유도 과정

아래 각 절은 python/pe_core/derive/의 스크립트에서 생성됩니다. 같은 스크립트가 pytest에서도 실행되며, 유도 결과(derived result)와 equations.yaml에 저장된 수식의 기호적 차이(symbolic difference)가 0으로 정리되지 않으면 테스트가 실패합니다. 설명과 제목은 사람이 쓴 것이고, 이 페이지의 모든 수식은 그 스크립트에서 sympy가 출력한 것입니다.

기초 복습: 소자 법칙(element laws), 임피던스, 푸리에 급수, 자기학(magnetics), 이상적 변압기

소자 법칙을 일정한 전압 또는 전류에 대해 적분하고, 같은 법칙의 페이저 형태에서 임피던스를 구하며, 펄스열의 푸리에 계수와 실효값을 한 주기에 걸쳐 계산합니다. 이상적 변압기는 자기저항이 0인 무손실 코어를 가정하고 패러데이 법칙과 앙페르 법칙에서 얻습니다.

1. 인덕터 법칙은 $v = L\,\mathrm{d}i/\mathrm{d}t$입니다. 전압 $V_L$이 일정하면 전류의 기울기도 일정하므로, 구간 $t$에 걸쳐 적분합니다.

   $$\int\limits_{0}^{t} \frac{V_L}{L}\, d\tau$$

2. 적분을 계산합니다.

   $$\Delta i = \frac{V_L t}{L}$$

   ✓ 재현하는 수식 ind.di (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

3. 인덕터 법칙의 쌍대인 커패시터 법칙 $i = C\,\mathrm{d}v/\mathrm{d}t$를 일정한 전류 $I_C$에 대해 적분합니다.

   $$\int\limits_{0}^{t} \frac{I_C}{C}\, d\tau$$

4. 적분을 계산합니다.

   $$\Delta v_C = \frac{I_C t}{C}$$

   ✓ 재현하는 수식 cap.dv (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

5. 인덕터에 전달되는 에너지는 $\int v\,i\,\mathrm{d}t = \int L\,i\,\mathrm{d}i$이며, 전류 0에서 $I_L$까지 적분합니다.

   $$\int\limits_{0}^{I_L} L i\, di$$

6. 적분을 계산합니다.

   $$E_L = \frac{L I_L^{2}}{2}$$

   ✓ 재현하는 수식 ind.E (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

7. 커패시터에 전달되는 에너지는 $\int v\,i\,\mathrm{d}t = \int C\,v\,\mathrm{d}v$이며, 전압 0에서 $V_C$까지 적분합니다.

   $$\int\limits_{0}^{V_C} C v\, dv$$

8. 적분을 계산합니다.

   $$E_C = \frac{C V_C^{2}}{2}$$

   ✓ 재현하는 수식 cap.E (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

9. 정현파 정상상태에서는 $\mathrm{d}/\mathrm{d}t$가 $j\omega$를 곱하는 연산이 되며, $\omega = 2\pi f$입니다. 인덕터 법칙에서 인덕터의 임피던스를 얻습니다.

   $$Z_L = 2 \pi i L f$$

10. 그 크기.

    $$|Z_L| = 2 \pi f L$$

    ✓ 재현하는 수식 imp.ZL (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

11. 커패시터 법칙에서 커패시터의 임피던스를 얻습니다.

    $$Z_C = - \frac{i}{2 \pi C f}$$

12. 그 크기.

    $$|Z_C| = \frac{1}{2 \pi f C}$$

    ✓ 재현하는 수식 imp.ZC (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

13. 부하가 없는 R-C 저역통과 필터에서 출력은 $R_f$와 커패시터 임피던스로 이루어진 분압기에서 커패시터에 걸리는 몫입니다.

    $$G(j\omega) = - \frac{i}{2 \pi C_f R_f f - i}$$

14. 크기의 제곱.

    $$\left|{G(j\omega)}\right|^{2} = \frac{1}{1 + 4 \pi^{2} C_f^{2} R_f^{2} f^{2}}$$

15. 차단(-3 dB) 주파수는 크기의 제곱이 1/2로 떨어지는 주파수입니다.

    $$f_c = \frac{1}{2 \pi R_f C_f}$$

    ✓ 재현하는 수식 rc.fc (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

16. 크기를 $R_f C_f$ 대신 $f_c$로 나타냅니다.

    $$|G| = \frac{f_c}{\sqrt{f^{2} + f_c^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{f}{f_c}\right)^{2}}}$$

    ✓ 재현하는 수식 rc.gain (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

17. 기생 커패시턴스가 병렬로 붙은 인덕턴스에서는 어드미턴스가 더해집니다.

    $$Y = 2 \pi i C_p f - \frac{i}{2 \pi L f}$$

18. 공진에서 어드미턴스는 0입니다(무손실 모델에서는 임피던스가 무한대).

