평균 모델

목표

컨버터의 평균 직류 모델(averaged dc model)을 세우고, 여기에 인덕터의 권선 저항(winding resistance)을 추가합니다.
그 저항이 부스트 컨버터의 변환비(conversion ratio)와 효율(efficiency)을 어떻게 제한하는지 예측합니다.
DCM 스위치 네트워크를 무손실 저항(loss-free resistor, LFR)으로 나타내고, 그 입력 저항을 계산합니다.

이론

스위칭 회로에서 직류 모델로

소리플 근사(small-ripple approximation)를 적용하여 모든 회로 방정식을 한 스위칭 주기(switching period)에 걸쳐 평균하면 스위칭 동작이 사라집니다. 평균화(averaging)한 인덕터 전압 방정식과 커패시터 전류 방정식은 직류 회로의 방정식입니다. 그 회로에서 스위치 네트워크는 변환비를 권선비(turns ratio)로 갖는 이상적인 직류 변압기(dc transformer)로 동작합니다. 이 변압기는 입력에서 출력으로 전력을 손실 없이 전달하며, 모든 손실 메커니즘은 그 주위의 일반 저항이나 전압 강하로 나타납니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 3]. 이 모델 하나로 출력 전압, 전류, 효율을 구할 수 있습니다.

인덕터 권선 저항이 있는 부스트

부스트에 인덕터의 권선 저항 $R_L$ 을 추가합니다. 전압-초 평형(volt-second balance)에는 두 구간 모두에서 $R_L$ 에 걸리는 전압 강하가 더해지고, 전하 평형(charge balance)은 변하지 않습니다. 두 식을 함께 풀면 다음을 얻습니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 3].

M = \frac{1}{\left(1 - D\right) \left(1 + \frac{R_L}{\left(1 - D\right)^{2} R}\right)}

$M$: 변환비(conversion ratio)
$D$: 듀티비(duty ratio)
$R$: 부하 저항
$R_L$: 인덕터 권선 저항

인덕터 권선 저항을 고려한 부스트 변환비, CCM✓ 테스트 7개로 검증됨

가정, 표기 규약, 출처

가정

연속 전도 모드(CCM)
주기적 정상상태
소리플 근사(small-ripple approximation)
인덕터 권선 저항 R_L 외 나머지 소자는 이상적
저항성 부하 R

비고

두 번째 인자 때문에 높은

D

에서 변환비가 급격히 떨어집니다.

M

은 무한히 커지지 않고 최댓값을 가집니다

출처

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 3 (Steady-State Equivalent Circuit Modeling, Losses, and Efficiency)

유도

sympy 단계별 유도

수식 id

boost.ccm.M_RL · equations.yaml 항목

이상적인 부스트 변환비에 $D$ 가 1에 가까워질수록 0을 향해 줄어드는 인자가 곱해집니다. 인덕터에는 입력 전류가 흐르고, 입력 전류는 $D$ 가 커질수록 출력 전류보다 훨씬 빠르게 증가하므로, 결국 $R_L$ 에서의 손실이 추가 입력 전력을 모두 차지하게 됩니다. 변환비는 한없이 커지지 않고 최댓값에 도달한 뒤 감소합니다. 효율도 같은 모델에서 구할 수 있습니다.

\eta = \frac{1}{1 + \frac{R_L}{\left(1 - D\right)^{2} R}}

$\eta$: 효율(efficiency)
$D$: 듀티비(duty ratio)
$R$: 부하 저항
$R_L$: 인덕터 권선 저항

인덕터 권선 저항을 고려한 부스트 효율, CCM✓ 테스트 7개로 검증됨

가정, 표기 규약, 출처

가정

연속 전도 모드(CCM)
주기적 정상상태
소리플 근사(small-ripple approximation)
인덕터 권선 저항 R_L 외 나머지 소자는 이상적
저항성 부하 R

출처

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 3 (Steady-State Equivalent Circuit Modeling, Losses, and Efficiency)

유도

sympy 단계별 유도

수식 id

boost.ccm.eta_RL · equations.yaml 항목

$R_L$ 은 $(1 - D)^2 R$ , 즉 직류 변압기를 거쳐 인덕터 쪽으로 환산한 부하 저항(reflected load resistance)과 비교됩니다. $D$ 가 크면 이 환산 저항이 작으므로 작은 권선 저항으로도 효율이 떨어집니다. 유도 과정은 유도 과정 페이지에 있습니다.

