M2 · 시뮬레이터로 임계 K 찾기

목표

• 벅과 부스트가 DCM에 들어가는 부하 저항을 실험으로 찾습니다.
• 그 저항을 무차원량 $K$로 바꿔 각 컨버터의 임계값(critical value) $K_\mathrm{crit}(D)$와 비교합니다.
• DCM에 들어간 뒤 출력 전압이 어떻게 되는지 봅니다.

시작하기 전에

• CCM과 DCM과 K 파라미터를 읽습니다.
• $K$의 정의(K 파라미터)와 벅(벅), 부스트(부스트)의 임계값을 알아 둡니다.

단계

1. 벅의 경계

벅 예제로 시뮬레이터를 엽니다.

▶ 시뮬레이터에서 열기: 벅
초기값을 가져온 예제 buck-basic

시뮬레이터는 $R$ = 10 Ω, CCM 상태에서 시작합니다. $R$을 조금씩 올리면서 차트 위에 표시되는 검출 모드를 봅니다. 이 모드는 $K$로 계산한 것이 아니라 시뮬레이션한 인덕터 전류로 판정한 것입니다. DCM에서는 인덕터 전류가 주기 안에서 0에 닿습니다. 모드가 바뀌는 저항을 양쪽에서 좁혀 들어갑니다.

2. 경계에서의 K

$L$ = 100 µH, $f_s$ = 100 kHz일 때 찾은 저항에서의 $K$를 계산해 아래에 입력합니다. 시뮬레이터는 모드 옆에 $K$와 $K_\mathrm{crit}$도 보여 주므로, 식이 주는 경계와 전류가 보여 주는 경계를 비교할 수 있습니다.

3. 부스트의 경계

$R$ = 20 Ω에서 시작하는 부스트 예제로 같은 실험을 합니다.

▶ 시뮬레이터에서 열기: 부스트
초기값을 가져온 예제 boost-ideal

같은 듀티비에서 부스트의 임계값은 벅보다 훨씬 작으므로, 훨씬 가벼운 부하까지 CCM에 머뭅니다.

4. DCM에서의 출력

가벼운 부하 $R$ = 100 Ω에서 벅을 엽니다.

▶ 시뮬레이터에서 열기: 벅
초기값을 가져온 예제 buck-light-load

차트 아래 부하 표에서 출력 전압을 읽어 아래에 입력합니다. DCM에서는 변환비가 $K$에도 달려 있으므로 출력은 $D V_g$보다 높습니다(벅의 DCM 변환비).

5. 부스트의 가장 나쁜 듀티비

부스트의 임계값은 $D$에 대해 단조롭지 않습니다. 수식 탐색기에서 $D$를 바꿔 가며 최댓값이 어디인지 찾습니다.

▶ 수식 탐색기에서 열기: 부스트 컨버터의 임계 K
초기값을 가져온 예제 boost-ideal

완료 기준

• 벅 예제의 검출 모드가 CCM에서 DCM으로 바뀌는 저항에서 계산한 $K$.
  내 값확인
  예제의 값 보기

  0.5 (출처 buck-basic: 벅 예제)

• 부스트 예제에서 구한 같은 값.
  내 값확인
  예제의 값 보기

  0.125 (출처 boost-ideal: 이상적인 부스트 예제)

• 두 경계 모두에서, 시뮬레이션한 전류가 보여 주는 모드가 식이 주는 임계값과 맞습니다.
• 시뮬레이터의 부하 표에서 읽은, 가벼운 부하에서의 벅 출력 전압.
  내 값 (V)확인
  예제의 값 보기

  15.74 V (출처 buck-light-load: 경부하 벅 예제)

• 수식 탐색기에서 찾은, 부스트의 $K_\mathrm{crit}$이 가장 큰 듀티비.

이 미션 초기화

체크 표시는 이 브라우저에만 저장됩니다. 계정이 필요 없고 아무것도 전송되지 않습니다.

