전원 모델

목표

동작 범위에서 선형인 하베스터를 개방 전압과 직렬 전원 저항으로 모델링하고, 그 전원이 낼 수 있는 최대 전력을 알아 둡니다.
진동하는 압전 소자(piezoelectric element)를 클램프 커패시턴스(clamped capacitance)와 병렬인 전류원으로 모델링하고, 그로부터 가장 많은 전력을 받는 저항을 구합니다.
마찰전기 발전기(triboelectric generator)의 성능 지수(figure of merit)가 무엇을 비교하는지 알아 둡니다.

이론

선형 전원

동작 범위에서 선형인 전원은 부하에서 보면 개방 전압(open-circuit voltage) $V_\mathrm{oc}$ 와 직렬 전원 저항 $R_s$ , 곧 테브난 등가회로(Thevenin equivalent)로 보입니다 [Alexander & Sadiku 2017, Ch. 4]. 이 전원은 전원 저항과 같은 부하에 가장 큰 전력을 전달합니다 [Alexander & Sadiku 2017, Sec. 4.8 (Maximum Power Transfer)].

P_\mathrm{max} = \frac{V_\mathrm{oc}^{2}}{4 R_s}

$P_\mathrm{max}$: 최대 가용 전력
$R_s$: 전원 내부 저항(source resistance)
$V_\mathrm{oc}$: 전원 개방 전압(open-circuit voltage)

선형 전원의 최대 전력✓ 테스트 7개로 검증됨

가정, 표기 규약, 출처

가정

선형(테브난) 전원: R_s 뒤의 V_oc

비고

정합 부하

R_L = R_s

에 전달될 때의 값입니다

출처

Alexander & Sadiku 2017, Sec. 4.8 (Maximum Power Transfer)

유도

sympy 단계별 유도

수식 id

src.Pmax · equations.yaml 항목

이것이 전원의 가용 전력입니다. 전원에 연결된 컨버터가 이 가운데 얼마를 가져가는지는 컨버터 입력이 어떻게 보이는지에 달려 있으며, 정합 모듈에서 그 비율을 구합니다.

진동하는 압전 소자

정현파로 진동하는 구조물에 붙은 압전 소자는 구조물의 속도에 비례하는 전류를 흘립니다. 단자 양단의 클램프 커패시턴스 $C_0$ 와 함께 보면, 이 소자는 $C_0$ 와 병렬인 전류원 $I_p \sin \omega t$ 입니다 [Guyomar et al. 2005]. 단, 전기 쪽이 가져가는 에너지가 진동 진폭을 바꾸지 않는 한 그렇습니다. 아무것도 연결하지 않으면 전류 전부가 $C_0$ 를 충방전하고, 전압은 양방향으로 각각 다음만큼 변합니다.

V_p = \frac{I_p}{\omega C_0}

$V_p$: 개방 전압 진폭
$C_0$: 클램프 커패시턴스(clamped capacitance)
$I_p$: 압전 전류 진폭
$\omega$: 진동 각주파수

진동하는 압전 소자의 개방 전압 진폭✓ 테스트 7개로 검증됨

가정, 표기 규약, 출처

가정

압전 소자를 클램프 커패시턴스 C_0와 병렬인 전류원 I_p sin(ωt)로 모델링; 진동 진폭은 전기적 부하와 무관(약결합)

비고

아무것도 연결하지 않으면 전류 전부가

C_0

를 충방전합니다

출처

Guyomar et al. 2005, the element's electromechanical model; derived here

유도

sympy 단계별 유도

수식 id

piezo.Vp · equations.yaml 항목

내부 임피던스는 저항이 아니라 커패시턴스입니다. 소자 양단의 저항은 $C_0$ 와 전류를 나누며, 진동 주파수에서 커패시턴스의 리액턴스와 같을 때 가장 많은 전력을 받습니다.

R = \frac{1}{\omega C_0}

$R$: 부하 저항
$C_0$: 클램프 커패시턴스(clamped capacitance)
$\omega$: 진동 각주파수

진동하는 압전 소자에서 가장 많은 전력을 받는 저항 부하✓ 테스트 7개로 검증됨

가정, 표기 규약, 출처

가정

압전 소자를 클램프 커패시턴스 C_0와 병렬인 전류원 I_p sin(ωt)로 모델링; 진동 진폭은 전기적 부하와 무관(약결합)

비고

진동 주파수에서 클램프 커패시턴스의 리액턴스와 같습니다

출처

Guyomar et al. 2005, the element's electromechanical model; derived here

유도

sympy 단계별 유도

수식 id

piezo.R_opt · equations.yaml 항목

P = \frac{I_p^{2}}{4 \omega C_0}

$P$: 전력
$C_0$: 클램프 커패시턴스(clamped capacitance)
$I_p$: 압전 전류 진폭
$\omega$: 진동 각주파수

최적 저항 부하로 들어가는 전력✓ 테스트 7개로 검증됨

가정, 표기 규약, 출처

가정

압전 소자를 클램프 커패시턴스 C_0와 병렬인 전류원 I_p sin(ωt)로 모델링; 진동 진폭은 전기적 부하와 무관(약결합)

