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스위칭 컨버터 스터디

전압-초 평형과 전하 평형

목표

섹션 제목: “목표”
  • 인덕터 전압-초 평형(volt-second balance)과 커패시터 전하 평형(charge balance)을 기술하고, 이 두 조건이 정상상태(steady state)에서 성립하는 이유를 설명합니다.
  • 이를 이용해 연속 전도 모드(continuous conduction mode, CCM)로 동작하는 컨버터의 직류 변환비(conversion ratio)를 구합니다.
  • 평형 조건이 적용되지 않는 경우를 파악합니다.

이론

섹션 제목: “이론”

전압-초 평형

섹션 제목: “전압-초 평형”

주기적 정상상태에서는 모든 파형이 스위칭 주기(switching period)마다 반복되므로, 인덕터 전류는 각 주기가 끝날 때 그 주기를 시작한 값으로 돌아옵니다. 인덕터 전압을 한 주기 동안 적분한 값은 LL에 이 전류 순변화를 곱한 값과 같고, 이 순변화는 0입니다. 따라서 한 주기에 걸친 인덕터 전압의 평균은 0, 즉 ⟨vL⟩=0\langle v_L \rangle = 0입니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 2]. 이것이 인덕터 전압-초 평형입니다.

CCM의 벅. 인덕터 전압 vLv_L은 스위치가 켜진 동안 Vg−VV_g - V, 꺼진 동안 −V-V입니다. 정상상태(steady state)에서는 음영으로 표시한 두 전압-초(volt-second) 면적이 같아서, iLi_L이 매 주기 시작한 값으로 돌아옵니다. ΔiL\Delta i_L은 피크-피크 리플(ripple)의 절반입니다. [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 2]

소리플 근사(small-ripple approximation)를 적용하면, 인덕터 전압은 온 구간(on-interval) DTsD T_s 동안 하나의 일정한 값을, 오프 구간(off-interval) (1−D)Ts(1 - D) T_s 동안 또 다른 일정한 값을 가집니다. 평형 조건에 따라 두 번째 값은 첫 번째 값으로 정해집니다.

vL,off=−DvL,on1−Dv_{L,\mathrm{off}} = - \frac{D v_{L,\mathrm{on}}}{1 - D}
vL,offv_{L,\mathrm{off}}
인덕터 전압(스위치 오프)
DD
듀티비(duty ratio)
vL,onv_{L,\mathrm{on}}
인덕터 전압(스위치 온)
전압-초 평형: 오프 구간의 인덕터 전압✓ 테스트 7개로 검증됨
가정, 표기 규약, 출처
가정
  • 주기적 정상상태
  • 소리플 근사(small-ripple approximation)
비고
⟨vL⟩=0\langle v_L \rangle = 0을 두 구간으로 나누어 쓴 형태입니다
출처
Erickson & Maksimović 2020, Ch. 2 (Principles of Steady-State Converter Analysis)
유도
sympy 단계별 유도
수식 id
vsb.v_off · equations.yaml 항목

스위치가 켜져 있는 동안 가해진 양의 전압-초는 스위치가 꺼져 있는 동안의 음의 전압-초로 상쇄되어야 합니다.

평균이 0이 아닐 때

섹션 제목: “평균이 0이 아닐 때”

한 주기 동안 인덕터 전류는 인덕터 전압의 평균에 주기를 곱해 인덕턴스로 나눈 만큼 변합니다.

Δi=⟨vL⟩TsL\Delta i = \frac{\langle v_L \rangle T_s}{L}
Δi\Delta i
인덕터 전류 변화량
LL
인덕턴스
TsT_s
스위칭 주기
⟨vL⟩\langle v_L \rangle
한 주기 동안의 인덕터 전압 평균
한 주기 동안의 인덕터 전류 변화✓ 테스트 7개로 검증됨
가정, 표기 규약, 출처
가정
  • 선형(비포화) 자성 재료
비고
주기적 정상상태에서는 0입니다(전압-초 평형). 평균이 0이 아닌 동안에는 기동이나 부하 변화 직후처럼 전류가 주기마다 변합니다
출처
Erickson & Maksimović 2020, Ch. 2 (Principles of Steady-State Converter Analysis); derived here
유도
sympy 단계별 유도
수식 id
vsb.drift · equations.yaml 항목

기동(start-up), 부하의 계단 변화, 입력 전압의 계단 변화 같은 과도 상태(transient)에서는 이 변화가 컨버터를 한 주기씩 새 정상상태로 이끕니다. 평균이 0에 이를 수 없는 회로에는 정상상태가 아예 없습니다. 고정된 출력 전압에 전력을 공급하는 컨버터를 CCM에서 평형을 이루는 듀티비(duty ratio)보다 큰 듀티비로 동작시키면, 인덕터 전류가 매 주기 같은 양만큼 한없이 늘어납니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 2]. 그보다 작으면 전류가 주기 안에서 0까지 떨어지고, 컨버터는 DCM에서 안정되며 휴지 구간이 평균을 0으로 만듭니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 5].

