페이저, 임피던스, 라플라스 변환

목표

정현파 신호(sinusoidal signal)를 페이저(phasor)로, 인덕터와 커패시터를 임피던스(impedance)로 나타냅니다.
주어진 주파수에서 인덕터와 커패시터의 임피던스를 계산합니다.
컨버터 전달함수(transfer function)의 기본 구성 요소인 1차(first-order) 저역통과 필터(low-pass filter)의 차단 주파수(corner frequency)와, 차단 주파수보다 높은 주파수에서의 감쇠(attenuation)를 구합니다.

이론

페이저와 임피던스

정현파 정상상태(sinusoidal steady state)에서 선형 회로의 모든 전압과 전류는 전원 주파수의 정현파입니다. 각 전압과 전류는 진폭과 위상(phase)을 담은 복소수, 즉 페이저로 나타낼 수 있습니다 [Alexander & Sadiku 2017, Ch. 9]. 미분은 $j\omega$ 를 곱하는 연산이 되고, 각 소자는 전압 페이저를 전류 페이저로 나눈 비, 곧 임피던스로 나타냅니다 [Alexander & Sadiku 2017, Ch. 9]. 인덕터와 커패시터의 임피던스 크기는 다음과 같습니다.

|Z_L| = 2 \pi f L

$|Z_L|$: 인덕터 임피던스
$L$: 인덕턴스
$f$: 주파수

인덕터 임피던스의 크기✓ 테스트 7개로 검증됨

가정, 표기 규약, 출처

가정

이상적(무손실) 스위치와 수동 소자
정현파 정상상태(페이저 해석)

비고

임피던스는

j 2\pi f L

입니다. 크기는 주파수에 비례해 커지고, 전류는 전압보다 위상이 90° 늦습니다

출처

Alexander & Sadiku 2017, Ch. 9 (Sinusoids and Phasors)

유도

sympy 단계별 유도

수식 id

imp.ZL · equations.yaml 항목

|Z_C| = \frac{1}{2 \pi f C}

$|Z_C|$: 커패시터 임피던스
$C$: 커패시턴스(출력 커패시터)
$f$: 주파수

커패시터 임피던스의 크기✓ 테스트 7개로 검증됨

가정, 표기 규약, 출처

가정

이상적(무손실) 스위치와 수동 소자
정현파 정상상태(페이저 해석)

비고

임피던스는

1/(j 2\pi f C)

입니다. 크기는 주파수에 반비례해 작아지고, 전류는 전압보다 위상이 90° 앞섭니다

출처

Alexander & Sadiku 2017, Ch. 9 (Sinusoids and Phasors)

유도

sympy 단계별 유도

수식 id

imp.ZC · equations.yaml 항목

인덕터의 임피던스는 주파수가 높아질수록 커지고, 커패시터의 임피던스는 작아집니다. 이 성질 덕분에 컨버터의 L-C 필터는 스위치 노드(switch node) 전압의 직류 성분(dc component)은 통과시키면서 스위칭 고조파(harmonics)는 제거할 수 있습니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 2].

라플라스 변환과 전달함수

라플라스 변환(Laplace transform)은 같은 개념을 정현파에서 임의의 신호로 확장합니다. $j\omega$ 대신 복소 주파수(complex frequency) $s$ 를 쓰면, 선형 회로를 출력 변환과 입력 변환의 비인 전달함수로 나타낼 수 있습니다 [Alexander & Sadiku 2017, Ch. 15]. 전달함수를 $j\omega$ 에서 계산하면 주파수 응답(frequency response), 즉 각 주파수에서의 이득(gain)과 위상을 얻습니다 [Alexander & Sadiku 2017, Ch. 14].

1차 저역통과 필터

저항과 커패시터를 직렬로 연결하고 커패시터 양단에서 출력을 취하면 가장 단순한 저역통과 필터가 됩니다. 이 필터의 이득은 낮은 주파수에서 1에 가깝고, 차단 주파수보다 높은 주파수에서 감소합니다 [Alexander & Sadiku 2017, Ch. 14].

