인덕터 설계 절차

목표

• 코어 기하 상수(core geometrical constant) $K_g$를 사용하여 필터 인덕터의 사양(인덕턴스, 피크 전류, 자속 밀도 한계, 구리 손실 예산(copper-loss budget))을 코어 크기로 바꿉니다.
• 고른 코어에 대해 턴 수, 공극(air gap), 선재(wire)를 차례로 정하고, 각 제약 조건을 점검합니다.
• 포화(saturation)가 아니라 코어 손실(core loss)이 자속 밀도(flux density)를 제한하는 경우를 알아봅니다.

이론

네 가지 제약 조건

필터 인덕터는 다음 네 가지 제약 조건을 동시에 만족해야 합니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 11].

1. 자속 밀도. 피크 전류에서 자속 밀도가 $B_\mathrm{max}$보다 낮게 유지되어야 하며, 이 조건이 최소 턴 수를 정합니다(자속 밀도 한계에 맞춘 턴 수).
2. 인덕턴스. 그 턴 수에서 공극이 인덕턴스를 정합니다(공극 길이).
3. 창. 구리가 창(window)에서 차지하는 비율은 실제로 감을 수 있는 비율, 즉 창 이용률(window utilization) $K_u$를 넘지 않아야 합니다(창 이용률).
4. 저항. 권선의 저항은 구리 손실 예산 $R_\mathrm{dc,max}$ 이내에 머물러야 합니다(직류 저항).

턴 수, 공극, 선재는 각각 하나의 제약 조건을 만족시킬 수 있습니다. 이들을 함께 만족시킬 여지는 코어가 남겨 주어야 합니다.

코어 기하 상수

자속 밀도, 창, 저항 제약 조건에서 턴 수와 선재를 소거하면 한쪽에는 사양이, 다른 쪽에는 코어의 치수가 남습니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 11].

$$K_g = \frac{\rho_w L^{2} I_\mathrm{pk}^{2}}{B_\mathrm{max}^{2} R_\mathrm{dc,max} K_u}$$

$K_g$

코어 기하 상수(core geometrical constant)

$B_\mathrm{max}$

허용 최대 자속 밀도(flux density)

$I_\mathrm{pk}$

피크 전류

$K_u$

창 이용률(window utilization)

$L$

인덕턴스

$R_\mathrm{dc,max}$

허용되는 최대 권선 저항

$\rho_w$

도체 저항률(resistivity)

인덕터에 필요한 코어 기하 상수✓ 테스트 8개로 검증됨

가정, 표기 규약, 출처

가정

• 선형(비포화) 자성 재료
• A_e 전체에서 균일한 자속 밀도
• 도체 단면 전체에 고르게 흐르는 직류 전류

비고

네 가지 제약(자속 밀도, 인덕턴스, 창, 저항)에서 턴 수와 선재를 소거하고 남은 사양 쪽 값입니다. 자체 $K_g$가 이 값 이상인 코어는 모든 제약을 만족할 수 있으며, 인덕턴스는 공극으로 맞춥니다. SI 단위 m⁵입니다(표는 흔히 cm⁵로 줍니다: 1 m⁵ = 10¹⁰ cm⁵)

출처

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 11 (Inductor Design: the core geometrical constant K_g); derived here

유도

sympy 단계별 유도

수식 id

mag.Kg_req · equations.yaml 항목

코어의 치수를 조합하면 같은 양이 됩니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 11].

$$K_g = \frac{A_e^{2} W_A}{\mathrm{MLT}}$$

$K_g$

코어 기하 상수(core geometrical constant)

$A_e$

코어 유효 단면적(effective area)

$\mathrm{MLT}$

1턴 평균 길이(mean length per turn)

$W_A$

권선 창 면적(window area)

코어의 기하 상수✓ 테스트 8개로 검증됨

가정, 표기 규약, 출처

가정

• 정의

비고

코어 쪽 값입니다. 코어 치수의 5제곱에 비례해 커지므로, $K_g$가 두 배인 코어는 각 치수가 약 15 %만 큽니다

출처

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 11 (Inductor Design: the core geometrical constant K_g)