    $$f_\mathrm{srf} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L C_p}}$$

    ✓ 재현하는 수식 passive.f_srf (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

19. 주기 $T$마다 높이 $V_\mathrm{pk}$, 폭 $D T$인 펄스열을 생각합니다. $h$차 고조파의 코사인 계수는 다음과 같습니다.

    $$a_{h,\cos} = \frac{V_\mathrm{pk} \sin{\left(2 \pi D h \right)}}{\pi h}$$

20. 사인 계수는 다음과 같습니다.

    $$a_{h,\sin} = \frac{2 V_\mathrm{pk} \sin^{2}{\left(\pi D h \right)}}{\pi h}$$

21. 고조파 진폭의 제곱은 두 계수의 제곱의 합이며, $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$를 쓰면 완전제곱이 됩니다.

    $$a_h^{2} = \frac{4 V_\mathrm{pk}^{2} \sin^{2}{\left(\pi D h \right)}}{\pi^{2} h^{2}}$$

22. 음이 아닌 제곱근을 취합니다.

    $$a_h = \frac{2 V_\mathrm{pk} \left|{\sin{\left(\pi h D \right)}}\right|}{\pi h}$$

    ✓ 재현하는 수식 fourier.pulse.harm (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

23. 한 주기에 걸친 제곱 평균에는 펄스가 $D T$ 동안 $V_\mathrm{pk}^2$를 기여합니다.

    $$V_\mathrm{rms}^{2} = D V_\mathrm{pk}^{2}$$

24. 실효값은 그 제곱근입니다.

    $$V_\mathrm{rms} = V_\mathrm{pk} \sqrt{D}$$

    ✓ 재현하는 수식 fourier.pulse.rms (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

25. 리플 전류는 커패시터의 직렬 저항을 흐르며, 이 저항의 전압은 매 순간 전류를 따릅니다. 최댓값과 최솟값의 차는 다음과 같습니다.

    $$\Delta v_\mathrm{ESR} = i_{C,\mathrm{max}} R_\mathrm{ESR} - i_{C,\mathrm{min}} R_\mathrm{ESR}$$

26. 전류의 피크-피크 값은 최댓값에서 최솟값을 뺀 값입니다.

    $$\Delta v_\mathrm{ESR} = R_\mathrm{ESR} \Delta i_{L,\mathrm{pp}}$$

    ✓ 재현하는 수식 cap.esr.ripple (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

27. 코어를 한 바퀴 도는 경로에 앙페르 법칙을 적용하면, $H$의 선적분은 감싸인 전류, 즉 각각 $I_w$가 흐르는 $N$턴의 전류와 같습니다. 공극이 없고 자계가 균일한 코어에서 이 선적분은 $H$와 자로 길이의 곱입니다.

    $$H l_e = I_w N$$

28. $H$에 대해 풉니다.

    $$H = \frac{N I_w}{l_e}$$

    ✓ 재현하는 수식 mag.H_ampere (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

29. 한 코어에 감긴 두 권선에 패러데이 법칙을 적용하면, 각 권선 전압은 턴 수에 공통 자속의 변화율을 곱한 값입니다. 1차 권선에서는 다음과 같습니다.

    $$V_1 = N_p \mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t$$

30. 2차 권선에서는 다음과 같습니다.

    $$V_2 = N_s \mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t$$

31. 두 식을 나누면 자속 항이 소거되며, 턴 수의 비는 $n$입니다(1:n 규약).

    $$V_2 = n V_1$$

    ✓ 재현하는 수식 xfmr.V2 (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

32. 자기저항이 0인 이상적인 코어에 앙페르 법칙을 적용하면 순 기자력은 0입니다.

    $$I_1 N_p - I_2 N_s = 0$$

33. $N_s = n N_p$로 놓고 2차 전류에 대해 풉니다.

    $$I_2 = \frac{I_1}{n}$$

    ✓ 재현하는 수식 xfmr.I2 (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

유도 스크립트: python/pe_core/derive/foundations.py

평균화(averaging), 평형 조건(balance), 평균 모델의 손실

스위칭 컨버터는 직류 입력을 스위칭해 펄스열로 만들고, 저역통과 필터가 그 평균을 남깁니다. 각 회로 방정식을 한 주기에 걸쳐 평균하면 스위칭 회로가 직류 모델이 되며, 인덕터 권선 저항 $R_L$ 같은 손실은 일반 저항으로 나타납니다.

