우반평면(RHP) 영점

목표

부스트와 벅-부스트에 우반평면(right-half-plane, RHP) 영점(zero)이 존재하는 이유를 물리적으로 설명합니다.
두 컨버터의 RHP 영점과 이중 극점(double pole) 파라미터를 회로 값으로부터 계산합니다.
RHP 영점이 피드백 루프의 크로스오버 주파수(crossover frequency)를 어떻게 제한하는지 이해합니다.

이론

출력이 먼저 반대 방향으로 움직이는 이유

부스트에서는 다이오드가 도통(conduction)하는 동안, 즉 오프 구간(off-interval) 동안에만 에너지가 출력에 도달합니다. 듀티비(duty ratio)를 계단(step) 형태로 증가시키면 온 구간(on-interval)은 길어지고 오프 구간은 짧아집니다. 결국에는 인덕터 전류가 증가하고 출력도 함께 상승합니다. 그러나 계단 변화 직후에는 인덕터 전류가 아직 변하지 않은 상태에서 다이오드가 각 주기의 더 짧은 시간 동안만 도통하므로, 평균 다이오드 전류와 출력 전압이 먼저 떨어집니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8]. 벅-부스트도 같은 방식으로 동작합니다.

$s$ -평면의 오른쪽 절반에 있는 영점이 정확히 이러한 거동을 만듭니다. 그 크기는 일반적인 영점과 마찬가지로 주파수에 따라 증가하지만, 위상은 극점처럼 지연됩니다.

부스트의 제어-출력 전달함수

부스트의 제어-출력 전달함수(control-to-output transfer function)는 직류 이득(dc gain), 한 쌍의 극점, 그리고 RHP 영점을 가집니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8].

G_{d0} = \frac{V_g}{\left(1 - D\right)^{2}}

$G_{d0}$: 제어-출력 직류 이득
$D$: 듀티비(duty ratio)
$V_g$: 입력 전압

부스트 제어-출력 직류 이득, CCM✓ 테스트 7개로 검증됨

가정, 표기 규약, 출처

가정

이상적(무손실) 스위치와 수동 소자
연속 전도 모드(CCM)
CCM 동작점 주변의 소신호(선형화) 모델
저항성 부하 R

비고

\partial V/\partial D

와 같습니다.

V = V_g/(1 - D)

이므로

V/(1 - D)

로도 쓸 수 있습니다

출처

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8 (Converter Transfer Functions)

유도

sympy 단계별 유도

수식 id

boost.ss.Gd0 · equations.yaml 항목

\omega_0 = \frac{1 - D}{\sqrt{L C}}

$\omega_0$: LC 공진 각주파수(rad/s)
$C$: 커패시턴스(출력 커패시터)
$D$: 듀티비(duty ratio)
$L$: 인덕턴스

부스트: LC 극점의 각주파수✓ 테스트 7개로 검증됨

가정, 표기 규약, 출처

가정

이상적(무손실) 스위치와 수동 소자
연속 전도 모드(CCM)
CCM 동작점 주변의 소신호(선형화) 모델
저항성 부하 R

출처

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8 (Converter Transfer Functions)

유도

sympy 단계별 유도

수식 id

boost.ss.w0 · equations.yaml 항목

Q = \left(1 - D\right) R \sqrt{\frac{C}{L}}

$Q$: 품질 계수(quality factor)
$C$: 커패시턴스(출력 커패시터)
$D$: 듀티비(duty ratio)
$L$: 인덕턴스
$R$: 부하 저항

부스트: LC 극점의 품질 계수✓ 테스트 7개로 검증됨

가정, 표기 규약, 출처

가정

이상적(무손실) 스위치와 수동 소자
연속 전도 모드(CCM)
CCM 동작점 주변의 소신호(선형화) 모델
저항성 부하 R

출처

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8 (Converter Transfer Functions)

유도

sympy 단계별 유도

수식 id

boost.ss.Q · equations.yaml 항목

\omega_z = \frac{\left(1 - D\right)^{2} R}{L}

$\omega_z$: 우반평면 영점(RHP zero) 각주파수
$D$: 듀티비(duty ratio)
$L$: 인덕턴스
$R$: 부하 저항

부스트: 우반평면(RHP) 영점✓ 테스트 7개로 검증됨

가정, 표기 규약, 출처

가정

이상적(무손실) 스위치와 수동 소자
연속 전도 모드(CCM)
CCM 동작점 주변의 소신호(선형화) 모델
저항성 부하 R

비고

부하가 무거울수록(

R

이 작을수록),

D

가 클수록 낮은 주파수로 내려옵니다

출처

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8 (Converter Transfer Functions)

