K 파라미터

목표

• 컨버터의 $K$와 그 토폴로지의 $K_\mathrm{crit}(D)$를 계산합니다.
• 동작 모드를 판정하고, 부하가 주어진 값까지 가벼워져도 컨버터를 CCM으로 유지하는 인덕턴스를 구합니다.
• 모드 경계(boundary)에 대해 최악 조건(worst case)이 되는 동작점(operating point), 즉 입력 전압과 부하를 찾습니다.

이론

경계 조건

다이오드를 사용하는 컨버터는 인덕터 전류 리플이 인덕터 직류 전류에 도달하면 CCM을 벗어납니다. 경계에서는 리플의 절반인 $\Delta i_L$이 직류 전류와 같습니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 5]. 양변을 회로 값으로 나타내면 인덕턴스, 부하 저항(load resistance), 스위칭 주기(switching period)가 하나의 무차원 파라미터(dimensionless parameter)로 묶이며,

$$K = \frac{2 L}{R T_s}$$

$K$

인덕터 파라미터(CCM/DCM 판별)

$L$

인덕턴스

$R$

부하 저항

$T_s$

스위칭 주기

무차원 인덕터 파라미터 K✓ 테스트 7개로 검증됨

가정, 표기 규약, 출처

가정

• 정의

표기 규약

$K > K_\mathrm{crit}(D)$이면 CCM으로 동작합니다

출처

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 5 (The Discontinuous Conduction Mode)

수식 id

K.def · equations.yaml 항목

경계는 듀티비(duty ratio)만의 함수, 곧 임계값(critical value) $K_\mathrm{crit}(D)$가 됩니다. 컨버터는 $K > K_\mathrm{crit}$이면 CCM으로, $K < K_\mathrm{crit}$이면 DCM으로 동작합니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 5].

$K$는 시정수(time constant) $L/R$을 스위칭 주기와 비교한 값입니다. 인덕턴스가 클수록, 부하가 무거울수록(작은 $R$), 스위칭 주파수가 높을수록 $K$가 커져 컨버터는 CCM 쪽으로 갑니다.

기본 컨버터의 임계값

토폴로지마다 인덕터 직류 전류와 그 리플이 $D$에 의존하는 방식이 다르므로, 각 토폴로지는 고유한 $K_\mathrm{crit}(D)$를 갖습니다.

$$K_\mathrm{crit} = 1 - D$$

$K_\mathrm{crit}$

CCM/DCM 경계의 K

$D$

듀티비(duty ratio)

벅 컨버터의 임계 K✓ 테스트 8개로 검증됨

가정, 표기 규약, 출처

가정

• 이상적(무손실) 스위치와 수동 소자
• CCM/DCM 경계
• 주기적 정상상태
• 소리플 근사(small-ripple approximation)
• 저항성 부하 R

출처

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 5 (The Discontinuous Conduction Mode)

유도

sympy 단계별 유도

수식 id

Kcrit.buck · equations.yaml 항목

$$K_\mathrm{crit} = D \left(1 - D\right)^{2}$$

$K_\mathrm{crit}$

CCM/DCM 경계의 K

$D$

듀티비(duty ratio)

부스트 컨버터의 임계 K✓ 테스트 8개로 검증됨

가정, 표기 규약, 출처

가정

• 이상적(무손실) 스위치와 수동 소자
• CCM/DCM 경계
• 주기적 정상상태
• 소리플 근사(small-ripple approximation)
• 저항성 부하 R

비고

최댓값은 $D = 1/3$에서 $4/27$입니다

출처

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 5 (The Discontinuous Conduction Mode)

유도

sympy 단계별 유도

수식 id

Kcrit.boost · equations.yaml 항목

$$K_\mathrm{crit} = \left(1 - D\right)^{2}$$

$K_\mathrm{crit}$

CCM/DCM 경계의 K

$D$

듀티비(duty ratio)

벅-부스트 컨버터의 임계 K✓ 테스트 8개로 검증됨

가정, 표기 규약, 출처

가정

• 이상적(무손실) 스위치와 수동 소자
• CCM/DCM 경계
• 주기적 정상상태
• 소리플 근사(small-ripple approximation)
• 저항성 부하 R