1. 벅의 스위치 노드는 $0 < t < D T_s$ 동안 $V_g$, $D T_s < t < T_s$ 동안 $0$입니다. 이를 한 주기에 걸쳐 평균합니다.

   $$\langle v_s \rangle = \frac{\int\limits_{0}^{T_s} v_s\, dt}{T_s}$$

2. 두 구간의 적분을 계산합니다.

   $$\langle v_s \rangle = D V_g$$

   ✓ 재현하는 수식 sw.v_avg (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

3. 인덕터는 $v_L = L \, di/dt$를 따릅니다. 한 주기에 걸쳐 적분하면 전류의 변화는 전압의 적분을 $L$로 나눈 값입니다.

   $$\Delta i = \frac{\int\limits_{0}^{T_s} v_L\, dt}{L}$$

4. $D T_s$ 동안 $v_{L,\mathrm{on}}$, 나머지 시간 동안 $v_{L,\mathrm{off}}$인 전압이라면 적분은 한 주기 평균에 $T_s$를 곱한 값입니다.

   $$\langle v_L \rangle = v_{L,\mathrm{off}} + v_{L,\mathrm{on}} D - v_{L,\mathrm{off}} D$$

5. 따라서 한 주기 동안의 변화는 평균 전압에 $T_s$를 곱해 $L$로 나눈 값이며, 평균이 0일 때만 0입니다(전압-초 평형).

   $$\Delta i = \frac{\langle v_L \rangle T_s}{L}$$

   ✓ 재현하는 수식 vsb.drift (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

6. 소리플 근사를 쓰면 인덕터 전압(또는 커패시터 전류)은 $D T_s$ 동안 $x_\mathrm{on}$, $(1 - D) T_s$ 동안 $x_\mathrm{off}$ 값을 가지며, 그 평균은 0이어야 합니다.

   $$x_\mathrm{off} \left(1 - D\right) + x_\mathrm{on} D = 0$$

7. 인덕터 전압($x = v_L$)에 대해서는 전압-초 평형입니다.

   $$v_{L,\mathrm{off}} = \frac{D v_{L,\mathrm{on}}}{-1 + D} = - \frac{D v_{L,\mathrm{on}}}{1 - D}$$

   ✓ 재현하는 수식 vsb.v_off (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

8. 커패시터 전류($x = i_C$)에 대해서는 전하 평형입니다.

   $$i_{C,\mathrm{off}} = \frac{D i_{C,\mathrm{on}}}{-1 + D} = - \frac{D i_{C,\mathrm{on}}}{1 - D}$$

   ✓ 재현하는 수식 csb.i_off (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

9. 인덕터 권선 저항 $R_L$이 있는 부스트의 전압-초 평형: 인덕터에는 스위치 온 구간에 $V_g - I R_L$, 다이오드 도통 구간에 $V_g - I R_L - V$가 걸립니다($I$ = 인덕터 직류 전류).

   $$D \left(V_g - I R_L\right) + \left(1 - D\right) \left(V_g - V - I R_L\right) = 0$$

10. 출력 커패시터의 전하 평형: 커패시터 전류는 스위치 온 구간에 $-V/R$, 다이오드 도통 구간에 $I - V/R$입니다.

    $$\left(1 - D\right) \left(I - \frac{V}{R}\right) - \frac{D V}{R} = 0$$

11. 두 1차 방정식을 $I$에 대해 풉니다.

    $$I = \frac{V_g}{R + R_L - 2 D R + R D^{2}}$$

12. $M = V/V_g$에 대해서도 풉니다.

    $$M = \frac{R \left(1 - D\right)}{R + R_L - 2 D R + R D^{2}} = \frac{1}{\left(1 - D\right) \left(1 + \frac{R_L}{\left(1 - D\right)^{2} R}\right)}$$

    ✓ 재현하는 수식 boost.ccm.M_RL (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

13. 효율은 출력 전력 $V^2/R$을 입력 전력 $V_g I$로 나눈 값입니다.

    $$\eta = \frac{R \left(-1 + D\right)^{2}}{R + R_L - 2 D R + R D^{2}} = \frac{1}{1 + \frac{R_L}{\left(1 - D\right)^{2} R}}$$

    ✓ 재현하는 수식 boost.ccm.eta_RL (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

유도 스크립트: python/pe_core/derive/averaging.py

CCM 변환비(conversion ratio)와 리플

주기적 정상상태에서는 모든 인덕터 전류가 한 스위칭 주기의 끝에서 시작값으로 돌아오므로 한 주기 동안의 평균 인덕터 전압은 0입니다. 소리플 근사를 쓰면 각 구간에 걸리는 전압이 일정하므로 이 평형 조건은 출력 전압에 대한 1차 방정식이 됩니다.

