제어 기초

목표

• 펄스폭 변조기(pulse-width modulator, PWM)를 모델링하고 그 소신호 이득(small-signal gain)을 계산합니다.
• 주어진 주파수에서 전압 모드(voltage-mode) 피드백 루프의 루프 이득(loop gain)을 계산합니다.
• 피드백이 외란(disturbance)을 억제하는 정도를 정량화하고, 피드백이 더 이상 도움이 되지 않는 영역을 파악합니다.

이론

PWM 변조기

전압 모드 제어기는 제어 전압(control voltage) $V_\mathrm{ctrl}$을 피크 진폭이 $V_M$인 톱니파 램프(sawtooth ramp)와 비교합니다. 램프가 제어 전압보다 낮은 동안 스위치가 켜져 있으므로, 듀티비(duty ratio)는 제어 전압에 비례합니다.

$$D = \frac{V_\mathrm{ctrl}}{V_M}$$

$D$

듀티비(duty ratio)

$V_M$

PWM 램프 진폭

$V_\mathrm{ctrl}$

PWM 제어 전압

PWM 비교기가 정하는 듀티비✓ 테스트 7개로 검증됨

가정, 표기 규약, 출처

가정

• 0에서 V_M까지 증가하는 램프를 쓰는 후단 에지(trailing-edge) PWM

비고

따라서 소신호 변조기 이득은 $1/V_M$입니다

출처

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 7 (AC Equivalent Circuit Modeling)

유도

sympy 단계별 유도

수식 id

pwm.d · equations.yaml 항목

따라서 제어 전압에서 듀티비까지의 변조기 소신호 이득은 $1/V_M$입니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 7].

루프 이득

전압 모드 루프에서는 출력 전압을 이득이 $H$인 센서(흔히 저항 분압기)로 측정하여 기준값(reference)과 비교합니다. 보상기(compensator) $G_c$가 그 차이를 증폭하고 변조기가 이를 듀티비로 바꾸며, 컨버터의 제어-출력 전달함수(control-to-output transfer function) $G_{vd}$가 루프를 닫습니다. 루프 이득은 루프를 한 바퀴 돌며 거치는 이득들의 곱입니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 9].

$$T = \frac{G_c G_{vd} H}{V_M}$$

$T$

루프 이득(loop gain)

$G_c$

보상기 이득(compensator gain)

$G_{vd}$

제어-출력 이득

$H$

센서(분압기) 이득

$V_M$

PWM 램프 진폭

전압 모드 피드백 루프의 루프 이득✓ 테스트 7개로 검증됨

가정, 표기 규약, 출처

가정

• CCM 동작점 주변의 소신호(선형화) 모델

비고

한 주파수에서의 크기입니다. 위상은 각 요소의 위상을 더한 값입니다

출처

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 9 (Controller Design)

유도

sympy 단계별 유도

수식 id

loop.T · equations.yaml 항목

각 주파수에서 크기는 곱해지고 위상은 더해집니다. 벅의 경우 $G_{vd}$는 소신호 페이지의 전달함수이고, 부스트와 벅-부스트의 경우에는 우반평면(RHP) 영점(zero)을 포함합니다.

피드백으로 얻는 것

입력 전압이나 부하로부터 루프에 들어오는 외란은 $1 + T$로 나누어져 출력에 도달합니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 9].

$$S = \frac{1}{1 + T}$$

$S$

남는 외란(disturbance) 비율

$T$

루프 이득(loop gain)

피드백에 의한 외란 억제✓ 테스트 7개로 검증됨

가정, 표기 규약, 출처

가정

• CCM 동작점 주변의 소신호(선형화) 모델
• 루프 이득을 실수 크기로 취급(크로스오버보다 충분히 낮은 주파수에서 유효)

비고

$T \gg 1$인 주파수에서 외란은 대략 $T$로 나누어집니다

출처

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 9 (Controller Design)

유도

sympy 단계별 유도

수식 id

loop.suppression · equations.yaml 항목

루프 이득이 큰 곳(낮은 주파수)에서는 외란이 대략 루프 이득분의 1로 억제되고, 출력은 기준값을 $H$로 나눈 값을 따라갑니다. 이때 출력을 정하는 것은 컨버터의 이득이 아니라 센서와 기준값입니다. 루프 이득이 1보다 훨씬 작은 곳, 즉 크로스오버 주파수(crossover frequency)보다 높은 주파수에서는 피드백이 아무 효과도 없습니다. 크로스오버 부근에서 루프 이득은 복소수입니다. 위상 여유(phase margin)가 작으면 $1 + T$의 크기가 1보다 작아지고, 그 부근의 외란은 억제되는 대신 증폭됩니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 9].