출처

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 5 (The Discontinuous Conduction Mode)

유도

sympy 단계별 유도

수식 id

Kcrit.buckboost · equations.yaml 항목

플라이백에서는 1차 측으로 환산한(referred to the primary) 자화 인덕턴스(magnetizing inductance)와 실제 부하 저항으로 $K$를 구하며, 이때 권선비(turns ratio)는 임계값에 나타납니다.

$$K_\mathrm{crit} = \frac{\left(1 - D\right)^{2}}{n^{2}}$$

$K_\mathrm{crit}$

CCM/DCM 경계의 K

$D$

듀티비(duty ratio)

$n$

권선비(turns ratio), 2차/1차

플라이백 컨버터의 임계 K✓ 테스트 8개로 검증됨

가정, 표기 규약, 출처

가정

• 이상적(무손실) 스위치와 수동 소자
• CCM/DCM 경계
• 주기적 정상상태
• 소리플 근사(small-ripple approximation)
• 저항성 부하 R

표기 규약

$K = 2L_M/(R T_s)$이며, $L_M$은 1차 측으로 환산한 값, $R$은 실제(2차 측) 부하입니다. 권선비는 1:n, $n = N_s/N_p$입니다

출처

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 5–6 (DCM; flyback as an isolated buck-boost)

유도

sympy 단계별 유도

수식 id

Kcrit.flyback · equations.yaml 항목

벅의 임계값은 $D$가 작을 때 가장 크며 1에 가까워집니다. 부스트의 임계값은 듀티비 범위의 양 끝에서 0입니다. 도함수를 0으로 놓으면 $D = 1/3$에서 최대가 되고 그때의 값이 $4/27$임을 알 수 있습니다. 벅-부스트의 임계값은 작은 $D$에서 1이고, $D$가 커지면 0까지 줄어듭니다.

CCM을 위한 설계: 임계 인덕턴스(critical inductance)

$K$를 $K_\mathrm{crit}$과 같게 놓고 $K$의 정의를 $L$에 대해 풀면, 주어진 부하에서 컨버터를 CCM으로 유지하는 가장 작은 인덕턴스를 얻습니다.

$$L_\mathrm{crit} = \frac{K_\mathrm{crit} R T_s}{2}$$

$L_\mathrm{crit}$

임계 인덕턴스(CCM/DCM 경계)

$K_\mathrm{crit}$

CCM/DCM 경계의 K

$R$

부하 저항

$T_s$

스위칭 주기

CCM/DCM 경계의 임계 인덕턴스✓ 테스트 8개로 검증됨

가정, 표기 규약, 출처

가정

• 이상적(무손실) 스위치와 수동 소자
• CCM/DCM 경계
• 주기적 정상상태
• 소리플 근사(small-ripple approximation)
• 저항성 부하 R

비고

$L > L_\mathrm{crit}$이면 CCM을 유지합니다. 가장 큰 $R$(가장 가벼운 부하)과, 입력 범위에서 $K_\mathrm{crit}$을 최대로 만드는 듀티비에서 확인합니다

출처

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 5 (The Discontinuous Conduction Mode)

유도

sympy 단계별 유도

수식 id

L.crit · equations.yaml 항목

$K_\mathrm{crit}$은 $D$에, $D$는 입력 전압에 의존하므로, 최악 조건은 입력 전압 범위에서 $K_\mathrm{crit}$을 가장 크게 만드는 듀티비에서의 가장 가벼운 부하(가장 큰 $R$)입니다. 출력이 레귤레이션되는 벅에서는 $D$가 가장 작아지는 최고 입력 전압이 이에 해당합니다.

풀이 예제

공칭 부하(nominal load)에서의 벅 예제와, 같은 컨버터에 열 배 가벼운 부하를 연결한 경우입니다.

