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스위칭 컨버터 스터디

CCM과 DCM

목표

섹션 제목: “목표”
  • 두 번째 스위치가 다이오드일 때 경부하(light load)에서 불연속 전도 모드(discontinuous conduction mode, DCM)가 나타나는 이유를 설명합니다.
  • 벅, 부스트, 벅-부스트의 다이오드 도통 구간(diode-conduction interval)과 DCM 변환비(conversion ratio)를 계산합니다.
  • 오실로스코프에 나타나는 파형으로 DCM을 식별합니다.

이론

섹션 제목: “이론”

DCM이 생기는 이유

섹션 제목: “DCM이 생기는 이유”

기본 컨버터에서 두 번째 스위치는 다이오드이며, 다이오드는 한 방향으로만 도통합니다. 인덕터 전류는 직류값에 삼각파 리플이 더해진 형태입니다. 부하가 가벼워지면 직류값은 줄어들지만 리플은 줄어들지 않습니다. CCM에서 리플은 인가되는 전압과 LL, TsT_s에만 의존하기 때문입니다. 리플의 아래쪽 피크가 0에 도달하면 다이오드는 주기가 끝나기 전에 도통을 멈추고, 인덕터 전류는 스위치가 다시 켜질 때까지 0에 머뭅니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 5]. 이제 각 주기는 세 개의 부분 구간(subinterval)으로 이루어집니다. 스위치가 DTsD T_s 동안, 다이오드가 D2TsD_2 T_s 동안 도통하고, 나머지 D3TsD_3 T_s 동안은 어느 쪽도 도통하지 않습니다. 이것이 불연속 전도 모드(DCM)입니다. 인덕터 전류가 한 번도 0에 도달하지 않는 보통의 경우는 연속 전도 모드(continuous conduction mode, CCM)입니다.

CCM, 경계(boundary) K=KcritK = K_\mathrm{crit}, DCM에서의 인덕터 전류. DCM에서는 DTsDT_s 동안 오르고, D2TsD_2T_s 동안 0까지 내려간 뒤, D3TsD_3T_s 동안 0에 머뭅니다. [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 5]

컨버터가 어느 모드로 동작하는지는 무차원 파라미터(dimensionless parameter) K와 그 임계값(critical value)으로 결정됩니다. K 파라미터 페이지를 참고하십시오.

DCM 해석

섹션 제목: “DCM 해석”

전압-초 평형(volt-second balance)과 전하 평형(charge balance)은 여전히 성립하지만, 다음 두 가지가 달라집니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 5].

  1. 다이오드 구간 D2D_2가 새로운 미지수이므로 식이 하나 더 필요합니다.
  2. 인덕터 전류 리플이 더 이상 직류값에 비해 작지 않으므로, 인덕터 전류에는 소리플 근사(small-ripple approximation)를 적용해서는 안 됩니다. 인덕터 전류의 평균은 실제 삼각형 파형으로부터 계산합니다.

벅에서는 스위치 구간과 다이오드 구간에 걸쳐 전압-초 평형을 적용하면 다이오드 구간을 변환비로 나타낼 수 있습니다.

D2=D(1−M)MD_2 = \frac{D \left(1 - M\right)}{M}
D2D_2
다이오드 도통 구간 비율(DCM)
DD
듀티비(duty ratio)
MM
변환비(conversion ratio)
DCM 벅: 다이오드 도통 구간✓ 테스트 7개로 검증됨
가정, 표기 규약, 출처
가정
  • 이상적(무손실) 스위치와 수동 소자
  • 불연속 전도 모드(DCM)
  • 주기적 정상상태
  • 소리플 근사(small-ripple approximation)
비고
휴지 구간은 D3=1−D−D2D_3 = 1 - D - D_2입니다. D2≤1−DD_2 \le 1 - D는 M≥DM \ge D일 때에만 성립하므로 DCM 벅은 언제나 M>DM > D입니다
출처
Erickson & Maksimović 2020, Ch. 5 (The Discontinuous Conduction Mode)
유도
sympy 단계별 유도
수식 id
buck.dcm.D2 · equations.yaml 항목

이어서 전하 평형에 따라, 0에서 시작해 0에서 끝나는 삼각형인 인덕터 전류의 평균을 부하 전류와 같게 놓습니다. 두 조건을 연립하여 풀면 벅의 DCM 변환비를 얻습니다.