전하 평형

섹션 제목: “전하 평형”

커패시터에도 같은 논리가 적용됩니다. 커패시터 전압은 각 주기가 끝날 때 그 주기를 시작한 값으로 돌아오므로, 커패시터에 전달된 순전하는 0이고 커패시터 전류의 평균도 0, 즉 ⟨iC⟩=0\langle i_C \rangle = 0입니다. 이것이 커패시터 전하 평형입니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 2]. 두 구간 형태로 쓰면 다음과 같습니다.

iC,off=−DiC,on1−Di_{C,\mathrm{off}} = - \frac{D i_{C,\mathrm{on}}}{1 - D}
iC,offi_{C,\mathrm{off}}
커패시터 전류(스위치 오프)
DD
듀티비(duty ratio)
iC,oni_{C,\mathrm{on}}
커패시터 전류(스위치 온)
전하 평형: 오프 구간의 커패시터 전류✓ 테스트 7개로 검증됨
가정, 표기 규약, 출처
가정
  • 주기적 정상상태
  • 소리플 근사(small-ripple approximation)
비고
⟨iC⟩=0\langle i_C \rangle = 0을 두 구간으로 나누어 쓴 형태입니다
출처
Erickson & Maksimović 2020, Ch. 2 (Principles of Steady-State Converter Analysis)
유도
sympy 단계별 유도
수식 id
csb.i_off · equations.yaml 항목

전압-초 평형으로는 컨버터의 전압 관계를 얻고, 전하 평형으로는 직류 전류를 얻습니다.

벅

섹션 제목: “벅”

스위치가 켜져 있는 동안 인덕터는 VgV_g와 출력 사이에 놓이므로, 인덕터 전압은 Vg−VV_g - V입니다. 다이오드가 도통(conduction)하는 동안에는 인덕터의 입력 쪽 단자가 접지되어 인덕터 전압은 −V-V입니다. 두 전압에 평형 조건을 적용하면 벅 변환비를 얻습니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 2].

M=DM = D
MM
변환비(conversion ratio)
DD
듀티비(duty ratio)
벅(buck) 변환비, CCM✓ 테스트 8개로 검증됨
가정, 표기 규약, 출처
가정
  • 이상적(무손실) 스위치와 수동 소자
  • 연속 전도 모드(CCM)
  • 주기적 정상상태
  • 소리플 근사(small-ripple approximation)
표기 규약
M=V/VgM = V/V_g
출처
Erickson & Maksimović 2020, Ch. 2 (Principles of Steady-State Converter Analysis)
유도
sympy 단계별 유도
수식 id
buck.ccm.M · equations.yaml 항목

부스트

섹션 제목: “부스트”

부스트 컨버터는 인덕터를 입력 쪽에 둡니다. 스위치가 켜져 있으면 인덕터에 VgV_g가 걸리고, 다이오드가 도통하면 Vg−VV_g - V가 걸립니다. 두 값이 평형을 이루려면 VV가 VgV_g보다 커야 합니다.

M=11−DM = \frac{1}{1 - D}
MM
변환비(conversion ratio)
DD
듀티비(duty ratio)
부스트(boost) 변환비, CCM✓ 테스트 8개로 검증됨
가정, 표기 규약, 출처
가정
  • 이상적(무손실) 스위치와 수동 소자
  • 연속 전도 모드(CCM)
  • 주기적 정상상태
  • 소리플 근사(small-ripple approximation)
표기 규약
M=V/VgM = V/V_g
출처
Erickson & Maksimović 2020, Ch. 2 (Principles of Steady-State Converter Analysis)
유도
sympy 단계별 유도
수식 id
boost.ccm.M · equations.yaml 항목

벅-부스트

섹션 제목: “벅-부스트”

벅-부스트 컨버터는 스위치가 켜져 있는 동안 인덕터를 VgV_g에 연결하고, 다이오드가 도통하는 동안에는 출력에 연결합니다. 출력 극성이 반전되므로 변환비는 음수이며, 그 크기는 D<0.5D < 0.5에서 1보다 작고 D>0.5D > 0.5에서 1보다 큽니다.