유도

sympy 단계별 유도

수식 id

boost.ss.wz · equations.yaml 항목

극점은 인덕터와 커패시터에서 비롯되지만, 평균 모델(averaged model)의 직류 변압기(dc transformer)를 통해 보면 인덕턴스가 $(1 - D)^2$ 으로 나눈 값으로 나타나므로, $D$ 가 커질수록 극점이 낮은 주파수로 이동합니다.

벅-부스트의 제어-출력 전달함수

G_{d0} = \frac{V_g}{\left(1 - D\right)^{2}}

$G_{d0}$: 제어-출력 직류 이득
$D$: 듀티비(duty ratio)
$V_g$: 입력 전압

벅-부스트 제어-출력 직류 이득(크기), CCM✓ 테스트 7개로 검증됨

가정, 표기 규약, 출처

가정

이상적(무손실) 스위치와 수동 소자
연속 전도 모드(CCM)
CCM 동작점 주변의 소신호(선형화) 모델
저항성 부하 R

비고

\partial V/\partial D

의 크기입니다. 출력이 반전되므로 이득 자체는 음수입니다

출처

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8 (Converter Transfer Functions)

유도

sympy 단계별 유도

수식 id

buckboost.ss.Gd0 · equations.yaml 항목

\omega_0 = \frac{1 - D}{\sqrt{L C}}

$\omega_0$: LC 공진 각주파수(rad/s)
$C$: 커패시턴스(출력 커패시터)
$D$: 듀티비(duty ratio)
$L$: 인덕턴스

벅-부스트: LC 극점의 각주파수✓ 테스트 7개로 검증됨

가정, 표기 규약, 출처

가정

이상적(무손실) 스위치와 수동 소자
연속 전도 모드(CCM)
CCM 동작점 주변의 소신호(선형화) 모델
저항성 부하 R

출처

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8 (Converter Transfer Functions)

유도

sympy 단계별 유도

수식 id

buckboost.ss.w0 · equations.yaml 항목

Q = \left(1 - D\right) R \sqrt{\frac{C}{L}}

$Q$: 품질 계수(quality factor)
$C$: 커패시턴스(출력 커패시터)
$D$: 듀티비(duty ratio)
$L$: 인덕턴스
$R$: 부하 저항

벅-부스트: LC 극점의 품질 계수✓ 테스트 7개로 검증됨

가정, 표기 규약, 출처

가정

이상적(무손실) 스위치와 수동 소자
연속 전도 모드(CCM)
CCM 동작점 주변의 소신호(선형화) 모델
저항성 부하 R

출처

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8 (Converter Transfer Functions)

유도

sympy 단계별 유도

수식 id

buckboost.ss.Q · equations.yaml 항목

\omega_z = \frac{\left(1 - D\right)^{2} R}{D L}

$\omega_z$: 우반평면 영점(RHP zero) 각주파수
$D$: 듀티비(duty ratio)
$L$: 인덕턴스
$R$: 부하 저항

벅-부스트: 우반평면(RHP) 영점✓ 테스트 7개로 검증됨

가정, 표기 규약, 출처

가정

이상적(무손실) 스위치와 수동 소자
연속 전도 모드(CCM)
CCM 동작점 주변의 소신호(선형화) 모델
저항성 부하 R

출처

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8 (Converter Transfer Functions)

유도

sympy 단계별 유도

수식 id

buckboost.ss.wz · equations.yaml 항목

평균화한 회로(averaged circuit)에서 여덟 개 양을 모두 유도하는 과정은 유도 과정 페이지에 있습니다.

제어에 미치는 영향

RHP 영점은 부하가 무거워질수록(작은 $R$ ), 그리고 $D$ 가 증가할수록 낮은 주파수로 이동하므로, 전부하(full load)와 최소 입력 전압에서 가장 낮은 주파수에 놓입니다. 이 영점은 크기를 계속 키우면서 위상 지연(phase lag)을 더하므로, 루프의 크로스오버 주파수는 동작 범위 전체에서 가장 낮은 $\omega_z$ 보다 충분히 낮게 유지해야 합니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8]. 보상기(compensator)로는 이 영점을 상쇄할 수 없습니다. 상쇄하려면 우반평면에 극점이 있어야 하는데, 그러한 극점은 불안정하기 때문입니다.