수식 id

mag.Kg_core · equations.yaml 항목

코어 자체의 $K_g$가 필요한 값 이상이면 그 코어는 자속 밀도 한계, 창, 저항 예산을 함께 만족시킬 수 있으며, 그다음 공극이 인덕턴스를 정합니다. 곱 $L I_\mathrm{pk}$와 자속 밀도 한계는 제곱으로, 저항 예산과 $K_u$는 1제곱으로 들어갑니다. 자속 밀도 한계를 높이는 것이 코어를 가장 크게 줄입니다. 공극은 $K_g$에 들어가지 않으며, 코어를 고른 뒤에 정합니다.

절차

아래 단계는 $K_g$ 방법 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 11]을 변형한 것으로, 자성 부품 설계 도구처럼 턴 수를 먼저 정합니다. $K_g$가 충분히 큰 코어를 고르면 다음과 같이 진행합니다.

1. 턴 수. 자속 밀도를 $B_\mathrm{max}$로 유지하는 최소 턴 수(자속 밀도 한계에 맞춘 턴 수)를 정수 턴으로 올림한 값입니다. 자성 부품 설계 도구는 자속 밀도가 가장 높은 곳인 코어의 최소 단면적에서 턴 수를 구합니다.
2. 공극. 그 턴 수로 인덕턴스를 얻는 공극입니다(공극 길이). 프린징(fringing) 자속이 공극의 인덕턴스를 늘리므로 실제 공극은 다소 더 길어야 합니다 [Dixon 2001]. 표의 코어라면 데이터시트의 공극 코어 세트가 측정값을 줍니다.
3. 선재. 창에 들어가는 가장 큰 1턴당 구리 단면적입니다. 창에 $K_u$를 곱한 값을 턴들이 나누어 가집니다(창 이용률).
4. 점검. 코어의 $K_g$가 올림으로 늘어난 턴을 감당할 만큼 요구값보다 충분히 크다면, 이제 권선의 저항(직류 저항)은 예산을 만족합니다.

코어 손실이 자속 밀도를 제한하는 경우

이 절차는 피크 전류에서의 자속 밀도를 제한합니다. 리플이 작은 필터 인덕터에서는 자속이 대부분 직류이고 직류 자속은 코어 손실을 일으키지 않으므로, 포화가 한계를 정합니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10]. DCM 인덕터나 플라이백 변압기처럼 리플이 크면, 교류 자속 진폭(교류 자속 진폭)이 코어 손실(스타인메츠 식)을 일으키며, 이 손실이 포화보다 먼저 자속을 제한할 수 있습니다. 그러면 설계는 코어 손실도 예산 안에 두어야 합니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 12].

풀이 예제

필터 인덕터의 사양 예제와, 그 인덕터에 필요한 코어 기하 상수입니다.

K_g 인덕터 예제

기호	값	구하는 방법
$\rho_{20}$ 20 °C 저항률(resistivity)	17.2 nΩ·m	주어진 값
$\alpha_{20}$ 20 °C 저항 온도 계수(temperature coefficient)	0.00393 1/K	주어진 값
$T_w$ 권선 온도	100 °C	주어진 값
$L$ 인덕턴스	100 µH	주어진 값
$I_\mathrm{pk}$ 피크 전류	5 A	주어진 값
$I_\mathrm{rms}$ 실효 전류(rms)	4.5 A	주어진 값
$B_\mathrm{max}$ 허용 최대 자속 밀도(flux density)	300 mT	주어진 값
$R_\mathrm{dc,max}$ 허용되는 최대 권선 저항	30 mΩ	주어진 값
$K_u$ 창 이용률(window utilization)	0.4	주어진 값
$\rho_w$ 도체 저항률(resistivity)	22.7 nΩ·m	온도에 따른 도체의 저항률
$K_g$ 코어 기하 상수(core geometrical constant)	0.0525 cm⁵	인덕터에 필요한 코어 기하 상수
${P}_{\mathrm{cu}}$ 전력	608 mW	저항의 도통 손실

필요한 $K_g$는 0.0525 cm⁵입니다. 이 인덕터의 실효 전류(rms current)에서 30 mΩ의 저항 예산이 허용하는 구리 손실은 608 mW입니다. 자성 부품 설계 도구의 표에 있는 두 코어와, 각 데이터시트에 나온 값입니다.