1. 전압-초 평형: 한 스위칭 주기 동안 평균한 인덕터 전압은 0입니다.

   $$\langle v_L \rangle = 0$$

2. 벅: 인덕터에는 스위치 온 구간(비율 $D$)에 $V_g - V$, 다이오드 도통 구간($1 - D$)에 $-V$가 걸립니다.

   $$D \left(V_g - V\right) - V \left(1 - D\right) = 0$$

3. $V$에 대해 풀고 $V_g$로 나눕니다.

   $$M = D$$

   ✓ 재현하는 수식 buck.ccm.M (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

4. 부스트: 스위치 온 구간에는 $V_g$, 다이오드 도통 구간에는 $V_g - V$가 걸립니다.

   $$D V_g + \left(1 - D\right) \left(V_g - V\right) = 0$$

5. $V$에 대해 풉니다.

   $$M = - \frac{1}{-1 + D} = \frac{1}{1 - D}$$

   ✓ 재현하는 수식 boost.ccm.M (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

6. 벅-부스트: 스위치 온 구간에는 $V_g$, 다이오드 도통 구간에는 (음의) 출력 전압 $V$가 걸립니다.

   $$V \left(1 - D\right) + D V_g = 0$$

7. $V$에 대해 풉니다. 출력 극성은 반전됩니다.

   $$M = \frac{D}{-1 + D} = - \frac{D}{1 - D}$$

   ✓ 재현하는 수식 buckboost.ccm.M (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

8. 플라이백(1:$n$, 1차 측 자화 인덕턴스): 스위치 온 구간에는 $V_g$가 걸리고, 다이오드 도통 구간에는 2차 측이 $V$로 클램프되어 1차 측에 $-V/n$으로 반사됩니다.

   $$D V_g - \frac{V \left(1 - D\right)}{n} = 0$$

9. $V$에 대해 풉니다.

   $$M = - \frac{D n}{-1 + D} = \frac{n D}{1 - D}$$

   ✓ 재현하는 수식 flyback.ccm.M (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

10. 포워드: 스위치 온 구간에 2차 측이 출력 필터에 $nV_g$를 인가하므로 출력 인덕터에는 $nV_g - V$가 걸리고, 환류 다이오드 도통 구간에는 $-V$가 걸립니다.

    $$D \left(- V + V_g n\right) - V \left(1 - D\right) = 0$$

11. $V$에 대해 풉니다.

    $$M = n D$$

    ✓ 재현하는 수식 forward.ccm.M (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

12. 포워드 리셋: 자화 인덕턴스에는 $D T_s$ 동안 $V_g$가 걸리고, 이후 자화 전류가 0으로 돌아올 때까지 $D_2 T_s$ 동안 리셋 권선($N_r$ 턴)이 이 전압을 $-V_g/n_r$로 클램프합니다.

    $$D V_g - \frac{D_2 V_g}{n_r} = 0$$

13. 리셋 구간을 구합니다.

    $$D_2 = D n_r$$

14. 리셋은 한 주기 안에 끝나야 하므로 $D + D_2 \le 1$이며, 등호일 때 듀티비가 최대입니다.

    $$D_\mathrm{max} = \frac{1}{1 + n_r}$$

    ✓ 재현하는 수식 forward.reset.Dmax (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

15. 벅 리플: 온 구간 $D T_s$ 동안 인덕터 전류가 기울기 $(V_g - V)/L$로 증가하며, 이 증가량이 피크-피크 리플, 즉 $2\Delta i_L$입니다.

    $$2 \Delta i_L = \frac{D T_s \left(V_g - V\right)}{L}$$

16. 그 절반이 Erickson의 $\Delta i_L$입니다.

    $$\Delta i_L = \frac{\left(V_g - V\right) D T_s}{2 L}$$

    ✓ 재현하는 수식 buck.ripple.iL (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

17. $T_s = 1/f_s$로 쓴 피크-피크 값.

    $$\Delta i_{L,\mathrm{pp}} = \frac{\left(V_g - V\right) D}{L f_s}$$

    ✓ 재현하는 수식 buck.ripple.iL_pp (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

유도 스크립트: python/pe_core/derive/ccm_ratios.py

CCM/DCM 경계(boundary)와 DCM 변환비

인덕터 전류 리플이 커져 전류가 0에 닿으면 컨버터는 CCM을 벗어납니다. 경계에서는 리플의 절반 $\Delta i_L$이 인덕터 직류 전류와 같습니다. DCM에서는 스위치와 다이오드가 모두 꺼진 세 번째 구간 $D_3 T_s$가 생기고 그 길이를 모르므로, 전압-초 평형에 커패시터 전하 평형(평균 다이오드 전류 또는 평균 인덕터 전류가 부하 전류와 같음)을 함께 씁니다.