DCM: 무손실 저항

DCM에서는 인덕터 전류가 매 주기 0에서 시작하므로, 온 구간(on-interval) 동안 저장되는 에너지와 이에 따라 입력에서 끌어오는 전력은 입력 전압, 듀티비(duty ratio), 인덕턴스, 스위칭 주파수(switching frequency)에만 의존합니다. 벅-부스트와 플라이백에서는 자화 인덕턴스(magnetizing inductance) $L_M$ 을 사용하여 다음과 같이 나타냅니다.

P = \frac{V_g^{2} D^{2}}{2 L_M f_s}

$P$: 전력
$D$: 듀티비(duty ratio)
$L_M$: 자화 인덕턴스(magnetizing inductance), 1차 기준
$V_g$: 입력 전압
$f_s$: 스위칭 주파수

DCM 벅-부스트/플라이백이 끌어오는 전력✓ 테스트 7개로 검증됨

가정, 표기 규약, 출처

가정

이상적(무손실) 스위치와 수동 소자
불연속 전도 모드(DCM)
주기적 정상상태

비고

부하와 무관하게 매 주기

\tfrac12 L_M I_\mathrm{pk}^2

의 에너지가 저장됩니다

출처

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 15 (AC and DC Equivalent Circuit Modeling of the Discontinuous Conduction Mode); Singer 1990

유도

sympy 단계별 유도

수식 id

dcm.P_in · equations.yaml 항목

따라서 평균 입력 전류는 입력 전압에 비례하며, 입력 포트는 저항처럼 동작합니다 [Singer 1990] [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 15].

R_\mathrm{in} = \frac{2 L_M f_s}{D^{2}}

$R_\mathrm{in}$: 등가 입력 저항(emulated resistance)
$D$: 듀티비(duty ratio)
$L_M$: 자화 인덕턴스(magnetizing inductance), 1차 기준
$f_s$: 스위칭 주파수

DCM 벅-부스트/플라이백의 입력 저항(무손실 저항, LFR)✓ 테스트 7개로 검증됨

가정, 표기 규약, 출처

가정

이상적(무손실) 스위치와 수동 소자
불연속 전도 모드(DCM)
주기적 정상상태

비고

평균 입력 전류가

V_g

에 비례합니다. 전력은 소산되지 않고 출력으로 전달됩니다

출처

Singer 1990; Erickson & Maksimović 2020, Ch. 15 (AC and DC Equivalent Circuit Modeling of the Discontinuous Conduction Mode)

유도

sympy 단계별 유도

수식 id

lfr.R_in · equations.yaml 항목

이 저항은 흡수한 전력을 소모하지 않고 출력으로 전달합니다. 따라서 평균화한 DCM 스위치 네트워크는 무손실 저항으로 모델링되며, 에너지 하베스팅 인터페이스는 이 성질을 이용해 전원에 저항성 부하로 보이도록 합니다. 전원 정합 도구(source matcher)는 플라이백의 무손실 저항을 선형 전원(linear source)에 정합합니다.

풀이 예제

권선 저항이 있는 부스트 예제입니다.

부스트 예제

기호	값	구하는 방법
$V_g$ 입력 전압	12 V	주어진 값
$D$ 듀티비(duty ratio)	0.5	주어진 값
$R$ 부하 저항	20 Ω	주어진 값
$R_L$ 인덕터 권선 저항	200 mΩ	주어진 값
${M}_{\mathrm{ideal}}$ 변환비(conversion ratio)	2	부스트(boost) 변환비, CCM
$M$ 변환비(conversion ratio)	1.92	인덕터 권선 저항을 고려한 부스트 변환비, CCM
$\eta$ 효율(efficiency)	0.962	인덕터 권선 저항을 고려한 부스트 효율, CCM
$V$ 출력 전압	23.1 V	변환비로 구한 출력 전압

부하 저항의 100분의 1에 불과한 200 mΩ의 권선 저항이 변환비를 2에서 1.92까지, 효율을 0.962까지 낮춥니다. 이 듀티비에서는 권선 저항이 부하 저항의 4분의 1과 비교되기 때문입니다.