풀이 예제

직류(dc)에서 계산한 전압 모드 벅 루프 예제입니다.

전압 모드 루프 예제

기호	값	구하는 방법
$V_g$ 입력 전압	24 V	주어진 값
$V_M$ PWM 램프 진폭	2 V	주어진 값
$V_\mathrm{ctrl}$ PWM 제어 전압	1 V	주어진 값
$G_c$ 보상기 이득(compensator gain)	10	주어진 값
$H$ 센서(분압기) 이득	0.2	주어진 값
$D$ 듀티비(duty ratio)	0.5	PWM 비교기가 정하는 듀티비
$G_{vd}$ 제어-출력 이득	24 V	벅 제어-출력 직류 이득, CCM
$T$ 루프 이득(loop gain)	24	전압 모드 피드백 루프의 루프 이득
$S$ 남는 외란(disturbance) 비율	0.04	피드백에 의한 외란 억제

변조기는 제어 전압을 0.5의 듀티비로 바꿉니다. 직류에서 루프 이득은 24이므로, 느린 외란은 피드백이 없을 때의 영향에 비해 0.04배가 되어 출력에 도달합니다.

직접 해 보기

▶ 수식 탐색기에서 열기: 피드백에 의한 외란 억제
초기값을 가져온 예제 control-basic

루프 이득을 여러 디케이드(decade)에 걸쳐(로그 축) 스윕(sweep)하십시오. 큰 루프 이득이 10배 늘어날 때마다 억제도 다시 10배 강해집니다.

벤치 실습

폐루프(closed-loop) 컨버터의 루프 이득을 주입(injection) 방식으로 측정하십시오. 피드백 경로에서 출력과 센싱 분압기 사이에 작은 저항을 삽입하고, 절연 변압기(isolation transformer)를 통해 그 저항 양단에 작은 정현파(sinusoidal) 신호를 주입하십시오. 주파수 응답 분석기(frequency response analyzer, FRA)로 측정한 저항 양쪽 신호의 비가 루프 이득입니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 9]. 크로스오버 주파수와 위상 여유를 구한 다음, 입력 전압의 계단(step) 변화에 대한 출력의 응답을 저주파에서 루프가 주는 억제와 비교하십시오.

주의할 점

• 변조기 이득은 램프 진폭에 따라 달라집니다. 램프 진폭이 입력 전압에 비례하여 변하는 제어기를 쓰면 벅의 루프 이득이 입력 전압과 무관해집니다. 벅의 직류 이득(dc gain)이 입력 전압과 같기 때문입니다(벅 제어-출력 직류 이득, CCM).
• 직류가 아닌 주파수에서는 복소 루프 이득을 사용하십시오. 위에 나온 실수 형태의 식은 $T$가 실수인 곳에서만 정확합니다. 그 밖의 주파수에서는 복소수 합 $1 + T$의 크기로 나누십시오. 루프 이득이 큰 곳에서는 두 결과가 거의 일치합니다.
• 포화된(saturated) 변조기는 루프를 개방합니다. 제어 전압이 램프의 범위를 벗어나면 듀티비가 한계값에 고정되고 루프 이득이 무너집니다. 이 페이지의 수식은 더 이상 적용되지 않습니다.