1. 이 유도 전체에서 쓰는 정의: $K = 2L/(R T_s)$, 즉 $L = K R T_s/2$.

   $$K = \frac{2 L}{R T_s}$$

2. 벅: 인덕터 직류 전류는 부하 전류 $V/R$이며, CCM에서 $V = D V_g$입니다.

   $$I_L = \frac{D V_g}{R}$$

3. CCM 동작점을 대입한 온 구간의 리플 절반.

   $$\Delta i_L = \frac{D T_s \left(V_g - D V_g\right)}{2 L}$$

4. 경계 조건 $\Delta i_L = I_L$에 $L = K R T_s/2$를 넣고 $K$에 대해 풉니다.

   $$K_\mathrm{crit} = 1 - D$$

   ✓ 재현하는 수식 Kcrit.buck (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

5. 부스트: 인덕터에는 입력 전류 $V/((1 - D)R)$가 흐르며, $V = V_g/(1 - D)$입니다.

   $$I_L = \frac{V_g}{R \left(1 - D\right)^{2}}$$

6. CCM 동작점을 대입한 온 구간의 리플 절반.

   $$\Delta i_L = \frac{D T_s V_g}{2 L}$$

7. 경계 조건 $\Delta i_L = I_L$에 $L = K R T_s/2$를 넣고 $K$에 대해 풉니다.

   $$K_\mathrm{crit} = D \left(-1 + D\right)^{2} = D \left(1 - D\right)^{2}$$

   ✓ 재현하는 수식 Kcrit.boost (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

8. 벅-부스트: 인덕터 전류는 $|V|/((1 - D)R)$이며, $|V| = D V_g/(1 - D)$입니다.

   $$I_L = \frac{D V_g}{R \left(1 - D\right)^{2}}$$

9. CCM 동작점을 대입한 온 구간의 리플 절반.

   $$\Delta i_L = \frac{D T_s V_g}{2 L}$$

10. 경계 조건 $\Delta i_L = I_L$에 $L = K R T_s/2$를 넣고 $K$에 대해 풉니다.

    $$K_\mathrm{crit} = \left(-1 + D\right)^{2} = \left(1 - D\right)^{2}$$

    ✓ 재현하는 수식 Kcrit.buckboost (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

11. 경계에서 $K$는 $K_\mathrm{crit}$과 같으므로, $K$의 정의를 $L$에 대해 풉니다.

    $$L_\mathrm{crit} = \frac{K_\mathrm{crit} R T_s}{2}$$

    ✓ 재현하는 수식 L.crit (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

12. 벅 DCM, $V = M V_g$로 쓴 전압-초 평형: $D T_s$ 동안 $V_g - V$, $D_2 T_s$ 동안 $-V$, $D_3 T_s$ 동안 $0$.

    $$D \left(V_g - M V_g\right) - D_2 M V_g = 0$$

13. $D_2$를 구합니다.

    $$D_2 = - D + \frac{D}{M} = \frac{D \left(1 - M\right)}{M}$$

    ✓ 재현하는 수식 buck.dcm.D2 (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

14. 온 구간 끝의 인덕터 피크 전류.

    $$i_\mathrm{pk} = \frac{D T_s \left(V_g - M V_g\right)}{L}$$

15. 전하 평형: 평균 인덕터 전류(높이 $i_\mathrm{pk}$, 밑변 $(D + D_2)T_s$인 삼각형)가 부하 전류 $V/R$과 같습니다.

    $$\frac{T_s D^{2} \left(V_g - M V_g\right)}{2 L M} = \frac{M V_g}{R}$$

16. $L = K R T_s/2$를 대입하고 $M$에 대한 2차식의 양의 근을 택합니다.

    $$M = \frac{D \left(- D + \sqrt{4 K + D^{2}}\right)}{2 K} = \frac{2}{1 + \sqrt{1 + \frac{4 K}{D^{2}}}}$$

    ✓ 재현하는 수식 buck.dcm.M (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

17. 부스트 DCM 전압-초 평형: $D T_s$ 동안 $V_g$, $D_2 T_s$ 동안 $V_g - V$.

    $$D V_g + D_2 \left(V_g - M V_g\right) = 0$$

18. $D_2$를 구합니다.

    $$D_2 = \frac{D}{-1 + M}$$

19. 출력의 전하 평형: 평균 다이오드 전류($D_2 T_s$ 동안 높이 $i_\mathrm{pk}$인 삼각형)가 부하 전류와 같습니다.

    $$\frac{T_s V_g D^{2}}{2 L \left(-1 + M\right)} = \frac{M V_g}{R}$$

20. $L = K R T_s/2$를 대입하고 $M > 1$인 근을 택합니다.

    $$M = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{K + 4 D^{2}}}{2 \sqrt{K}} = \frac{1 + \sqrt{1 + \frac{4 D^{2}}{K}}}{2}$$

    ✓ 재현하는 수식 boost.dcm.M (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

21. 벅-부스트 DCM, 음의 출력 $V = M V_g$로 쓴 전압-초 평형: $D T_s$ 동안 $V_g$, $D_2 T_s$ 동안 $V$.

    $$D V_g + D_2 V_g M = 0$$

22. $D_2$를 구합니다.

    $$D_2 = - \frac{D}{M}$$

23. 전하 평형: 평균 다이오드 전류가 부하 전류 $|V|/R$과 같습니다.

    $$- \frac{T_s V_g D^{2}}{2 L M} = - \frac{V_g M}{R}$$

24. $L = K R T_s/2$를 대입해 풉니다($M < 0$).