K_g 인덕터 예제: 표의 코어와 예제에 필요한 K_g 비교 ($K_g$ = 0.0525 cm⁵)

코어(데이터시트)	$A_e$	$W_A$	$\mathrm{MLT}$	$K_g$	필요한 Kg 대비 비율
E 25/13/7 (EF 25), N87	52.5 mm²	61 mm²	50 mm	0.0336 cm⁵	0.641 (부족)
ETD 29/16/10, N87	76 mm²	97 mm²	52.8 mm	0.106 cm⁵	2.02 (충족)

E 25/13/7 코어는 너무 작습니다. ETD 29/16/10 코어의 $K_g$는 필요한 값의 약 두 배이며, 자성 부품 설계 도구는 이 코어로 나머지 절차를 수행합니다.

ETD 29 인덕터 예제

기호	값	구하는 방법
$L$ 인덕턴스	100 µH	주어진 값
$I_{L,\mathrm{pk}}$ 인덕터 피크 전류	5 A	주어진 값
$I_{L,\mathrm{rms}}$ 인덕터 전류의 실효값(rms)	4.5 A	주어진 값
$\Delta i_L$ 인덕터 전류 리플, 피크-피크의 절반	500 mA	주어진 값
$f_s$ 스위칭 주파수	100 kHz	주어진 값
$B_\mathrm{max}$ 허용 최대 자속 밀도(flux density)	300 mT	주어진 값
$T_w$ 권선 온도	100 °C	주어진 값
$b_w$ 권선 폭(winding breadth)	19 mm	주어진 값
$K_{u,\mathrm{max}}$ 감을 수 있는 최대 창 이용률	0.4	주어진 값
$d_w$ 나선(bare wire) 지름	0.8 mm	주어진 값
$d_o$ 절연 피막을 포함한 전선 지름	0.86 mm	주어진 값
$k_s$ 병렬 소선 수	3	주어진 값
$M_\ell$ 권선의 층 수 (Dowell의 M)	4	주어진 값
$A_e$ 코어 유효 단면적(effective area)	76 mm²	TDK Electronics, ETD 29/16/10
$A_\mathrm{min}$ 코어의 최소 단면적	71 mm²	TDK Electronics, ETD 29/16/10
$l_e$ 유효 자로 길이(path length)	70.4 mm	TDK Electronics, ETD 29/16/10
$A_{L0}$ 공극 없는 세트의 인덕턴스 계수	2.2 µH	TDK Electronics, ETD 29/16/10
$W_A$ 권선 창 면적(window area)	97 mm²	TDK Electronics, ETD 29/16/10
$\mathrm{MLT}$ 1턴 평균 길이(mean length per turn)	52.8 mm	TDK Electronics, ETD 29/16/10
$N_\mathrm{min}$ Bmax를 지키는 최소 턴 수, Amin 기준	23.47	피크 자속 밀도를 한계 이하로 유지하는 최소 턴 수
$N$ 턴 수	24	올림
$A_L$ 설계에 필요한 인덕턴스 계수	173.6 nH	인덕턴스 계수로 구한 인덕턴스
$\mu_e$ 공극 없는 세트의 유효 투자율	1622	공극이 있는 코어의 인덕턴스 계수
$l_g$ 공극, 프린징 무시	0.5067 mm	N 턴으로 인덕턴스를 얻는 공극 길이
$B_\mathrm{pk}$ 피크 자속 밀도(flux density) (Amin 기준)	293.4 mT	인덕턴스와 피크 전류로 구한 피크 자속 밀도
$B_\mathrm{ac}$ 교류 자속 밀도 진폭	27.41 mT	전류 리플로 구한 교류 자속 밀도 진폭
$\rho_w$ 도체 저항률(resistivity) (Tw에서)	22.66 nΩ·m	온도에 따른 도체의 저항률
$\delta$ 표피 깊이(skin depth) (fs에서)	0.2396 mm	도체의 표피 깊이
$A_w$ 1턴의 도체 단면적(절연 제외)	1.508 mm²	둥근 소선으로 감은 1턴의 구리 단면적
$R_\mathrm{dc}$ 권선 직류 저항	19.04 mΩ	권선의 직류 저항
$\eta$ 층의 점유율(porosity)	0.6717	둥근 도체 층의 점유율(porosity)
$\varphi$ 층 두께 ÷ 표피 깊이	2.425	둥근 도체에 대한 Dowell의 층 두께 변수
$F_R$ 교류 저항 계수(ac resistance factor) (fs에서)	26.69	박판 권선의 교류 저항 계수(Dowell)
$P_\mathrm{dc}$ 직류 저항에서의 손실	385.6 mW	저항의 도통 손실
$K_u$ 창 이용률(window utilization)	0.3731	권선의 창 이용률