M=−D1−DM = - \frac{D}{1 - D}
MM
변환비(conversion ratio)
DD
듀티비(duty ratio)
벅-부스트(buck-boost) 변환비, CCM✓ 테스트 8개로 검증됨
가정, 표기 규약, 출처
가정
  • 이상적(무손실) 스위치와 수동 소자
  • 연속 전도 모드(CCM)
  • 주기적 정상상태
  • 소리플 근사(small-ripple approximation)
표기 규약
M=V/VgM = V/V_g. 출력 극성이 반전되므로 M<0M < 0입니다
출처
Erickson & Maksimović 2020, Ch. 2 (Principles of Steady-State Converter Analysis)
유도
sympy 단계별 유도
수식 id
buckboost.ccm.M · equations.yaml 항목

세 변환비의 sympy 단계별 유도 과정은 모두 유도 과정 페이지에 있습니다.

풀이 예제

섹션 제목: “풀이 예제”

두 구간 값에 평형을 적용합니다. 온 구간 동안 인덕터에는 주어진 전압이 걸리고, 커패시터는 주어진 전류를 받습니다.

평형 예제
기호값구하는 방법
DD 듀티비(duty ratio)0.25주어진 값
vL,onv_{L,\mathrm{on}} 인덕터 전압(스위치 온)12 V주어진 값
iC,oni_{C,\mathrm{on}} 커패시터 전류(스위치 온)1 A주어진 값
vL,offv_{L,\mathrm{off}} 인덕터 전압(스위치 오프)−4 V전압-초 평형: 오프 구간의 인덕터 전압
iC,offi_{C,\mathrm{off}} 커패시터 전류(스위치 오프)−333 mA전하 평형: 오프 구간의 커패시터 전류

DD = 0.25이면 오프 구간의 길이가 온 구간의 세 배이므로, 오프 구간 전압은 크기가 온 구간 전압의 3분의 1이고 부호는 반대입니다.

같은 듀티비로 동작하는 부스트 예제와 벅-부스트 예제에 같은 평형을 적용하면 다음과 같습니다.

부스트 예제
기호값구하는 방법
VgV_g 입력 전압12 V주어진 값
DD 듀티비(duty ratio)0.5주어진 값
Mideal{M}_{\mathrm{ideal}} 변환비(conversion ratio)2부스트(boost) 변환비, CCM
벅-부스트 예제
기호값구하는 방법
VgV_g 입력 전압12 V주어진 값
DD 듀티비(duty ratio)0.5주어진 값
MM 변환비(conversion ratio)−1벅-부스트(buck-boost) 변환비, CCM

직접 해 보기

섹션 제목: “직접 해 보기”

▶ 수식 탐색기에서 열기: 부스트(boost) 변환비, CCM
초기값을 가져온 예제 boost-basic

▶ 시뮬레이터에서 열기: 부스트
초기값을 가져온 예제 boost-basic

DD를 1을 향해 스윕(sweep)하면서 이상적인 부스트 변환비가 한없이 커지는 것을 지켜보십시오. 실제 부스트 컨버터가 이 곡선을 따라갈 수 없는 이유는 평균 모델(averaged model) 페이지에서 설명합니다.

고정 출력에 연결되어 평형을 이룰 수 없는 듀티비로 동작하는 벅에는 정상상태가 없습니다. 시뮬레이터는 전류가 계속 커지는 모습과 그 원인인 인덕터 전압의 평균, 평형을 이루게 할 듀티비를 보여 줍니다.

▶ 시뮬레이터에서 열기: 벅
초기값을 가져온 예제 sim-buck-fixed

벤치 실습

섹션 제목: “벤치 실습”

저전압 컨버터 평가 보드(evaluation board)에서 인덕터 전압을 차동 프로브(differential probe)로, 또는 프로브 두 개와 오실로스코프의 뺄셈 연산 기능으로 측정합니다. 정상상태에서 두 평탄 구간(plateau)의 전압과 온 시간, 오프 시간을 읽고, 두 전압-초 면적의 크기가 같고 부호가 반대인지 확인합니다. 그다음 부하를 스텝으로 바꾸고 과도 상태 동안 다시 관찰합니다. 인덕터 전류가 변하는 동안에는 두 면적이 더 이상 같지 않습니다.

주의할 점

섹션 제목: “주의할 점”
  • 평형은 정상상태에서만 성립합니다. 기동, 부하 스텝, 입력 전압 스텝 동안에는 인덕터 전압의 평균이 0이 아니며, 바로 이 0이 아닌 평균이 인덕터 전류를 변화시킵니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 2].
  • 계산하려는 리플이나 그 리플을 일으키는 파형에는 소리플 근사를 적용하지 마십시오. 벅 컨버터의 출력 전압 리플은 인덕터 전류 리플 때문에 생기므로, 그 리플을 계산할 때는 인덕터 전류를 일정하다고 볼 수 없습니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 2].
  • 손실은 평형 방정식을 바꿉니다. 권선 저항(winding resistance)과 반도체의 전압 강하는 각 구간의 전압에 항을 더하고 변환비를 낮춥니다. 평균 모델 페이지를 참고하십시오.