    $$M = - \frac{D}{\sqrt{K}}$$

    ✓ 재현하는 수식 buckboost.dcm.M (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

유도 스크립트: python/pe_core/derive/dcm.py

플라이백: DCM 변환비, 경계, 스트레스, 무손실 저항(loss-free resistor)

플라이백은 스위치 온 구간에 자화 인덕턴스 $L_M$에 에너지를 저장하고, 오프 구간에 다이오드를 통해 출력으로 내보냅니다. 1:$n$ 변압기($n = N_s/N_p$)에서 2차 측 전압은 $n$으로 나뉘어 1차 측에 반사되고, 2차 측 전류는 1차 측 환산 자화 전류를 $n$으로 나눈 값입니다.

1. 온 구간: $L_M$ 양단에 $V_g$가 걸려 자화 전류가 0(DCM)에서 $i_\mathrm{pk}$까지 증가합니다.

   $$i_\mathrm{pk} = \frac{D T_s V_g}{L_M}$$

2. $L_M$의 전압-초 평형: $D T_s$ 동안 $V_g$, 이후 $D_2 T_s$ 동안 반사된 출력 $-V/n$.

   $$D V_g - \frac{D_2 V}{n} = 0$$

3. $D_2$를 구합니다.

   $$D_2 = \frac{D V_g n}{V}$$

4. 전하 평형: 2차 측 전류는 $i_\mathrm{pk}/n$에서 시작해 $D_2 T_s$ 동안 0으로 감소하며, 그 평균이 부하 전류 $V/R$과 같습니다.

   $$\frac{T_s D^{2} V_g^{2}}{2 L_M V} = \frac{V}{R}$$

5. $L_M = K R T_s/2$를 대입해 $V/V_g$를 구합니다. $n$은 소거됩니다.

   $$M = \frac{D}{\sqrt{K}}$$

   ✓ 재현하는 수식 flyback.dcm.M (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

6. DCM 출력 전압을 대입한 DCM 감자(demagnetizing) 구간.

   $$D_2 = n \sqrt{K}$$

7. 감자 구간이 주기의 나머지를 모두 채울 때, 즉 $D + D_2 = 1$일 때 경계에 도달합니다.

   $$K_\mathrm{crit} = \frac{\left(-1 + D\right)^{2}}{n^{2}} = \frac{\left(1 - D\right)^{2}}{n^{2}}$$

   ✓ 재현하는 수식 Kcrit.flyback (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

8. 출력이 $V$로 고정되고(배터리 또는 정전압 버스) 다이오드 강하가 $V_D$이면, 감자 구간의 반사 전압은 $-(V + V_D)/n$입니다.

   $$D V_g + \frac{D_2 \left(- V - V_D\right)}{n} = 0$$

9. $D + D_2 = 1$로 두면 컨버터가 CCM에 들어가는 입력 전압을 얻습니다. 그 이상에서는 CCM 전압-초 평형이 $V_g$를 이 값에 묶어 둡니다.

   $$V_{g,\mathrm{crit}} = \frac{V + V_D - D \left(V + V_D\right)}{D n} = \frac{\left(V + V_D\right) \left(1 - D\right)}{n D}$$

   ✓ 재현하는 수식 flyback.V_crit (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

10. 다이오드가 도통하는 동안 1차 권선의 반사 전압 $(V + V_D)/n$이 $V_g$에 더해지므로, 오프 상태의 스위치 전압은 그 합입니다(누설 스파이크는 이 위에 더해집니다).

    $$V_\mathrm{DS} = V_g + \frac{V + V_D}{n}$$

    ✓ 재현하는 수식 flyback.Vds_off (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

11. 입력이 $V_{g,\mathrm{crit}}$에 묶이면 오프 상태의 스위치 전압이 간단해집니다.

    $$V_\mathrm{DS} = \frac{V + V_D}{n D}$$

    ✓ 재현하는 수식 flyback.Vds_clamped (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

12. 스위치 온 구간에는 2차 권선 전압 $n V_g$가 출력 전압에 더해져 역바이어스된 다이오드에 걸립니다.

    $$V_R = V + n V_g$$

    ✓ 재현하는 수식 flyback.diode.VR (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

13. CCM 전하 평형: 다이오드가 도통하는 $(1 - D) T_s$ 동안 2차 측에는 $I_M/n$이 흐르며(소리플 근사), 그 평균이 부하 전류 $V/R$과 같습니다.

    $$\frac{I_M \left(1 - D\right)}{n} = \frac{V}{R}$$

14. $I_M$에 대해 풉니다.

    $$I_M = - \frac{V n}{R \left(-1 + D\right)} = \frac{n V}{\left(1 - D\right) R}$$

    ✓ 재현하는 수식 flyback.IM (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

15. 온 구간: $D T_s$ 동안 $L_M$ 양단에 $V_g$가 걸리므로 자화 전류는 리플 절반 $\Delta i_M$의 두 배만큼 증가합니다.