더 알아보기

• 도서 챕터 Controller Design (Ch. 9) — R. W. Erickson, D. Maksimović · 확인일 2026-09-23
  루프 이득, 크로스오버 주파수, 위상 여유, PD/PI 보상기 설계.
• 도서 챕터 AC Equivalent Circuit Modeling (Ch. 7) — R. W. Erickson, D. Maksimović · 확인일 2026-09-23
  컨버터 방정식의 평균화·섭동·선형화와 PWM 변조기의 소신호 모델.
• 강좌 Converter Control — University of Colorado Boulder (Coursera) · 확인일 2026-09-23
  평균 소신호 모델, 컨버터 전달함수, 피드백 루프 설계.

퀴즈

1. PWM 변조기가 피크 진폭 $2\,\mathrm{V}$의 톱니파를 사용합니다. 제어 전압이 $0.6\,\mathrm{V}$이면 듀티비는 얼마입니까?

   1. 0.12
   2. 0.3
   3. 0.6
   4. 3.3
   정답과 해설

   정답: B 램프가 제어 전압보다 낮은 동안 스위치가 켜져 있으므로, 듀티비는 제어 전압을 램프 진폭으로 나눈 값입니다.

2. 어떤 주파수에서 전압 모드 루프의 $G_c = 5$, $G_{vd} = 12\,\mathrm{V}$, $H = 0.25$, $V_M = 1.5\,\mathrm{V}$입니다. 그 주파수에서 루프 이득의 크기는 얼마입니까?

   1. 2.5
   2. 10
   3. 40
   4. 60
   정답과 해설

   정답: B 루프를 한 바퀴 돌며 크기가 곱해지고, 변조기의 이득은 $1/V_M$입니다. 즉 5에 12와 0.25를 곱한 뒤 1.5로 나눈 값입니다.

3. 직류에서 루프 이득이 19로 측정되었습니다. 느린 입력 전압 외란은 피드백이 없을 때에 비해 어느 정도의 비율로 출력에 나타납니까?

   1. 19
   2. 20
   3. 1/19
   4. 1/20
   정답과 해설

   정답: D 외란은 $1 + T$, 즉 20으로 나누어집니다. 따라서 피드백이 없을 때 영향의 20분의 1로 출력에 도달합니다.

4. 크로스오버 주파수보다 훨씬 높은 주파수에서 피드백은 외란을 얼마나 억제합니까?

   1. 루프 이득이 1보다 훨씬 작으므로 거의 억제하지 못합니다
   2. 직류 루프 이득만큼 억제합니다
   3. 위상 여유만큼 억제합니다
   4. 완전히 억제합니다
   정답과 해설

   정답: A 루프 이득의 크기가 1보다 훨씬 작은 곳에서는 $1 + T$가 1에 가까우므로, 외란은 피드백이 없는 것처럼 그대로 통과합니다.

5. 어떤 루프의 위상 여유가 작습니다. 크로스오버 주파수 부근의 외란은 어떻게 됩니까?

   1. 더 강하게 억제됩니다
   2. 영향을 받지 않습니다
   3. $1 + T$의 크기가 1보다 작아지므로 증폭될 수 있습니다
   4. 스위칭 주파수로 옮겨 갑니다
   정답과 해설

   정답: C 크로스오버 부근에서는 루프 이득의 크기가 약 1이고, 위상이 $-180^\circ$에 가까우면 복소 합 $1 + T$가 작아지므로 이 값으로 나누면 외란이 증폭됩니다.

6. PWM 램프 진폭을 입력 전압에 비례하여 바꾸면 벅의 루프 이득이 입력 전압 범위 전체에서 일정하게 유지되는 이유는 무엇입니까?

   1. 듀티비를 일정하게 유지하기 때문입니다
   2. 벅의 제어-출력 이득은 입력 전압에 비례하고, 램프 진폭이 그 이득을 나누기 때문입니다
   3. 스위칭 주파수를 바꾸기 때문입니다
   4. 우반평면 영점을 제거하기 때문입니다
   정답과 해설

   정답: B 벅의 직류 이득 $G_{d0}$는 $V_g$와 같고, 변조기의 이득은 $1/V_M$입니다. $V_M$이 $V_g$에 비례하면 두 값의 곱과 그에 따른 루프 이득은 더 이상 $V_g$에 의존하지 않습니다.