스위칭 파형의 푸리에 급수

목표

• 주기 파형을 직류 성분(dc component)과 고조파(harmonics)로 분해합니다.
• 컨버터 스위치 노드(switch node)의 파형인 직사각형 펄스열(rectangular pulse train)의 고조파 진폭과 실효값(rms value)을 계산합니다.
• 저역통과 필터(low-pass filter)가 스위치 노드 전압의 직류 성분을 추출하는 이유를 설명합니다.

이론

정현파의 합으로 나타낸 주기 신호

주기 신호는 평균값(average value)인 직류 성분과, 기본 주파수(fundamental frequency)의 정수배 주파수를 갖는 정현파(sinusoid)인 고조파의 합입니다 [Alexander & Sadiku 2017, Ch. 17]. 고조파의 진폭을 주파수에 대해 그리면 그 신호의 진폭 스펙트럼(amplitude spectrum)이 됩니다 [Alexander & Sadiku 2017, Ch. 17].

직사각형 펄스열

벅 컨버터의 스위치 노드에는 매 주기 중 비율 $D$ 동안은 입력 전압이, 나머지 동안은 0이 걸리는 펄스열이 나타납니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 2]. 이 펄스열의 직류 성분은 평균값이며(스위치 노드 평균 전압), 고조파의 진폭은 다음과 같습니다.

$$a_h = \frac{2 V_\mathrm{pk} \left|{\sin{\left(\pi h D \right)}}\right|}{\pi h}$$

$a_h$

h차 고조파 진폭

$D$

듀티비(duty ratio)

$V_\mathrm{pk}$

펄스 진폭

$h$

고조파 차수(harmonic order)

직사각형 펄스열의 h차 고조파 진폭✓ 테스트 8개로 검증됨

가정, 표기 규약, 출처

가정

• 0과 V_pk 사이를 오가는 듀티비 D의 이상적인 직사각형 펄스열
• 주기적 정상상태

비고

직류 성분은 $D V_\mathrm{pk}$입니다. 고조파 진폭은 $1/h$에 비례해 줄어들며, $h D$가 정수이면 0이 됩니다

출처

Alexander & Sadiku 2017, Ch. 17 (The Fourier Series)

유도

sympy 단계별 유도

수식 id

fourier.pulse.harm · equations.yaml 항목

진폭은 고조파 차수(harmonic order)에 반비례하여 줄어들며, $h D$가 정수일 때마다 그 고조파는 사라집니다. $D = 0.5$에서는 짝수 고조파가 모두 없습니다.

실효값

실효값은 한 주기에 걸쳐 제곱을 평균한 값의 제곱근입니다 [Alexander & Sadiku 2017, Ch. 11]. 펄스열에서는 펄스만이 그 평균에 기여합니다.

$$V_\mathrm{rms} = V_\mathrm{pk} \sqrt{D}$$

$V_\mathrm{rms}$

실효 전압(rms)

$D$

듀티비(duty ratio)

$V_\mathrm{pk}$

펄스 진폭

직사각형 펄스열의 실효값✓ 테스트 7개로 검증됨

가정, 표기 규약, 출처

가정

• 0과 V_pk 사이를 오가는 듀티비 D의 이상적인 직사각형 펄스열

출처

Alexander & Sadiku 2017, Ch. 11 (AC Power Analysis)

유도

sympy 단계별 유도

수식 id

fourier.pulse.rms · equations.yaml 항목

저항에서의 손실은 전류의 평균값이 아니라 실효값에 따라 정해지며(도통 손실), 폭이 좁은 펄스에서는 실효값이 평균값보다 훨씬 큽니다.

출력 필터가 동작하는 이유

벅 컨버터의 L-C 필터는 스위치 노드 전압의 직류 성분은 통과시키고 고조파는 감쇠(attenuation)시킵니다. 가장 낮은 고조파는 스위칭 주파수(switching frequency)에 있습니다. 출력에는 평균값 $D V_g$에 작은 리플이 더해진 전압이 남습니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 2].

풀이 예제

벅 컨버터의 스위치 노드에서 볼 수 있는 펄스열 예제입니다.

직사각형 펄스열 예제

기호	값	구하는 방법
$V_\mathrm{pk}$ 펄스 진폭	12 V	주어진 값
$D$ 듀티비(duty ratio)	0.25	주어진 값
$h$ 고조파 차수(harmonic order)	1	주어진 값
$\langle v_s \rangle$ 스위치 노드 평균 전압	3 V	스위치 노드 전압의 직류 성분(벅)
$a_h$ h차 고조파 진폭	5.4 V	직사각형 펄스열의 h차 고조파 진폭
$V_\mathrm{rms}$ 실효 전압(rms)	6 V	직사각형 펄스열의 실효값

펄스열의 직류 성분은 3 V이며, 기본파(fundamental)의 진폭은 이 듀티비(duty ratio)에서 직류 성분 자체보다 큰 5.4 V입니다. 실효값은 6 V입니다.

직접 해 보기

▶ 수식 탐색기에서 열기: 직사각형 펄스열의 h차 고조파 진폭
초기값을 가져온 예제 pulse-train

$D$를 스윕(sweep)하십시오. 기본파는 $D = 0.5$에서 가장 큽니다. 그런 다음 $h$를 2로 설정하고 다시 스윕하십시오. 2차 고조파는 $D = 0.5$에서 사라지고 0.25와 0.75에서 가장 큽니다.