풀이 예제

부스트와 벅-부스트 예제이며, 두 컨버터 모두 같은 듀티비에서 동작합니다.

부스트 예제

기호	값	구하는 방법
$V_g$ 입력 전압	12 V	주어진 값
$D$ 듀티비(duty ratio)	0.5	주어진 값
$L$ 인덕턴스	100 µH	주어진 값
$C$ 커패시턴스(출력 커패시터)	10 µF	주어진 값
$R$ 부하 저항	20 Ω	주어진 값
$G_{d0}$ 제어-출력 직류 이득	48 V	부스트 제어-출력 직류 이득, CCM
$\omega_0$ LC 공진 각주파수(rad/s)	15.8 krad/s	부스트: LC 극점의 각주파수
$Q$ 품질 계수(quality factor)	3.16	부스트: LC 극점의 품질 계수
$\omega_z$ 우반평면 영점(RHP zero) 각주파수	50 krad/s	부스트: 우반평면(RHP) 영점

벅-부스트 예제

기호	값	구하는 방법
$V_g$ 입력 전압	12 V	주어진 값
$D$ 듀티비(duty ratio)	0.5	주어진 값
$L$ 인덕턴스	100 µH	주어진 값
$C$ 커패시턴스(출력 커패시터)	10 µF	주어진 값
$R$ 부하 저항	10 Ω	주어진 값
$G_{d0}$ 제어-출력 직류 이득	48 V	벅-부스트 제어-출력 직류 이득(크기), CCM
$\omega_0$ LC 공진 각주파수(rad/s)	15.8 krad/s	벅-부스트: LC 극점의 각주파수
$Q$ 품질 계수(quality factor)	1.58	벅-부스트: LC 극점의 품질 계수
$\omega_z$ 우반평면 영점(RHP zero) 각주파수	50 krad/s	벅-부스트: 우반평면(RHP) 영점

부스트에서 50 krad/s에 있는 RHP 영점은 15.8 krad/s에 있는 이중 극점보다 그리 높지 않은 곳에 있습니다. 크로스오버 주파수가 극점 근처인 루프라면 이미 영점의 위상 지연을 겪게 됩니다.

직접 해 보기

▶ 수식 탐색기에서 열기: 부스트: 우반평면(RHP) 영점
초기값을 가져온 예제 boost-basic

$R$ 을 작아지는 방향(더 무거운 부하)으로 스윕(sweep)하십시오. 영점은 $R$ 에 비례하여 낮아집니다. 그런 다음 $R$ 을 원래 값으로 되돌리고, 이번에는 $D$ 를 스윕하십시오.

벤치 실습

저전력으로 동작하는 개루프(open-loop) 부스트에서, 예를 들어 변조기(modulator)의 제어 입력을 계단 형태로 바꾸어 듀티비에 작은 계단 변화를 주십시오. 계단 변화에 트리거를 건 상태에서 출력 전압을 AC 커플링으로 관찰하십시오. 출력 전압은 새 값으로 상승하기 전에 잠깐 떨어집니다. 더 무거운 부하에서 반복하고 떨어지는 폭을 비교하십시오.

주의할 점

최악 조건(worst case)을 기준으로 설계하십시오. RHP 영점의 주파수는 부하가 가장 무겁고 듀티비가 가장 높을 때, 즉 입력 전압이 가장 낮을 때 가장 낮습니다.
벅에는 RHP 영점이 없습니다. 벅의 듀티비는 출력 필터를 직접 구동하는 스위치 노드(switch node)에 작용합니다. 반면 부스트와 벅-부스트는 오프 구간 동안에만 출력에 에너지를 전달합니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8].
위상 여유(phase margin)를 추정할 때는 반드시 영점을 포함해야 합니다. 영점의 위상 지연은 $\omega_z$ 보다 훨씬 낮은 주파수에서 시작되며, 이는 일반적인 영점이라면 위상 앞섬(phase lead)이 시작될 주파수 대역과 같습니다.