    $$2 \Delta i_M = \frac{D T_s V_g}{L_M}$$

16. $\Delta i_M$에 대해 풉니다.

    $$\Delta i_M = \frac{V_g D T_s}{2 L_M}$$

    ✓ 재현하는 수식 flyback.ripple.iM (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

17. 스위치가 켜져 있는 동안 다이오드는 꺼져 있으므로 $D T_s$ 동안 커패시터만이 부하 전류 $V/R$을 공급하고, 그 전압은 리플 절반 $\Delta v$의 두 배만큼 떨어집니다.

    $$2 \Delta v = \frac{D T_s V}{C R}$$

18. $\Delta v$에 대해 풉니다.

    $$\Delta v = \frac{V D T_s}{2 R C}$$

    ✓ 재현하는 수식 flyback.ripple.v (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

19. $T_s = 1/f_s$로 쓴 DCM 피크 자화 전류.

    $$I_\mathrm{pk} = \frac{V_g D}{L_M f_s}$$

    ✓ 재현하는 수식 flyback.Ipk.dcm (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

20. 매 온 구간이 끝날 때 $L_M$에 저장된 에너지입니다(DCM에서는 매 주기 이 에너지가 모두 전달됩니다).

    $$E = \frac{D^{2} T_s^{2} V_g^{2}}{2 L_M}$$

21. 전력은 주기당 에너지 × 스위칭 주파수입니다. $V_g$, $D$, $L_M$, $f_s$로 정해지며 부하와는 무관합니다.

    $$P = \frac{V_g^{2} D^{2}}{2 L_M f_s}$$

    ✓ 재현하는 수식 dcm.P_in (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

22. $P = V_g^2/R_\mathrm{in}$이므로 입력은 아무것도 소산하지 않는 저항(무손실 저항)처럼 동작합니다.

    $$R_\mathrm{in} = \frac{2 L_M f_s}{D^{2}}$$

    ✓ 재현하는 수식 lfr.R_in (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

유도 스크립트: python/pe_core/derive/flyback.py

플라이백 클램프: 반사 전압(reflected voltage), 클램프 손실, 출력 상한

플라이백의 스위치가 꺼지면 자화 전류는 2차 측으로 넘어가지만, 누설 인덕턴스 $L_\mathrm{lk}$의 전류는 1차 측에 연결된 클램프 외에는 흐를 곳이 없습니다. 클램프는 이 전류가 0으로 줄어들 때까지 1차 측을 $V_\mathrm{clamp}$에 묶어 둡니다.

1. 출력 다이오드가 도통하는 동안 2차 권선에는 출력 전압과 다이오드 전압 강하의 합이 걸립니다.

   $$v_s = V + V_D$$

2. 이상적인 1:$n$ 변압기에서 2차 측 전압은 1차 측에서 $n$으로 나뉩니다.

   $$V_\mathrm{OR} = \frac{V + V_D}{n}$$

   ✓ 재현하는 수식 flyback.V_OR (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

3. 스위치는 입력과 1차 권선 사이에 있으며, 클램프가 도통하는 동안 1차 권선은 $V_\mathrm{clamp}$에 묶입니다.

   $$V_\mathrm{DS} = V_g + V_\mathrm{clamp}$$

   ✓ 재현하는 수식 clamp.Vds (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

4. 출력 다이오드가 도통하는 동안 자화 인덕턴스 양단은 $V_\mathrm{OR}$이므로, 누설 인덕턴스에는 $V_\mathrm{clamp} - V_\mathrm{OR}$가 걸려 전류가 $I_\mathrm{pk}$에서 선형으로 감소합니다.

   $$i_\mathrm{lk} = I_\mathrm{pk} - \frac{t \left(V_\mathrm{clamp} - V_\mathrm{OR}\right)}{L_\mathrm{lk}}$$

5. 전류는 이 시간 뒤에 0이 되며, 이 시간은 오프 시간 안에 들어가야 합니다.

   $$t_r = \frac{L_\mathrm{lk} I_\mathrm{pk}}{V_\mathrm{clamp} - V_\mathrm{OR}}$$

   ✓ 재현하는 수식 clamp.t_reset (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

6. 클램프는 클램프 전압과 감소하는 이 전류의 곱을 흡수합니다. 그동안 반사 전압이 전류를 계속 밀어 주므로 흡수하는 에너지는 누설 에너지 $\tfrac12 L_\mathrm{lk} I_\mathrm{pk}^2$보다 많습니다.

   $$E_\mathrm{clamp} = \frac{L_\mathrm{lk} V_\mathrm{clamp} I_\mathrm{pk}^{2}}{2 \left(V_\mathrm{clamp} - V_\mathrm{OR}\right)}$$

7. 스위칭 주기마다 한 번씩.