턴 수는 최소 단면적에서 구해 정수로 올림했습니다. 소선(strand) 세 가닥을 네 층으로 감은 권선은 창에서 $K_u$가 허용하는 것보다 적은 부분을 차지하며, 권선의 직류 저항은 예산보다 낮게 유지됩니다. 이 권선은 $f_s$에서의 Dowell 계수(Dowell’s factor)가 크지만, $f_s$의 주파수로 흐르는 것은 리플뿐이며 여기서 리플의 실효값은 전류에 비해 작습니다(권선 손실 참고).

직접 해 보기

▶ 수식 탐색기에서 열기: 인덕터에 필요한 코어 기하 상수
초기값을 가져온 예제 kg-inductor

$B_\mathrm{max}$를 스윕(sweep)하십시오. 필요한 $K_g$는 그 제곱에 반비례하므로, 두 배로 올리면 필요한 $K_g$가 4분의 1이 됩니다. 그다음 $R_\mathrm{dc,max}$를 절반으로 줄이십시오. 구리 손실을 절반으로 줄이면 필요한 $K_g$는 두 배가 됩니다.

▶ 자성 부품 설계 도구에서 열기: ETD 29 인덕터 예제
초기값을 가져온 예제 mag-kg

자성 부품 설계 도구에서 코어를 E 25/13/7로 바꾸십시오. 턴 수가 더 필요하고, 같은 선재는 더 이상 창에 들어가지 않으므로 도구가 경고합니다. 창에 들어갈 만큼 가는 선재는 저항이 예제의 예산을 넘습니다.

벤치 실습

설계한 인덕터를 공극 코어 세트에 감으십시오. LCR 미터로 자기 공진(self-resonance)보다 충분히 낮은 주파수에서 인덕턴스를 측정하고, 4선식(four-wire)으로 직류 저항을 측정하십시오(자성 부품 측정 참고). 그다음 그 페이지에서 설명하는 펄스 시험으로 포화가 일어나는 전류를 찾아, 설계의 피크 전류와 비교하십시오.

주의할 점

• $K_g$에는 코어 손실이 빠져 있습니다. 이 상수가 다루는 것은 자속 밀도 한계, 창, 구리 손실입니다. 자속 변화폭(flux swing)이 크면 코어 손실도 점검하십시오 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 12].
• 올림한 뒤 다시 점검하십시오. 턴 수를 올림하거나 더 작은 단면적에서 턴 수를 구하면 턴 수와 저항이 늘어납니다. 그러면 필요한 $K_g$를 겨우 갖춘 코어는 예산을 맞추지 못할 수 있습니다.
• 공극 추정은 프린징을 무시합니다. 데이터시트의 공극 코어 세트를 쓰거나, 실제 공극이 추정값보다 다소 길어야 함을 감안하십시오 [Dixon 2001].