f_c = \frac{1}{2 \pi R_f C_f}

$f_c$: 차단 주파수(corner frequency, -3 dB)
$C_f$: 필터 커패시터
$R_f$: 필터 저항

1차 R-C 저역통과 필터의 차단 주파수✓ 테스트 7개로 검증됨

가정, 표기 규약, 출처

가정

출력에 부하가 없는 1차 R-C 저역통과 필터

비고

f_c

에서 출력 크기는 입력의

1/\sqrt{2}

(-3 dB 지점)입니다

출처

Alexander & Sadiku 2017, Ch. 14 (Frequency Response)

유도

sympy 단계별 유도

수식 id

rc.fc · equations.yaml 항목

|G| = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{f}{f_c}\right)^{2}}}

$|G|$: 저역 통과(low-pass) 이득
$f$: 주파수
$f_c$: 차단 주파수(corner frequency, -3 dB)

1차 저역통과 필터의 이득 크기✓ 테스트 8개로 검증됨

가정, 표기 규약, 출처

가정

출력에 부하가 없는 1차 R-C 저역통과 필터
정현파 정상상태(페이저 해석)

비고

f_c

보다 충분히 높은 주파수에서 이득은 주파수에 반비례해 줄어듭니다. 보드 선도에서는 디케이드당 -20 dB입니다

출처

Alexander & Sadiku 2017, Ch. 14 (Frequency Response)

유도

sympy 단계별 유도

수식 id

rc.gain · equations.yaml 항목

차단 주파수보다 충분히 높은 주파수에서는 주파수가 한 디케이드(decade) 높아질 때마다 이득이 10분의 1로 줄어듭니다. 이는 보드 선도(Bode plot)에서 디케이드당 -20 dB의 기울기입니다 [Alexander & Sadiku 2017, Ch. 14]. 컨버터의 L-C 필터는 2차(second-order) 필터이며, 공진(resonance) 주파수보다 높은 주파수에서는 디케이드당 -40 dB로 감소합니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8] (소신호(small-signal) 페이지 참고).

풀이 예제

한 주파수에서의 인덕터, 커패시터, R-C 필터 예제입니다.

임피던스·R-C 필터 예제

기호	값	구하는 방법
$f$ 주파수	100 kHz	주어진 값
$L$ 인덕턴스	100 µH	주어진 값
$C$ 커패시턴스(출력 커패시터)	1 µF	주어진 값
$R_f$ 필터 저항	1 kΩ	주어진 값
$C_f$ 필터 커패시터	10 nF	주어진 값
$\|Z_L\|$ 인덕터 임피던스	62.8 Ω	인덕터 임피던스의 크기
$\|Z_C\|$ 커패시터 임피던스	1.59 Ω	커패시터 임피던스의 크기
$f_c$ 차단 주파수(corner frequency, -3 dB)	15.9 kHz	1차 R-C 저역통과 필터의 차단 주파수
$\|G\|$ 저역 통과(low-pass) 이득	0.157	1차 저역통과 필터의 이득 크기

100 kHz에서 인덕터의 임피던스는 62.8 Ω인 반면, 커패시터의 임피던스는 1.59 Ω에 불과합니다. R-C 필터의 차단 주파수는 15.9 kHz이므로, 예제의 주파수에서 필터는 입력 진폭의 0.157만 통과시킵니다.

직접 해 보기

▶ 수식 탐색기에서 열기: 1차 저역통과 필터의 이득 크기
초기값을 가져온 예제 impedance-basic

$f$ 를 로그 축에서 스윕(sweep)하십시오. 이득은 차단 주파수 아래에서 평탄하고, 차단 주파수에서 $1/\sqrt{2}$ 이며, 그 위에서는 디케이드마다 10분의 1로 줄어듭니다. 그런 다음 커패시터의 임피던스 식을 열고 $f$ 를 다시 스윕하여 같은 반비례 관계를 확인하십시오.

벤치 실습

차단 주파수가 가청 주파수 대역에 있는 R-C 저역통과 필터를 만들고, 함수 발생기(function generator)의 정현파로 구동하면서, 차단 주파수 주변의 여러 주파수에서 오실로스코프(oscilloscope)로 출력의 진폭과 위상을 측정하십시오. 로그 축의 주파수에 대해 이득을 데시벨(decibel)로 그린 다음 식과 비교하십시오. 차단 주파수에서 이득은 3 dB 낮아지고 출력은 입력보다 45° 뒤지며, 그보다 한 디케이드 위에서는 이득이 약 20 dB 낮아집니다.