벅 예제

기호	값	구하는 방법
$L$ 인덕턴스	100 µH	주어진 값
$R$ 부하 저항	10 Ω	주어진 값
$T_s$ 스위칭 주기	10 µs	스위칭 주기
$D$ 듀티비(duty ratio)	0.5	주어진 값
$K$ 인덕터 파라미터(CCM/DCM 판별)	2	무차원 인덕터 파라미터 K
$K_\mathrm{crit}$ CCM/DCM 경계의 K	0.5	벅 컨버터의 임계 K
$L_\mathrm{crit}$ 임계 인덕턴스(CCM/DCM 경계)	25 µH	CCM/DCM 경계의 임계 인덕턴스

동작 모드: CCM ($K > K_\mathrm{crit}$: 성립)

경부하 벅 예제

기호	값	구하는 방법
$L$ 인덕턴스	100 µH	주어진 값
$R$ 부하 저항	100 Ω	주어진 값
$T_s$ 스위칭 주기	10 µs	스위칭 주기
$D$ 듀티비(duty ratio)	0.5	주어진 값
$K$ 인덕터 파라미터(CCM/DCM 판별)	0.2	무차원 인덕터 파라미터 K
$K_\mathrm{crit}$ CCM/DCM 경계의 K	0.5	벅 컨버터의 임계 K
$L_\mathrm{crit}$ 임계 인덕턴스(CCM/DCM 경계)	250 µH	CCM/DCM 경계의 임계 인덕턴스

동작 모드: DCM ($K > K_\mathrm{crit}$: 성립하지 않음)

공칭 부하에서 $K$ = 2이며, 이는 $K_\mathrm{crit}$ = 0.5보다 훨씬 큽니다. 여유 있게 CCM으로 동작합니다. 달리 말하면, 인덕턴스 100 µH는 임계 인덕턴스 25 µH보다 큽니다. 경부하(light load)에서는 $K$가 0.2까지 떨어져 같은 임계값보다 작아지고, 임계 인덕턴스는 250 µH까지 커집니다. 즉 컨버터는 DCM으로 동작합니다.

직접 해 보기

▶ 수식 탐색기에서 열기: 부스트 컨버터의 임계 K
초기값을 가져온 예제 boost-basic

▶ 시뮬레이터에서 열기: 부스트
초기값을 가져온 예제 boost-basic

$D$를 0부터 1까지 스윕하면서 부스트 임계값의 최댓값을 찾으십시오. $K$가 이 최댓값보다 큰 부스트는 모든 듀티비에서 CCM을 유지합니다.

벤치 실습

다이오드 정류기(diode rectifier)와 조절 가능한 저항 부하를 갖춘 컨버터에서, 전류 프로브로 인덕터 전류를 관찰하면서 매 주기의 끝에서 전류가 0에 막 닿을 때까지 부하 저항을 키우십시오. 그 지점에서 듀티비와 부하 저항을 측정하고, 인덕턴스와 스위칭 주기로 $K$를 계산하여 해당 토폴로지의 $K_\mathrm{crit}(D)$와 비교하십시오.

주의할 점

• $K$에는 일관된 양을 사용하십시오. 절연형 컨버터(isolated converter)에서 $K$에는 1차 측으로 환산한 자화 인덕턴스와 2차 측의 실제 부하 저항을 사용하며, 권선비는 $K_\mathrm{crit}$에 들어갑니다. 환산한 값과 환산하지 않은 값을 섞으면 모드를 잘못 판정하게 됩니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 6].
• 입력 전압 범위 전체를 확인하십시오. 폐루프(closed loop)에서는 듀티비가 입력 전압에 따라 바뀌고, 그에 따라 $K_\mathrm{crit}$도 바뀝니다.
• 동작 중에 인덕터가 가지게 될 가장 작은 인덕턴스와 비교하십시오. 임계 인덕턴스는 최솟값이므로 공칭값과 비교해서는 안 됩니다.