M=21+1+4KD2M = \frac{2}{1 + \sqrt{1 + \frac{4 K}{D^{2}}}}
MM
변환비(conversion ratio)
DD
듀티비(duty ratio)
KK
인덕터 파라미터(CCM/DCM 판별)
벅 변환비, DCM✓ 테스트 8개로 검증됨
가정, 표기 규약, 출처
가정
  • 이상적(무손실) 스위치와 수동 소자
  • 불연속 전도 모드(DCM)
  • 주기적 정상상태
  • 소리플 근사(small-ripple approximation)
  • 저항성 부하 R
표기 규약
M=V/VgM = V/V_g. K<Kcrit=1−DK < K_\mathrm{crit} = 1 - D에서 성립합니다
출처
Erickson & Maksimović 2020, Ch. 5 (The Discontinuous Conduction Mode)
유도
sympy 단계별 유도
수식 id
buck.dcm.M · equations.yaml 항목

부스트와 벅-부스트도 같은 과정을 따르며, 이때는 다이오드 전류의 평균을 부하 전류와 같게 놓습니다.

M=1+1+4D2K2M = \frac{1 + \sqrt{1 + \frac{4 D^{2}}{K}}}{2}
MM
변환비(conversion ratio)
DD
듀티비(duty ratio)
KK
인덕터 파라미터(CCM/DCM 판별)
부스트 변환비, DCM✓ 테스트 8개로 검증됨
가정, 표기 규약, 출처
가정
  • 이상적(무손실) 스위치와 수동 소자
  • 불연속 전도 모드(DCM)
  • 주기적 정상상태
  • 소리플 근사(small-ripple approximation)
  • 저항성 부하 R
표기 규약
M=V/VgM = V/V_g. K<Kcrit=D(1−D)2K < K_\mathrm{crit} = D(1 - D)^2에서 성립합니다
출처
Erickson & Maksimović 2020, Ch. 5 (The Discontinuous Conduction Mode)
유도
sympy 단계별 유도
수식 id
boost.dcm.M · equations.yaml 항목
M=−DKM = - \frac{D}{\sqrt{K}}
MM
변환비(conversion ratio)
DD
듀티비(duty ratio)
KK
인덕터 파라미터(CCM/DCM 판별)
벅-부스트 변환비, DCM✓ 테스트 8개로 검증됨
가정, 표기 규약, 출처
가정
  • 이상적(무손실) 스위치와 수동 소자
  • 불연속 전도 모드(DCM)
  • 주기적 정상상태
  • 소리플 근사(small-ripple approximation)
  • 저항성 부하 R
표기 규약
M=V/Vg<0M = V/V_g < 0(반전)입니다. K<Kcrit=(1−D)2K < K_\mathrm{crit} = (1 - D)^2에서 성립합니다
출처
Erickson & Maksimović 2020, Ch. 5 (The Discontinuous Conduction Mode)
유도
sympy 단계별 유도
수식 id
buckboost.dcm.M · equations.yaml 항목

단계별 유도는 유도 과정 페이지에 있습니다.

DCM에서 달라지는 점

섹션 제목: “DCM에서 달라지는 점”
  • 변환비가 부하에 따라 달라집니다. CCM에서 MM은 DD만의 함수이지만, DCM에서는 KK에도, 따라서 RR에도 의존합니다. 부하를 제거하면 KK가 0으로 가며, 벅의 출력은 VgV_g를 향해 올라가고 부스트와 벅-부스트의 출력은 한없이 올라갑니다. 따라서 개루프(open-loop) 컨버터는 절대로 부하 없이 동작시켜서는 안 됩니다.
  • 인덕터 피크 전류가 더 이상 부하에 의존하지 않습니다. 매 주기가 전류 0에서 시작하므로, DTsD T_s 동안 인가되는 전압과 LL, TsT_s가 피크를 정합니다.
  • 휴지 구간(idle interval) 동안 스위치 노드에서 링잉(ringing)이 발생합니다. 실제 스위치 노드에는 스위치와 다이오드에서 비롯된 커패시턴스가 있습니다. 인덕터 전류가 0에 도달하면 이 커패시턴스와 인덕터가 감쇠가 작은(lightly damped) L-C 회로를 이루며, 이 회로는 다음 주파수로 링잉합니다.
fring=12πLMCnodef_\mathrm{ring} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L_M C_\mathrm{node}}}
fringf_\mathrm{ring}
링잉 주파수
CnodeC_\mathrm{node}
스위치 노드 커패시턴스
LML_M
자화 인덕턴스(magnetizing inductance), 1차 기준
DCM 휴지 구간의 스위치 노드 링잉 주파수✓ 테스트 7개로 검증됨
가정, 표기 규약, 출처
가정
  • 감쇠 없는 L-C 공진
비고
다이오드 전류가 0이 된 뒤 LML_M이 스위치 노드 커패시턴스와 링잉합니다
출처
Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8 (Converter Transfer Functions: resonant frequency of an L-C pair)
유도
sympy 단계별 유도
수식 id
dcm.ring.f · equations.yaml 항목

풀이 예제

섹션 제목: “풀이 예제”

스위칭 원리 페이지의 벅 예제에 이번에는 열 배 가벼운 부하를 연결합니다.