주의할 점

크기는 위상을 감춥니다. 임피던스 크기가 같은 인덕터와 커패시터는 직렬로 연결하면 서로 더해지지 않고 상쇄됩니다. 그 주파수에서 둘은 직렬 공진(series resonance) 상태입니다 [Alexander & Sadiku 2017, Ch. 14].
라디안 또는 헤르츠. $\omega$ 는 초당 라디안, $f$ 는 헤르츠 단위입니다. 둘을 섞으면 차단 주파수가 $2\pi$ 배 달라집니다.
부하가 걸린 필터는 다른 필터입니다. 차단 주파수 식은 출력에서 전류가 흘러 나가지 않는다고 가정합니다. 커패시터와 병렬로 연결된 부하는 이득을 낮추고 차단 주파수를 바꿉니다.

더 알아보기

강의 노트 6.003 Lecture Notes — D. Freeman, MIT OpenCourseWare · 확인일 2026-09-23
강의 슬라이드: 라플라스 변환(6강), 주파수 응답과 보드 선도(9강, 11강), 푸리에 급수(15강).
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회로 법칙, 에너지 저장 소자, 정현파 정상상태를 다루는 강의별 노트(2000년 가을 학기 자료).

퀴즈

$1\,\mathrm{MHz}$ 에서 $10\,\mu\mathrm{H}$ 인덕터의 임피던스 크기는 얼마입니까?
1. $6.28\,\Omega$
2. $62.8\,\Omega$
3. $628\,\Omega$
4. $0.0159\,\Omega$
정답과 해설
정답: B 크기는 $2\pi f L$ , 즉 $2\pi \times 10^6 \times 10^{-5}$ 입니다.
주파수를 두 배로 높입니다. 커패시터의 임피던스 크기는 어떻게 됩니까?
1. 두 배가 됨
2. 절반이 됨
3. 변하지 않음
4. 4분의 1로 줄어듦
정답과 해설
정답: B 커패시터의 임피던스 크기는 주파수에 반비례합니다.
R-C 저역통과 필터가 $10\,\mathrm{k}\Omega$ 저항과 $1\,\mathrm{nF}$ 커패시터로 이루어져 있습니다. 차단 주파수는 얼마입니까?
1. $1.59\,\mathrm{kHz}$
2. $15.9\,\mathrm{kHz}$
3. $159\,\mathrm{kHz}$
4. $100\,\mathrm{kHz}$
정답과 해설
정답: B 차단 주파수는 $1/(2\pi R C)$ 이며, $R C$ 는 $10\,\mu\mathrm{s}$ 입니다.
1차 저역통과 필터의 차단 주파수에서 이득은 얼마입니까?
1. 1
2. $1/\sqrt{2}$ , 약 -3 dB
3. 1/2, 약 -6 dB
4. 0
정답과 해설
정답: B 차단 주파수에서는 분모의 실수부와 허수부가 같으므로 크기는 $1/\sqrt{2}$ 입니다.
1차 저역통과 필터는 차단 주파수보다 한 디케이드 높은 주파수의 정현파를 대략 얼마나 감쇠시킵니까?
1. 2분의 1로
2. 약 10분의 1로(-20 dB)
3. 100분의 1로(-40 dB)
4. 전혀 감쇠시키지 않음
정답과 해설
정답: B 이득은 $1/\sqrt{1 + 100}$ , 즉 약 $0.0995$ 이며, 기울기는 디케이드당 -20 dB입니다.
벅 컨버터의 L-C 필터가 스위치 노드 전압의 직류 성분은 통과시키고 스위칭 리플은 통과시키지 않는 이유는 무엇입니까?
1. 인덕터의 임피던스는 직류에서 0이고 스위칭 주파수에서 크며, 커패시터의 임피던스는 그 반대이기 때문
2. 커패시터가 직류를 차단하기 때문
3. 인덕터가 모든 주파수에서 단락 회로이기 때문
4. 스위치 노드 전압에 고조파가 없기 때문
정답과 해설
정답: A 직류에서 인덕터는 단락 회로, 커패시터는 개방 회로입니다. 스위칭 주파수에서는 인덕터의 임피던스가 크고 커패시터의 임피던스가 작으므로, 리플은 분압되어 작아집니다.

이 사이트의 예제, 프리셋, 연습 문제에 나오는 수치는 교육용으로 만든 어림수(합성 값)이며, 실제 설계의 데이터가 아닙니다.