비고

소자 양단의 저항

R

은

I_p^2 R/(2(1 + (\omega R C_0)^2))

를 받으며,

R = 1/(\omega C_0)

에서 최대입니다

출처

Guyomar et al. 2005, the element's electromechanical model; derived here

유도

sympy 단계별 유도

수식 id

piezo.P_R · equations.yaml 항목

최적 저항은 주파수에 따라 달라지므로, 한 진동 주파수에 맞춘 저항은 다른 주파수에서는 정합되지 않습니다. 부하가 가져가는 에너지는 진동에서 나오므로, 이 모델은 매 주기 수확하는 에너지가 구조물 자체의 기계적 손실에 비해 충분히 작을 때, 또는 운동이 외부에서 강제될 때 성립합니다. 그렇지 않으면 수확이 진동 진폭을 낮추고, 날카로운 공진 근처에서는 전기적 부하가 공진 자체를 옮길 수도 있습니다. 모델은 두 효과를 모두 무시하므로 전력을 과대평가합니다.

저장 소자에는 직류 전압이 필요하므로 소자는 보통 정류기를 거쳐 동작합니다. 최적 직류 전압에 연결된 전파 브리지(full-wave bridge)는 최적 저항보다 적게 가져가고 (표준 인터페이스의 최대 전력), 두 비선형 인터페이스인 SECE와 SSHI는 더 많이 가져갑니다(SECE, SSHI, MPPT).

마찰전기 발전기

Zi 등은 마찰전기 나노발전기(triboelectric nanogenerator)를, 한 사이클의 운동이 낼 수 있는 가장 큰 에너지, 곧 최대 에너지 출력 사이클(cycles for maximized energy output)의 에너지를 면적과 변위로 나눈 값으로 비교하자고 제안했습니다. 이 성능 지수는 설계가 정하는 구조 성능 지수(structural figure of merit)에, 재료가 정하는 표면 전하 밀도(surface charge density)의 제곱을 곱한 값입니다 [Zi et al. 2015]. 특정 부하가 받는 전력이 아니라 사이클당 에너지로 발전기를 평가합니다.

풀이 예제

개방 상태의 압전 소자와, 최적 저항을 연결한 같은 소자:

압전 전원 예제

기호	값	구하는 방법
$I_p$ 압전 전류 진폭	100 µA	주어진 값
$\omega$ 진동 각주파수	1 krad/s	주어진 값
$C_0$ 클램프 커패시턴스(clamped capacitance)	50 nF	주어진 값
$V_p$ 개방 전압 진폭	2 V	진동하는 압전 소자의 개방 전압 진폭
$R$ 부하 저항	20 kΩ	진동하는 압전 소자에서 가장 많은 전력을 받는 저항 부하
${P}_{\mathrm{R}}$ 전력	50 µW	최적 저항 부하로 들어가는 전력

소자는 50 nF와 병렬로 1 krad/s에서 100 µA를 흘립니다. 개방 상태에서는 전압이 양방향으로 각각 2 V만큼 변합니다. 최적 저항은 20 kΩ이고, 이 저항은 50 µW를 받습니다.

직접 해 보기

▶ 수식 탐색기에서 열기: 진동하는 압전 소자에서 가장 많은 전력을 받는 저항 부하
초기값을 가져온 예제 piezo-source

진동 주파수를 바꿔 보면 주파수가 높을수록 최적 저항이 작아집니다. 고정 저항은 한 주파수의 진동에만 정합됩니다.

▶ 수식 탐색기에서 열기: 선형 전원의 최대 전력
초기값을 가져온 예제 match-basic

선형 전원의 전원 저항을 바꿔 보면, 절반으로 줄일 때 가용 전력이 두 배가 됩니다.

벤치 실습

소자를 일정한 정현파 진폭으로 구동하는 가진기(shaker)에 붙입니다. 입력 저항이 최적 저항보다 훨씬 큰 프로브로 개방 전압 진폭을 재고, $C_0$ 에 더해지는 프로브의 입력 커패시턴스를 적어 둡니다(프로브). 이어서 소자에 디케이드 저항 박스(decade resistance box)를 연결해 값마다 전압 진폭을 기록하고, 각 저항이 받는 전력을 계산합니다. 가장 많이 받는 저항을 찾아, 소자 커패시턴스의 진동 주파수에서의 리액턴스와 비교합니다. 커패시턴스는 구조물의 공진에서 떨어진 주파수에서 LCR 미터로 잽니다. 공진 근처에서는 운동이 측정 커패시턴스에 더해지고, 공진에서 떨어지면 결합이 약한 소자에서는 거의 더해지지 않습니다. 다른 주파수에서 반복해 최적 저항이 바뀌는 것을 확인합니다.