경부하 벅 예제
기호값구하는 방법
VgV_g 입력 전압24 V주어진 값
DD 듀티비(duty ratio)0.5주어진 값
fsf_s 스위칭 주파수100 kHz주어진 값
LL 인덕턴스100 µH주어진 값
RR 부하 저항100 Ω주어진 값
CC 커패시턴스(출력 커패시터)10 µF주어진 값
TsT_s 스위칭 주기10 µs스위칭 주기
KK 인덕터 파라미터(CCM/DCM 판별)0.2무차원 인덕터 파라미터 K
KcritK_\mathrm{crit} CCM/DCM 경계의 K0.5벅 컨버터의 임계 K
LcritL_\mathrm{crit} 임계 인덕턴스(CCM/DCM 경계)250 µHCCM/DCM 경계의 임계 인덕턴스
Mccm{M}_{\mathrm{ccm}} 변환비(conversion ratio)0.5벅(buck) 변환비, CCM
Mdcm{M}_{\mathrm{dcm}} 변환비(conversion ratio)0.656벅 변환비, DCM
D2D_2 다이오드 도통 구간 비율(DCM)0.262DCM 벅: 다이오드 도통 구간
Vdcm{V}_{\mathrm{dcm}} 출력 전압15.7 V변환비로 구한 출력 전압

동작 모드: DCM (K>KcritK > K_\mathrm{crit}: 성립하지 않음)

CCM 공식대로라면 변환비는 0.5일 것입니다. DCM에서의 변환비는 0.656이므로, 출력은 입력의 절반이 아니라 15.7 V입니다. 다이오드는 주기 중 0.262의 비율 동안 도통하며, 여기에 스위치의 0.5를 합쳐도 주기가 다 채워지지 않아 휴지 구간이 남습니다.

직접 해 보기

섹션 제목: “직접 해 보기”

▶ 수식 탐색기에서 열기: 벅 변환비, DCM
초기값을 가져온 예제 buck-light-load

▶ 시뮬레이터에서 열기: 벅
초기값을 가져온 예제 buck-light-load

KK를 여러 디케이드에 걸쳐(로그 축) 스윕하십시오. KK가 작으면 변환비는 1에 가까워집니다. KK가 커지면 변환비는 줄어들며, KK가 KcritK_\mathrm{crit}에 도달하는 바로 그 지점에서 CCM 값인 DD와 같아집니다. 그 지점을 넘으면 컨버터는 CCM으로 동작하고 이 식은 더 이상 적용되지 않지만, 탐색기는 이 식을 계속 그립니다.

벤치 실습

섹션 제목: “벤치 실습”

다이오드 정류기(diode rectifier)를 사용하는 벅 컨버터와 값을 바꿀 수 있는 저항 부하를 준비하십시오. 벅 컨버터로는 예를 들어 비동기(asynchronous) 컨트롤러를 고정 주파수 모드로 동작시키는 저전압 평가 보드(evaluation board)를 사용할 수 있습니다. 부하를 가볍게 해 가면서 인덕터 전류는 전류 프로브로, 스위치 노드는 전압 프로브로 관찰하십시오. 전류가 처음으로 0에 닿는 부하, 휴지 구간이 나타나는 모습, 그 구간 동안 스위치 노드의 링잉을 기록하십시오. 듀티비(duty ratio)를 고정한 상태에서 부하가 가벼워질수록 출력 전압이 올라가는지 확인하십시오.

주의할 점

섹션 제목: “주의할 점”
  • 동기 정류(synchronous rectification)는 DCM을 없앱니다. DCM은 다이오드가 역방향 전류를 흘릴 수 없기 때문에 생깁니다. 주 스위치와 상보적으로(complementary) 구동되는 트랜지스터는 양방향으로 도통하므로, 경부하에서 인덕터 전류는 단순히 음의 값이 되고 컨버터는 CCM에 머뭅니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 5].
  • “경부하”는 상대적입니다. 주어진 부하가 가벼운지는 RR뿐 아니라 LL, TsT_s, DD에도 달려 있습니다. KK를 KcritK_\mathrm{crit}과 비교하십시오.
  • DCM에서는 CCM 공식을 사용하지 마십시오. 전류가 0에 도달하면 리플, 피크 전류, 변환비가 모두 다른 식을 따릅니다.