더 알아보기

• 도서 챕터 Inductor Design (Ch. 11) — R. W. Erickson, D. Maksimović · 확인일 2026-09-24
  필터 인덕터가 만족해야 할 제약, 이 제약을 코어 크기로 바꾸는 코어 기하 상수 K_g, 단계별 설계 절차.
• 도서 Magnetics Design Handbook (SLUP132) — L. H. Dixon, Texas Instruments (Unitrode) · 확인일 2026-09-23
  Lloyd Dixon의 자성 부품 설계 핸드북으로, TI가 2001년 Unitrode 판을 재수록했습니다. ti.com 사본을 보려면 무료 myTI 로그인이 필요합니다.
• 강좌 Magnetics for Power Electronic Converters — University of Colorado Boulder (Coursera) · 확인일 2026-09-23
  자기 회로, 코어·권선 손실, 인덕터·변압기 설계.

퀴즈

1. 코어 기하 상수 $K_g$는 어떤 세 가지 제약 조건을 하나로 묶습니까?

   1. 자속 밀도 한계, 공극, 창
   2. 인덕턴스, 공극, 코어 손실
   3. 포화, 코어 손실, 온도
   4. 자속 밀도 한계, 창, 권선 저항
   정답과 해설

   정답: D 자속 밀도, 창, 저항 제약 조건에서 턴 수와 선재를 소거하면 $K_g$가 남습니다. 공극은 그 뒤에 고르며, 인덕턴스를 정합니다.

2. 다른 조건을 모두 고정한 채 $B_\mathrm{max}$를 0.2 T에서 0.3 T로 높입니다. 필요한 $K_g$는 몇 배로 바뀝니까?

   1. 0.67: 줄어듭니다
   2. 1.5: 커집니다
   3. 0.44: 줄어듭니다
   4. 2.25: 커집니다
   정답과 해설

   정답: C 필요한 $K_g$는 $B_\mathrm{max}$의 제곱에 반비례하여 줄어들며, 0.2/0.3의 제곱은 0.44입니다.

3. 같은 실효 전류에서 허용하는 구리 손실을 두 배로 늘립니다. 필요한 $K_g$는 어떻게 됩니까?

   1. 절반이 됩니다
   2. 두 배가 됩니다
   3. 1/4로 줄어듭니다
   4. 변하지 않습니다
   정답과 해설

   정답: A 같은 전류에서 손실이 두 배이면 권선 저항도 두 배까지 허용되며, 권선 저항은 $K_g$의 분모에 1제곱으로 들어갑니다.

4. 어떤 코어의 $K_g$가 같은 모양의 다른 코어의 두 배입니다. 이 코어는 각 치수가 얼마나 더 큽니까?

   1. 약 26 %
   2. 약 41 %
   3. 두 배
   4. 약 15 %
   정답과 해설

   정답: D $K_g$는 코어 크기의 5제곱에 비례하여 커지며, 2의 5제곱근은 1.15입니다.

5. 턴 수를 올림한 뒤 권선 저항을 다시 점검하는 이유는 무엇입니까?

   1. 더 많은 턴이 창을 나누어 쓰므로 턴마다 구리가 줄고 권선도 길어져, 저항이 턴 수의 제곱에 비례하여 커지기 때문입니다
   2. 올림하면 자속 밀도가 $B_\mathrm{max}$보다 낮아지기 때문입니다
   3. 올림하면 코어의 $K_g$가 바뀌기 때문입니다
   4. 공극이 더 이상 인덕턴스를 정하지 않기 때문입니다
   정답과 해설

   정답: A 코어의 $K_g$는 정확한 턴 수에서의 예산을 감당합니다. 올림하거나 더 작은 단면적에서 턴 수를 구하면 저항이 늘어나며, 이는 $K_g$에 여유가 있어야만 감당할 수 있습니다.

6. 포화보다 코어 손실이 자속 밀도를 제한할 가능성이 가장 큰 부품은 어느 것입니까?

   1. 리플이 작은 필터 인덕터
   2. 직류만 흐르는 인덕터
   3. 매 주기 자속이 크게 변하는 플라이백 변압기나 DCM 인덕터
   4. 상용 주파수의 초크
   정답과 해설

   정답: C 코어 손실은 교류 자속에서 생깁니다. 리플이 작은 필터 인덕터에는 교류 자속이 적지만, 리플이 크면 자속이 매 주기 크게 변합니다.