DCM으로 동작하는 벅-부스트 예제를 입력 쪽에서 보면 다음과 같습니다.

DCM 벅-부스트 예제

기호	값	구하는 방법
$V_g$ 입력 전압	10 V	주어진 값
$D$ 듀티비(duty ratio)	0.5	주어진 값
$L_M$ 자화 인덕턴스(magnetizing inductance), 1차 기준	100 µH	주어진 값
$f_s$ 스위칭 주파수	100 kHz	주어진 값
$P$ 전력	1.25 W	DCM 벅-부스트/플라이백이 끌어오는 전력
$R_\mathrm{in}$ 등가 입력 저항(emulated resistance)	80 Ω	DCM 벅-부스트/플라이백의 입력 저항(무손실 저항, LFR)

직접 해 보기

▶ 수식 탐색기에서 열기: 인덕터 권선 저항을 고려한 부스트 변환비, CCM
초기값을 가져온 예제 boost-basic

▶ 시뮬레이터에서 열기: 부스트
초기값을 가져온 예제 boost-basic

$D$ 를 0에서 1까지 스윕(sweep)해 보십시오. 변환비가 최댓값에 이른 뒤 급격히 떨어집니다. $R_L$ 을 늘리면서 이 최댓값이 낮아지고 더 낮은 듀티비 쪽으로 옮겨 가는 것을 확인하십시오.

벤치 실습

전류 제한 벤치 전원(current-limited bench supply)으로 구동하는 저전력 부스트 컨버터에서, 먼저 4선식 측정(four-wire measurement)으로 인덕터의 직류 저항을 측정하십시오. 그런 다음 저항 부하를 고정한 상태에서, 멀티미터로 입력 전력과 출력 전력을 측정하면서 개루프(open loop)로 듀티비를 단계적으로 높이십시오. 변환비와 효율을 $D$ 에 대해 그래프로 그리고, 측정한 $R_L$ 을 적용한 위의 두 식과 비교하십시오. 스위치와 다이오드에서 추가 손실이 생기므로 측정한 효율은 예측보다 낮게 나올 것입니다.

주의할 점

최댓값을 지나면 듀티비를 늘릴수록 출력이 줄어듭니다. 변환비의 최댓값을 넘어서면 $D$ 를 높일 때 $V$ 가 낮아집니다. 그 반대를 가정하는 피드백 루프는 그 지점에서 이득의 부호가 바뀝니다.
$R_L$ 은 직류 권선 저항일 뿐입니다. 코어 손실, 교류 권선 손실(ac winding loss), 스위칭 손실은 이 모델에 포함되지 않으며, 각각 고유한 손실 요소를 더합니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 3].
무손실 저항은 DCM에서만 성립합니다. 전류가 매 주기 0으로 돌아오지 않게 되면 입력 전류는 더 이상 입력 전압에 비례하지 않습니다.

더 알아보기

도서 챕터 Steady-State Equivalent Circuit Modeling, Losses, and Efficiency (Ch. 3) — R. W. Erickson, D. Maksimović · 확인일 2026-09-23
직류 변압기 모델과, 권선·반도체 저항이 변환비와 효율을 제한하는 방식.
도서 챕터 AC and DC Equivalent Circuit Modeling of the Discontinuous Conduction Mode (Ch. 15) — R. W. Erickson, D. Maksimović · 확인일 2026-09-23
입력이 무손실 저항처럼 동작하는 DCM 평균 스위치 모델.
강좌 Introduction to Power Electronics — University of Colorado Boulder (Coursera) · 확인일 2026-09-23
CU Boulder 전문 과정의 첫 강좌: 정상상태 해석, 손실과 효율.