주의할 점

• $K$는 스위칭 주파수와 인덕턴스에 비례해 커지고 저항에 반비례해 작아집니다. 따라서 $f_s$나 $L$을 바꾸면 부하를 바꿀 때만큼 경계가 움직입니다.
• 경계 근처에서는 전류가 0에 겨우 닿으므로 아주 작은 변화로도 모드가 바뀝니다. 마지막 CCM 설정과 첫 DCM 설정의 중간 저항을 경계로 잡습니다.
• DCM에서는 출력이 부하에 따라 달라집니다. 출력을 설정값에 유지하려면 다른 듀티비가 필요하며, 레귤레이터는 이를 스스로 찾습니다.

더 알아보기

• 도서 챕터 The Discontinuous Conduction Mode (Ch. 5) — R. W. Erickson, D. Maksimović · 확인일 2026-09-23
  DCM의 발생 원리, K와 K_crit 경계, 전하 평형으로 유도한 DCM 변환비.
• 강좌 Converter Circuits — University of Colorado Boulder (Coursera) · 확인일 2026-09-23
  같은 교재를 따르는 DCM 해석과 절연형 컨버터 회로.

퀴즈

1. 벅이 $L$ = 50 µH, $f_s$ = 200 kHz, 부하 20 Ω으로 동작합니다. $K$는 얼마입니까?

   1. 0.5
   2. 1
   3. 2
   4. 0.25
   정답과 해설

   정답: B $K$는 $2L$을 $R T_s$로 나눈 값, 곧 $2 L f_s$를 $R$로 나눈 값입니다. 2 × 50 µH × 200 kHz = 20 Ω이고, 이를 20 Ω으로 나누면 1입니다.

2. 그 벅이 $D$ = 0.75로 동작합니다. CCM입니까?

   1. 예: $K$ = 1이 $K_\mathrm{crit}$ = 0.25보다 큽니다
   2. 아니요: $K$ = 1이 $K_\mathrm{crit}$ = 1.33보다 작습니다
   3. 출력 커패시터가 클 때만 그렇습니다
   4. 정확히 경계에 있습니다
   정답과 해설

   정답: A 벅의 임계값은 $1 - D$ = 0.25이고, CCM이려면 $K > K_\mathrm{crit}$이어야 합니다.

3. CCM 벅의 부하가 점점 가벼워집니다. 먼저 일어나는 일은 무엇입니까?

   1. 인덕터가 포화됩니다
   2. 출력 전압이 떨어집니다
   3. 인덕터 전류가 주기가 끝나기 전에 0에 닿아 DCM에 들어갑니다
   4. 인덕터 전류의 리플이 커집니다
   정답과 해설

   정답: C $R$이 커지면 $K$가 작아집니다. 리플은 부하와 무관하므로 평균 전류가 줄면 전류의 골이 0에 닿고, $K_\mathrm{crit}$ 아래에서는 주기의 일부 동안 0에 머뭅니다.

4. 부스트의 임계값이 가장 큰 듀티비는 어디입니까?

   1. $D$ = 1/2
   2. $D$ = 1/3
   3. $D$ = 2/3
   4. $D$ = 1까지 계속 커집니다
   정답과 해설

   정답: B 부스트의 임계값 $D(1-D)^2$은 $D$ = 1/3에서 기울기가 0이 되며, 그 값은 4/27입니다. $K$가 4/27보다 큰 부스트는 모든 듀티비에서 CCM에 머뭅니다.

5. $D$ = 0.5의 벅이 부하가 가벼워지며 DCM에 들어갑니다. $D V_g$와 비교해 출력 전압은 어떻습니까?

   1. 더 높습니다
   2. 더 낮습니다
   3. 같습니다: 두 모드 모두 변환비가 $D$입니다
   4. 0입니다
   정답과 해설

   정답: A DCM에서는 변환비가 $K$에도 달려 있어, 부하가 가벼워질수록 $D$에서 1을 향해 올라갑니다.

6. DCM에 막 들어간 벅의 스위칭 주파수를 두 배로 합니다. 어떻게 됩니까?

   1. 아무 일도 없습니다: 경계는 $D$에만 달려 있습니다
   2. $K$가 두 배가 되어 CCM으로 돌아갈 수 있습니다
   3. $K$가 절반이 되어 DCM 깊이 들어갑니다
   4. 듀티비가 두 배가 됩니다
   정답과 해설

   정답: B $2 L f_s$를 $R$로 나눈 $K$는 $f_s$와 함께 커집니다. 리플이 줄어 전류의 골이 0 위로 올라갑니다.