주의할 점

프로브는 임피던스가 높은 전원에 부하가 됩니다. 프로브의 입력 저항과 커패시턴스는 전원과 병렬로 들어가므로, 읽은 값을 믿기 전에 최적 저항 (최적 저항) 및 $C_0$ 와 비교합니다.
최적 저항은 한 주파수에서만 맞습니다. 진동 주파수에서의 $C_0$ 리액턴스이므로 주파수에 따라 달라집니다.
직류 전압에 연결된 브리지는 최적 저항보다 적게 가져갑니다 (표준 인터페이스의 최대 전력).
모델에는 부하에 의한 진동 감쇠가 없습니다. 부하가 가져가는 에너지가 구조물 자체의 손실에 비해 작지 않으면 진동 진폭이 줄어들고, 이때 모델은 전력을 과대평가합니다.

더 알아보기

논문 Standards and figure-of-merits for quantifying the performance of triboelectric nanogenerators — Y. Zi, S. Niu, J. Wang, Z. Wen, W. Tang, Z. L. Wang · 확인일 2026-09-24
오픈 액세스 논문: 최대 에너지 출력 사이클과, 한 사이클이 면적과 변위당 내는 에너지로 마찰전기 나노발전기를 비교하는 성능 지수.
논문 Toward energy harvesting using active materials and conversion improvement by nonlinear processing — D. Guyomar, A. Badel, E. Lefeuvre, C. Richard · 확인일 2026-09-24
인덕터 동기 스위치 하베스팅(SSHI)을 처음 제안한 논문. PubMed 기록에 초록이 실려 있습니다.

퀴즈

선형 전원의 개방 전압이 20 V, 전원 저항이 50 ohm입니다. 이 전원이 낼 수 있는 최대 전력은 얼마입니까?
1. 8 W
2. 2 W
3. 4 W
4. 0.5 W
정답과 해설
정답: B 개방 전압의 제곱을 전원 저항의 네 배로 나눈 값입니다. 400 ÷ 200 = 2 W이며, 50 ohm 부하에서 얻습니다.
이 전원은 어떤 부하에 가장 큰 전력을 줍니까?
1. 전류를 가장 많이 끌어오는 단락
2. 전압이 가장 높은 개방
3. 전원 저항과 같은 저항, 50 ohm
4. 전원 저항의 두 배인 저항
정답과 해설
정답: C 정합 부하에서는 개방 전압의 절반이 부하에, 절반이 전원 저항에 걸립니다. 단락이나 개방은 전력을 전혀 받지 못합니다.
압전 소자가 25 nF의 클램프 커패시턴스와 병렬로, 2000 rad/s에서 진폭 50 uA의 전류를 흘립니다. 개방 전압 진폭은 얼마입니까?
1. 1 V
2. 0.5 V
3. 2 V
4. 4 V
정답과 해설
정답: A 아무것도 연결하지 않으면 전류 전부가 커패시턴스를 충방전합니다. 50e-6 ÷ (2000 × 25e-9) = 1 V입니다.
이 소자에서 최적 저항이 받는 전력은 얼마입니까?
1. 25 uW
2. 50 uW
3. 6.25 uW
4. 12.5 uW
정답과 해설
정답: D 최적 저항은 커패시턴스의 리액턴스인 1/(2000 × 25e-9) = 20 kohm이고, 받는 전력은 전류 진폭의 제곱을 omega C_0의 네 배로 나눈 값입니다. 2.5e-9 ÷ 2e-4 = 12.5 uW입니다.
전류 진폭은 그대로이고 진동 주파수가 두 배가 됩니다. 최적 저항은 어떻게 됩니까?
1. 두 배가 된다
2. 절반이 된다
3. 그대로다
4. 4분의 1이 된다
정답과 해설
정답: B 최적 저항은 클램프 커패시턴스의 리액턴스, 곧 1/(omega C_0)이므로 omega가 두 배가 되면 절반이 됩니다.
오실로스코프 프로브가 임피던스가 높은 전원의 측정값을 바꿀 수 있는 이유는 무엇입니까?
1. 프로브의 입력 저항과 커패시턴스가 전원과 병렬로 들어가 전류의 일부를 가져가기 때문
2. 모든 측정값에 직류 오프셋을 더하기 때문
3. 진동 주파수를 바꾸기 때문
4. 바꿀 수 없다. 프로브는 전류를 끌어오지 않는다
정답과 해설
정답: A 프로브도 부하입니다. 최적 저항이 큰 전원 앞에서는 프로브의 입력 저항과 커패시턴스를 무시할 수 없습니다.
Zi 등의 성능 지수는 마찰전기 나노발전기를 평가할 때 무엇을 곱합니까?
1. 개방 전압과 단락 전류
2. 고정 저항에 들어가는 전력과 면적
3. 커패시턴스와 주파수
4. 설계가 정하는 구조 성능 지수와, 표면 전하 밀도의 제곱
정답과 해설
정답: D 한 사이클이 낼 수 있는 에너지를 면적당, 변위당으로 평가합니다. 설계 부분과, 표면 전하 밀도의 제곱인 재료 부분으로 이루어집니다.

이 사이트의 예제, 프리셋, 연습 문제에 나오는 수치는 교육용으로 만든 어림수(합성 값)이며, 실제 설계의 데이터가 아닙니다.