더 알아보기

도서 챕터 Converter Transfer Functions (Ch. 8) — R. W. Erickson, D. Maksimović · 확인일 2026-09-23
제어-출력 전달함수의 보드 선도와 부스트·벅-부스트의 우반평면 영점.
강좌 Converter Control — University of Colorado Boulder (Coursera) · 확인일 2026-09-23
평균 소신호 모델, 컨버터 전달함수, 피드백 루프 설계.
응용 노트 Understanding Boost Power Stages in Switchmode Power Supplies (SLVA061) — E. Rogers, Texas Instruments · 확인일 2026-09-23
부스트판: CCM·DCM의 정상상태·소신호 해석.

퀴즈

듀티비를 계단 형태로 증가시킨 직후 부스트 컨버터의 출력 전압이 잠깐 떨어집니다. 그 이유는 무엇입니까?
1. 인덕터가 포화됩니다
2. 인덕터 전류가 아직 증가하지 않은 상태에서 다이오드가 이제 각 주기의 더 짧은 시간 동안만 도통합니다
3. 출력 커패시터가 스위치로 방전됩니다
4. 제어 루프가 불안정합니다
정답과 해설
정답: B 에너지는 다이오드가 도통하는 동안에만 출력에 도달합니다. 온 구간이 길어지면 다이오드 도통 구간은 즉시 짧아지지만 인덕터 전류가 증가하는 데는 시간이 걸리므로, 평균 다이오드 전류가 먼저 감소합니다.
우반평면(RHP) 영점은 보드 선도에 어떤 영향을 줍니까?
1. 크기는 극점처럼 감소하고 위상은 영점처럼 앞섭니다
2. 크기는 영점처럼 증가하지만 위상은 극점처럼 지연됩니다
3. 크기만 바꿉니다
4. 위상만 바꿉니다
정답과 해설
정답: B $1 - s/\omega_z$ 의 크기는 $1 + s/\omega_z$ 의 크기와 똑같이 주파수에 따라 증가하지만, 위상은 $+90^\circ$ 가 아니라 $-90^\circ$ 쪽으로 향합니다.
부스트 컨버터가 $D = 0.5$ 에서 동작하며 $R = 10\,\Omega$ , $L = 100\,\mu\mathrm{H}$ 입니다. RHP 영점은 어디에 있습니까?
1. $12.5\,\mathrm{krad/s}$
2. $25\,\mathrm{krad/s}$
3. $50\,\mathrm{krad/s}$
4. $100\,\mathrm{krad/s}$
정답과 해설
정답: B 영점은 $(1 - D)^2 R/L$ 에 있습니다. 즉 $10\,\Omega$ 의 4분의 1을 $100\,\mu\mathrm{H}$ 로 나눈 값입니다.
부스트 컨버터의 RHP 영점은 어떤 조건에서 가장 낮은 주파수에 놓입니까?
1. 경부하와 낮은 듀티비
2. 중부하와 높은 듀티비
3. 경부하와 높은 듀티비
4. 동작점에 따라 달라지지 않습니다
정답과 해설
정답: B 영점은 $(1 - D)^2 R$ 에 비례합니다. 작은 부하 저항(중부하)과 큰 듀티비(낮은 입력 전압)는 모두 영점을 낮춥니다.
RHP 영점을 보상기로 상쇄할 수 없는 이유는 무엇입니까?
1. 상쇄하려면 우반평면에 극점이 필요한데, 그 극점은 불안정합니다
2. 보상기는 극점을 포함할 수 없습니다
3. 영점이 스위칭 주파수보다 높습니다
4. 좌반평면 영점으로 상쇄할 수 있습니다
정답과 해설
정답: A 상쇄란 영점과 같은 위치에 극점을 두는 것입니다. 우반평면 영점이라면 그 극점은 불안정하므로, 대신 크로스오버 주파수를 영점보다 충분히 낮게 유지해야 합니다.
$L$ 과 $C$ 가 같을 때, $D = 0.5$ 에서 동작하는 CCM 부스트의 이중 극점 주파수는 벅과 비교해 어떻습니까?
1. 같습니다
2. 두 배 높습니다
3. 절반입니다
4. 4배 낮습니다
정답과 해설
정답: C 부스트의 $\omega_0$ 는 $(1 - D)/\sqrt{LC}$ 로, 벅의 값에 $1 - D$ 를 곱한 것입니다. 평균 모델에서 인덕턴스가 $L/(1 - D)^2$ 의 형태로 나타나기 때문입니다.

이 사이트의 예제, 프리셋, 연습 문제에 나오는 수치는 교육용으로 만든 어림수(합성 값)이며, 실제 설계의 데이터가 아닙니다.