) — R. W. Erickson, D. Maksimović · 확인일 2026-09-23
    컨버터 방정식의 평균화·섭동·선형화와 PWM 변조기의 소신호 모델.
  • 도서 챕터 Converter Transfer Functions (Ch. 8) — R. W. Erickson, D. Maksimović · 확인일 2026-09-23
    제어-출력 전달함수의 보드 선도와 부스트·벅-부스트의 우반평면 영점.
  • 강좌 Converter Control — University of Colorado Boulder (Coursera) · 확인일 2026-09-23
    평균 소신호 모델, 컨버터 전달함수, 피드백 루프 설계.

퀴즈

섹션 제목: “퀴즈”

  1. 전달함수로 피드백 루프를 설계하기 전에 컨버터의 평균 모델을 선형화해야 하는 이유는 무엇입니까?

    1. 듀티비가 전압과 전류에 곱해져 평균 모델이 비선형이 되기 때문입니다
    2. 스위치가 이상적이기 때문입니다
    3. 인덕터 전류가 불연속이기 때문입니다
    4. 스위칭 주파수가 너무 높기 때문입니다
    정답과 해설

    정답: A 전달함수는 선형 시스템을 기술합니다. 듀티비와 입력 전압의 곱 같은 항은 비선형입니다. 각 물리량을 직류 값과 작은 변동의 합으로 쓰고 변동끼리의 곱을 버리면 동작점 주위의 선형 모델을 얻습니다.

  2. 입력이 24 V24\,\mathrm{V}인 이상적인 CCM 벅 컨버터에서 제어-출력 직류 이득 Gd0G_{d0}의 값은 얼마입니까?

    1. 12 V12\,\mathrm{V}
    2. 24 V24\,\mathrm{V}
    3. 48 V48\,\mathrm{V}
    4. 부하에 따라 달라집니다
    정답과 해설

    정답: B 정적 특성 곡선은 DVgD V_g이고, DD에 대한 그 기울기는 VgV_g입니다. 이 이득의 단위는 듀티비 단위당 볼트이며, 이상적인 모델에서는 부하와 무관합니다.

  3. L=100 μHL = 100\,\mu\mathrm{H}, C=100 μFC = 100\,\mu\mathrm{F}인 벅 필터가 있습니다. ω0\omega_0의 값은 얼마입니까?

    1. 1 krad/s1\,\mathrm{krad/s}
    2. 10 krad/s10\,\mathrm{krad/s}
    3. 100 krad/s100\,\mathrm{krad/s}
    4. 1 Mrad/s1\,\mathrm{Mrad/s}
    정답과 해설

    정답: B 곱 LCL C는 10−8 s210^{-8}\,\mathrm{s}^2이고 그 제곱근은 10−4 s10^{-4}\,\mathrm{s}이므로, ω0\omega_0의 값은 104 rad/s10^{4}\,\mathrm{rad/s}입니다.

  4. 벅 컨버터의 부하 저항이 두 배가 됩니다. 제어-출력 극점의 QQ는 어떻게 됩니까?

    1. 절반이 됩니다
    2. 변하지 않습니다
    3. 두 배가 됩니다
    4. 네 배가 됩니다
    정답과 해설

    정답: C QQ는 RC/LR\sqrt{C/L}이며 RR에 비례합니다. 부하가 가벼울수록 L-C 공진이 덜 감쇠되므로 피크가 커집니다.

  5. 공진 각주파수 ω0\omega_0에서 2차 제어-출력 응답의 크기는 얼마입니까?

    1. 직류 이득과 같습니다
    2. 직류 이득의 QQ배입니다
    3. 직류 이득을 QQ로 나눈 값입니다
    4. 0입니다
    정답과 해설

    정답: B ω0\omega_0에서는 분모의 상수항과 s2s^2 항이 상쇄되어 j/Qj/Q가 남습니다. 크기는 직류 이득의 QQ배이고 위상은 −90∘-90^\circ입니다.

  6. 소신호 모델은 어떤 섭동에 대해 유효합니까?

    1. 모든 크기, 모든 주파수에서
    2. 직류 값보다 훨씬 작은 변동, 스위칭 주파수보다 훨씬 낮은 주파수에서
    3. 스위칭 주파수에서만
    4. DCM에서만
    정답과 해설

    정답: B 선형화하려면 변동이 작아야 하고, 평균화하려면 관심 주파수가 스위칭 주파수보다 훨씬 낮아야 합니다.

이 사이트의 예제, 프리셋, 연습 문제에 나오는 수치는 교육용으로 만든 어림수(합성 값)이며, 실제 설계의 데이터가 아닙니다.