퀴즈

CCM으로 동작하는 컨버터의 평균 직류 모델에서 스위치 네트워크는 무엇이 됩니까?
1. 부하 저항과 같은 저항
2. 변환비를 권선비로 갖는 이상적인 직류 변압기
3. 단락 회로
4. 인덕터 전류와 같은 전류원
정답과 해설
정답: B 한 주기에 걸쳐 평균하면 스위치는 입력에서 출력으로 전력을 손실 없이 전달하며, 전압에는 $M(D)$ 를, 전류에는 그 역수를 곱합니다. 직류에서도 동작하는 이상적인 변압기와 같습니다.
인덕터 권선 저항이 있는 부스트 컨버터에서 $D$ 가 1에 가까워지면 변환비는 어떻게 됩니까?
1. 이상적인 경우처럼 한없이 커집니다
2. 일정한 값으로 수렴합니다
3. 최댓값에 도달한 뒤 0을 향해 감소합니다
4. 진동합니다
정답과 해설
정답: C 이상적인 변환비에 $D$ 가 1에 가까워질수록 0으로 떨어지는 인자가 곱해집니다. 인덕터 전류가 매우 빠르게 증가하여 권선 저항의 손실이 추가 입력 전력을 모두 차지하기 때문입니다.
부스트 컨버터가 $D = 0.5$ 에서 동작하며 $R_L = 0.1\,\Omega$ , $R = 10\,\Omega$ 입니다. 손실이 $R_L$ 에서만 생긴다면 효율은 얼마입니까?
1. 약 99 %
2. 약 96 %
3. 약 90 %
4. 약 80 %
정답과 해설
정답: B $R_L$ 은 $(1 - D)^2 R$ , 즉 $10\,\Omega$ 의 4분의 1과 비교됩니다. 효율은 $1/(1 + 0.1/2.5)$ , 즉 약 0.96입니다.
부스트에서 듀티비가 높을 때 같은 권선 저항이 효율을 더 많이 떨어뜨리는 이유는 무엇입니까?
1. 권선이 가열되어 저항이 커지기 때문입니다
2. 스위칭 주파수가 높아지기 때문입니다
3. 권선 저항이 인덕터 쪽으로 환산한 부하 저항 $(1 - D)^2 R$ 과 비교되는데, 이 값은 $D$ 가 커질수록 작아지기 때문입니다
4. 출력 전압이 낮아지기 때문입니다
정답과 해설
정답: C 직류 변압기를 거치면 부하는 인덕터 쪽에서 $(1 - D)^2 R$ 로 보이며, 이 저항은 $R_L$ 과 직렬입니다. 효율은 전력 중 이 환산 저항에 도달하는 비율입니다.
DCM에서 벅-부스트 컨버터의 입력 포트는 한 주기에 걸쳐 평균하면 어떻게 동작합니까?
1. 흡수한 전력을 소모하지 않고 출력으로 전달하는 저항처럼
2. 정전류 싱크처럼
3. 정전압원처럼
4. 개방 회로처럼
정답과 해설
정답: A 매 주기가 전류 0에서 시작하므로 평균 입력 전류는 입력 전압에 비례합니다. 즉 저항입니다. 에너지는 인덕터에 저장되었다가 소모되지 않고 출력으로 전달되므로 무손실 저항입니다.
$L_M = 50\,\mu\mathrm{H}$ , $f_s = 100\,\mathrm{kHz}$ , $D = 0.5$ 인 DCM 벅-부스트가 있습니다. 입력 저항은 얼마입니까?
1. $20\,\Omega$
2. $40\,\Omega$
3. $80\,\Omega$
4. $160\,\Omega$
정답과 해설
정답: B 입력 저항은 $2 L_M f_s/D^2$ 입니다. $50\,\mu\mathrm{H}$ 와 $100\,\mathrm{kHz}$ 를 곱한 값의 두 배는 $10\,\Omega$ 이며, 이를 0.25로 나눕니다.

이 사이트의 예제, 프리셋, 연습 문제에 나오는 수치는 교육용으로 만든 어림수(합성 값)이며, 실제 설계의 데이터가 아닙니다.