더 알아보기

섹션 제목: “더 알아보기”

퀴즈

섹션 제목: “퀴즈”

  1. 다이오드 정류기를 사용하는 벅 컨버터는 경부하에서 왜 DCM으로 들어갑니까?

    1. 경부하에서는 스위칭 주파수가 낮아집니다
    2. 인덕터 직류 전류는 줄어드는데 리플은 그대로이므로, 전류가 0에 도달하고 다이오드는 전류를 음의 방향으로 흘릴 수 없습니다
    3. 듀티비가 0.5보다 커집니다
    4. 출력 커패시터가 완전히 방전됩니다
    정답과 해설

    정답: B CCM에서 리플은 부하가 아니라 인가되는 전압과 LL, TsT_s에만 의존합니다. 직류 전류가 리플의 절반보다 작아지면 아래쪽 피크는 음의 값이 되겠지만, 다이오드가 역방향 전류를 막으므로 전류는 주기의 나머지 동안 0에 머뭅니다.

  2. DCM에서는 CCM 해석에 쓰는 가정 가운데 어느 것을 인덕터 전류에 대해 버려야 합니까?

    1. 전압-초 평형
    2. 전하 평형
    3. 소리플 근사
    4. 주기적 정상상태
    정답과 해설

    정답: C DCM에서는 리플이 전류 자체만큼 크므로 인덕터 전류를 그 직류값으로 대체할 수 없습니다. 회로가 여전히 주기적 정상상태에 있으므로 평형 조건은 그대로 성립합니다.

  3. DCM으로 동작하는 개루프 벅 컨버터의 부하 저항을 키웁니다. 듀티비가 고정되어 있을 때 출력 전압은 어떻게 됩니까?

    1. 입력 전압을 향해 올라갑니다
    2. DVgD V_g에 머뭅니다
    3. 0을 향해 떨어집니다
    4. 스위칭 주파수로 진동합니다
    정답과 해설

    정답: A RR을 키우면 KK가 작아지며, KK가 0으로 갈수록 DCM 변환비는 1을 향해 커집니다. 변환비가 DD만으로 정해지는 것은 CCM에서뿐입니다.

  4. 벅 컨버터가 D=0.5D = 0.5로 동작하는데, 출력을 측정하니 입력의 0.70.7배입니다. 어떤 결론을 내릴 수 있습니까?

    1. 컨버터가 CCM으로 동작하며 인덕터에 손실이 있습니다
    2. 듀티비 측정이 잘못되었습니다
    3. 컨버터가 DCM으로 동작합니다
    4. 컨버터가 CCM으로 동작하며 무부하 상태입니다
    정답과 해설

    정답: C CCM에서 이상적인 벅의 변환비는 정확히 DD이며, 손실은 변환비를 낮출 뿐입니다. 변환비가 DD보다 크다는 것은 인덕터 전류가 0에 도달한다는 뜻입니다. 즉 컨버터는 M>DM > D인 DCM으로 동작합니다.

  5. DCM 컨버터에서 휴지 구간 동안 스위치 노드에 나타나는 링잉의 원인은 무엇입니까?

    1. 스위치가 턴온될 때 다이오드의 역회복
    2. 인덕터 전류가 0에 도달한 뒤 인덕터가 스위치 노드의 커패시턴스와 공진하는 현상
    3. 출력 커패시터와 그 ESR의 공진
    4. 제어 루프에서 오는 노이즈
    정답과 해설

    정답: B 스위치와 다이오드가 모두 꺼져 있으면 인덕터와 스위치 노드 커패시턴스가 감쇠가 작은 L-C 회로를 이루며, 이 회로는 공진 주파수 1/(2πLC)1/(2\pi\sqrt{L C})로 링잉합니다.

  6. 벅 컨버터의 다이오드를 주 스위치와 상보적으로 구동되는 트랜지스터로 바꿉니다. 경부하에서는 어떻게 됩니까?

    1. 컨버터가 더 일찍 DCM에 들어갑니다
    2. 컨버터는 CCM을 유지하며, 인덕터 전류는 주기의 일부 동안 단순히 음의 값이 됩니다
    3. 출력 전압이 입력 전압을 향해 올라갑니다
    4. 스위칭 주파수가 절반이 됩니다
    정답과 해설

    정답: B DCM은 다이오드가 역방향으로 도통할 수 없기 때문에 생깁니다. 동기 정류기는 양방향으로 도통하므로 전류는 멈추는 대신 방향이 바뀌고, CCM 관계식이 계속 성립합니다.

이 사이트의 예제, 프리셋, 연습 문제에 나오는 수치는 교육용으로 만든 어림수(합성 값)이며, 실제 설계의 데이터가 아닙니다.