벤치 실습

벅 평가 보드(evaluation board)에서 차동 프로브(differential probe)나 접지 연결이 짧은 프로브로 스위치 노드 전압을 측정하고, 오실로스코프(oscilloscope)의 FFT 기능을 사용하십시오. 직류값과 처음 몇 개 고조파의 진폭을 읽고, 측정한 듀티비와 입력 전압에서 식이 주는 값과 비교하십시오. 오실로스코프가 각 고조파의 피크 진폭을 표시하는지, 아니면 피크 진폭을 $\sqrt{2}$로 나눈 실효값을 표시하는지 확인하십시오.

주의할 점

• 고조파는 스위칭 주파수에서 끝나지 않습니다. 이상적인 펄스열의 고조파는 $1/h$에 비례하여 줄어들 뿐이므로 스위칭 주파수보다 훨씬 높은 주파수까지 이어집니다. 이는 필터, 간섭(interference), 샘플링에서 중요합니다.
• 평균값과 실효값은 다릅니다. 평균값이 같은 두 전류도 실효값은 크게 다를 수 있으며, 저항성 손실은 실효값을 따릅니다 [Alexander & Sadiku 2017, Ch. 11].
• 정현파의 실효값은 진폭을 $\sqrt{2}$로 나눈 값이지만, 펄스열의 실효값은 그렇지 않습니다. 실제 파형의 실효값을 사용하십시오 [Alexander & Sadiku 2017, Ch. 11].

더 알아보기

• 강의 노트 6.003 Lecture Notes — D. Freeman, MIT OpenCourseWare · 확인일 2026-09-23
  강의 슬라이드: 라플라스 변환(6강), 주파수 응답과 보드 선도(9강, 11강), 푸리에 급수(15강).
• 강좌 6.003 Signals and Systems (Fall 2011) — D. Freeman, MIT OpenCourseWare · 확인일 2026-09-23
  라플라스 변환, 주파수 응답, 보드 선도, 푸리에 급수를 다루는 동영상 강의 과목.

퀴즈

1. 펄스열이 $D = 0.3$으로 $0$과 $10\,\mathrm{V}$ 사이를 스위칭합니다. 직류 성분은 얼마입니까?

   1. $0.3\,\mathrm{V}$
   2. $3\,\mathrm{V}$
   3. $5\,\mathrm{V}$
   4. $7\,\mathrm{V}$
   정답과 해설

   정답: B 직류 성분은 평균값, 즉 펄스 높이에 펄스가 지속되는 시간이 주기에서 차지하는 비율을 곱한 값입니다.

2. $D = 0.25$에서 $0$과 $10\,\mathrm{V}$ 사이를 오가는 펄스열의 실효값은 얼마입니까?

   1. $2.5\,\mathrm{V}$
   2. $5\,\mathrm{V}$
   3. $7.07\,\mathrm{V}$
   4. $10\,\mathrm{V}$
   정답과 해설

   정답: B 제곱의 평균은 $0.25 \times 100\,\mathrm{V^2}$이고, 그 제곱근은 평균값의 두 배인 $5\,\mathrm{V}$입니다.

3. $D = 0.5$일 때 직사각형 펄스열에서 사라지는 고조파는 무엇입니까?

   1. 없음
   2. 홀수 고조파
   3. 짝수 고조파
   4. 3차보다 높은 모든 고조파
   정답과 해설

   정답: C $h D$가 정수이면 그 고조파는 사라지며, $D = 0.5$에서는 모든 짝수 $h$가 이에 해당합니다.

4. 진폭이 0이 되는 곳을 제외하면, 직사각형 펄스열의 고조파 진폭은 고조파 차수 $h$에 따라 어떻게 줄어듭니까?

   1. $1/h$에 비례하여
   2. $1/h^2$에 비례하여
   3. 지수적으로
   4. 줄어들지 않음
   정답과 해설

   정답: A 진폭은 $2 V_\mathrm{pk} |\sin(\pi h D)|/(\pi h)$이며, 포락선은 $1/h$에 비례하여 줄어듭니다.

5. $D = 0.5$에서 $0$과 $12\,\mathrm{V}$ 사이를 오가는 펄스열의 기본파 진폭은 얼마입니까?

   1. $6\,\mathrm{V}$
   2. $7.64\,\mathrm{V}$
   3. $12\,\mathrm{V}$
   4. $3.82\,\mathrm{V}$
   정답과 해설

   정답: B $h = 1$, $D = 0.5$이면 사인 항은 1이므로 진폭은 $2 \times 12/\pi$입니다.

6. 벅 컨버터의 출력이 스위치 노드 전압의 평균값과 같은 이유는 무엇입니까?

   1. L-C 필터가 직류 성분은 통과시키고, 스위칭 주파수에 있는 가장 낮은 고조파부터 모든 고조파를 크게 감쇠시키기 때문
   2. 스위치 노드 전압에 고조파가 없기 때문
   3. 다이오드가 고조파를 제거하기 때문
   4. 부하 저항이 전압을 평균하기 때문
   정답과 해설

   정답: A 출력에는 직류 성분과 고조파의 작은 잔여분, 즉 리플이 남습니다.