더 알아보기

• 도서 챕터 The Discontinuous Conduction Mode (Ch. 5) — R. W. Erickson, D. Maksimović · 확인일 2026-09-23
  DCM의 발생 원리, K와 K_crit 경계, 전하 평형으로 유도한 DCM 변환비.
• 강좌 Converter Circuits — University of Colorado Boulder (Coursera) · 확인일 2026-09-23
  같은 교재를 따르는 DCM 해석과 절연형 컨버터 회로.
• 응용 노트 Understanding Boost Power Stages in Switchmode Power Supplies (SLVA061) — E. Rogers, Texas Instruments · 확인일 2026-09-23
  부스트판: CCM·DCM의 정상상태·소신호 해석.

퀴즈

1. $L = 50\,\mu\mathrm{H}$, $R = 5\,\Omega$, $T_s = 10\,\mu\mathrm{s}$인 컨버터가 있습니다. $K$는 얼마입니까?

   1. 0.5
   2. 1
   3. 2
   4. 4
   정답과 해설

   정답: C $K$는 $2L/(R T_s)$입니다. $50\,\mu\mathrm{H}$의 두 배는 $100\,\mu\mathrm{H}$이고 $R T_s$는 $50\,\mu\mathrm{s}\cdot\Omega$이므로, 그 비는 2입니다.

2. 벅 컨버터가 $D = 0.4$, $K = 0.5$에서 동작합니다. 동작 모드는 무엇입니까?

   1. CCM
   2. DCM
   3. 정확히 경계에 있음
   4. 입력 전압을 모르면 판정할 수 없음
   정답과 해설

   정답: B 벅에서 $K_\mathrm{crit}$은 $1 - D$이며, 여기서는 0.6입니다. $K$가 이보다 작으므로 인덕터 전류가 0에 도달합니다. 즉 DCM입니다.

3. 컨버터를 DCM 쪽으로 이동시키는 변화는 어느 것입니까?

   1. 더 큰 인덕턴스
   2. 더 높은 스위칭 주파수
   3. 더 무거운 부하(더 작은 $R$)
   4. 더 가벼운 부하(더 큰 $R$)
   정답과 해설

   정답: D $R$이 커지면 $K$가 작아집니다. 인덕턴스가 클수록, 스위칭 주파수가 높을수록, 부하가 무거울수록 $K$가 커져 컨버터는 CCM 쪽으로 갑니다.

4. 부스트 컨버터의 임계값 $K_\mathrm{crit}$은 어느 듀티비에서 가장 큽니까?

   1. $D$가 0에 가까워질 때
   2. $D = 1/3$
   3. $D = 0.5$
   4. $D$가 1에 가까워질 때
   정답과 해설

   정답: B 부스트의 임계값 $D(1 - D)^2$은 양 끝에서 0입니다. 그 도함수 $(1 - D)(1 - 3D)$는 $D = 1/3$에서 0이 되며, 이때 값은 $4/27$입니다.

5. 부하가 $R = 20\,\Omega$까지 가벼워져도 벅 컨버터가 CCM을 유지해야 합니다. 이 부하에서 $K_\mathrm{crit}$은 0.5이고, $T_s = 10\,\mu\mathrm{s}$입니다. 이를 만족하는 가장 작은 인덕턴스는 얼마입니까?

   1. $25\,\mu\mathrm{H}$
   2. $50\,\mu\mathrm{H}$
   3. $100\,\mu\mathrm{H}$
   4. $200\,\mu\mathrm{H}$
   정답과 해설

   정답: B 임계 인덕턴스는 $K_\mathrm{crit} R T_s/2$입니다. 0.5와 $200\,\mu\mathrm{s}\cdot\Omega$의 곱의 절반, 즉 $50\,\mu\mathrm{H}$입니다.

6. 벅 컨버터가 일정 범위에서 변하는 입력 전압으로부터 고정된 출력 전압을 레귤레이션합니다. 경부하에서 DCM에 가장 들어가기 쉬운 입력 전압은 어느 것입니까?

   1. 가장 낮은 입력 전압
   2. 가장 높은 입력 전압
   3. 범위의 중간
   4. 입력 전압과 무관함
   정답과 해설

   정답: B 입력 전압이 높을수록 필요한 듀티비는 작아지고, 벅의 임계값 $1 - D$는 $D$가 작아질수록 커지므로 더 큰 $K$에서 경계에 도달합니다.