더 알아보기

섹션 제목: “더 알아보기”

퀴즈

섹션 제목: “퀴즈”

  1. 주기적 정상상태에서 한 주기에 걸친 인덕터 전압의 평균이 0인 이유는 무엇입니까?

    1. 인덕터에 저항이 없기 때문
    2. 인덕터 전류가 각 주기를 시작한 값으로 끝나므로, 한 주기에 걸친 vLv_L의 적분이 0이기 때문
    3. 스위치가 이상적이기 때문
    4. 출력 커패시터가 크기 때문
    정답과 해설

    정답: B 한 주기에 걸친 인덕터 전압의 적분은 LL에 그 주기 동안의 인덕터 전류 변화를 곱한 값과 같습니다. 주기적 정상상태에서는 전류가 시작 값으로 돌아오므로 적분과 평균이 모두 0입니다. 이상화 가정은 필요하지 않습니다.

  2. 인덕터에 온 구간 동안 +10 V+10\,\mathrm{V}가 걸리고, D=0.2D = 0.2입니다. 정상상태에서 오프 구간 동안에는 어떤 전압이 걸려야 합니까?

    1. −10 V-10\,\mathrm{V}
    2. −2.5 V-2.5\,\mathrm{V}
    3. +2.5 V+2.5\,\mathrm{V}
    4. −40 V-40\,\mathrm{V}
    정답과 해설

    정답: B 0.2 Ts0.2\,T_s 동안 10 V10\,\mathrm{V}가 걸려 생긴 양의 전압-초를 0.8 Ts0.8\,T_s의 오프 구간 동안 상쇄해야 하므로, 크기는 4분의 1이고 부호는 반대인 전압이 필요합니다.

  3. 컨버터의 직류 전류, 예를 들어 부스트 컨버터의 직류 인덕터 전류를 정하는 조건은 무엇입니까?

    1. 인덕터 전압-초 평형
    2. 소리플 근사만
    3. 커패시터 전하 평형
    4. 스위치 주위의 키르히호프 전압 법칙
    정답과 해설

    정답: C 전압-초 평형은 전압 사이의 관계를 나타냅니다. 출력 커패시터의 전하 평형은 각 구간 동안 커패시터로 흘러드는 전류 사이의 관계를 나타내므로, 직류 인덕터 전류를 부하 전류로 정합니다.

  4. 이상적인 CCM 부스트 컨버터가 5 V5\,\mathrm{V} 입력에서 D=0.75D = 0.75로 동작합니다. 출력 전압은 얼마입니까?

    1. 6.7 V6.7\,\mathrm{V}
    2. 15 V15\,\mathrm{V}
    3. 20 V20\,\mathrm{V}
    4. 3.75 V3.75\,\mathrm{V}
    정답과 해설

    정답: C 부스트 변환비는 1/(1−D)1/(1 - D)이고 이 듀티비에서는 4이므로, 출력은 입력의 네 배입니다.

  5. 어떤 듀티비에서 이상적인 CCM 벅-부스트 컨버터의 출력 크기가 입력 전압보다 큽니까?

    1. D>0.5D > 0.5
    2. D<0.5D < 0.5
    3. 모든 DD에서
    4. 어떤 DD에서도 아님: 강압만 가능
    정답과 해설

    정답: A 변환비의 크기는 D/(1−D)D/(1 - D)이며, 이 값이 1을 넘는 것은 바로 DD가 1−D1 - D보다 클 때, 즉 D>0.5D > 0.5일 때입니다.

  6. 부하 스텝 동안에는 한 스위칭 주기에 걸친 인덕터 전압의 평균이 0이 아닙니다. 이것은 무엇을 말해 줍니까?

    1. 컨버터가 DCM에 들어갔음
    2. 소리플 근사가 위배됨
    3. 인덕터가 포화되고 있음
    4. 인덕터 전류가 한 주기에서 다음 주기로 변하고 있음
    정답과 해설

    정답: D 인덕터 전압의 평균이 0이 아니라는 것은 그 주기 동안 인덕터 전류에 순변화가 있다는 뜻입니다. 전압-초 평형은 정상상태에서만 성립하며, 과도 상태에서는 바로 이 불평형이 전류를 새 값으로 옮깁니다.

이 사이트의 예제, 프리셋, 연습 문제에 나오는 수치는 교육용으로 만든 어림수(합성 값)이며, 실제 설계의 데이터가 아닙니다.