   $$P_\mathrm{clamp} = \frac{L_\mathrm{lk} V_\mathrm{clamp} f_s I_\mathrm{pk}^{2}}{2 \left(V_\mathrm{clamp} - V_\mathrm{OR}\right)} = \frac{L_\mathrm{lk} I_\mathrm{pk}^{2} f_s V_\mathrm{clamp}}{2 \left(V_\mathrm{clamp} - V_\mathrm{OR}\right)}$$

   ✓ 재현하는 수식 clamp.P (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

8. RCD 클램프에서는 커패시터가 $V_\mathrm{clamp}$를 유지하고 저항이 클램프 전력을 소산합니다.

   $$\frac{V_\mathrm{clamp}^{2}}{R_\mathrm{clamp}} = \frac{L_\mathrm{lk} V_\mathrm{clamp} f_s I_\mathrm{pk}^{2}}{2 \left(V_\mathrm{clamp} - V_\mathrm{OR}\right)}$$

9. $V_\mathrm{OR}$보다 큰 근.

   $$V_\mathrm{clamp} = \frac{V_\mathrm{OR} + \sqrt{V_\mathrm{OR}^{2} + 2 R_\mathrm{clamp} L_\mathrm{lk} I_\mathrm{pk}^{2} f_s}}{2}$$

   ✓ 재현하는 수식 clamp.rcd.V (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

10. 부하를 제거하고 레귤레이션이 없으면 출력은 계속 충전되고, 반사 전압은 클램프 전압에 도달할 때까지 오릅니다. 그 뒤에는 클램프가 입력 전력을 모두 가져갑니다. 이는 전압이 그 전력에 따라 변하지 않는 클램프(TVS)에 해당하며, RCD 클램프의 전압은 그 전력에 따라 올라갑니다.

    $$\frac{V_D + V_\mathrm{o,max}}{n} = V_\mathrm{clamp}$$

11. 출력 전압에 대해 풉니다.

    $$V_\mathrm{o,max} = n V_\mathrm{clamp} - V_D$$

    ✓ 재현하는 수식 flyback.V_ceiling (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

유도 스크립트: python/pe_core/derive/clamp.py

스너버(snubber): 링잉에서 구한 기생 성분, 감쇠 저항, 손실

스위칭 에지는 노드의 기생 인덕턴스와 커패시턴스를 링잉시킵니다. 레이아웃에서 읽을 수 없는 이 값들은 링잉 주파수를 두 번, 즉 원래 회로에서 한 번, 값을 아는 커패시터를 추가해서 한 번 재면 구할 수 있습니다.

1. 원래 회로에서 노드는 인덕턴스와 커패시턴스의 공진 주파수로 링잉합니다.

   $$f_{r0} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{C_\mathrm{par}} \sqrt{L_\mathrm{par}}}$$

2. 노드에 값을 아는 커패시터를 달면 커패시턴스는 그만큼 늘고 인덕턴스는 그대로입니다.

   $$f_{r1} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L_\mathrm{par}} \sqrt{C_\mathrm{add} + C_\mathrm{par}}}$$

3. 두 주파수의 비 $x = f_{r0}/f_{r1}$에서 인덕턴스가 소거됩니다.

   $$x^{2} = \frac{C_\mathrm{add} + C_\mathrm{par}}{C_\mathrm{par}}$$

4. 노드의 커패시턴스에 대해 풀면:

   $$C_\mathrm{par} = \frac{C_\mathrm{add} f_{r1}^{2}}{f_{r0}^{2} - f_{r1}^{2}} = \frac{C_\mathrm{add}}{\left(\frac{f_{r0}}{f_{r1}}\right)^{2} - 1}$$

   ✓ 재현하는 수식 snub.C_par (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

5. 그러면 첫 번째 공진에서 인덕턴스가 나옵니다.

   $$L_\mathrm{par} = \frac{1}{4 \pi^{2} f_{r0}^{2} C_\mathrm{par}}$$

   ✓ 재현하는 수식 snub.L_par (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

6. AN11160은 기생 인덕턴스, 스너버 저항, 스너버 커패시터를 직렬로 본 루프의 감쇠 계수를 쓰며, 노드 자체의 커패시턴스는 넣지 않습니다. 이 루프의 고유 주파수는 다음 식을 만족합니다.

   $$1 + s C_\mathrm{snub} R_\mathrm{snub} + C_\mathrm{snub} L_\mathrm{par} s^{2} = 0$$

7. $L_\mathrm{par} C_\mathrm{snub}$로 나누어 $\omega_0 = 1/\sqrt{L_\mathrm{par} C_\mathrm{snub}}$인 $s^2 + 2\zeta\omega_0 s + \omega_0^2 = 0$ 꼴로 쓰면, 감쇠 계수는 다음과 같습니다.

   $$\zeta = \frac{R_\mathrm{snub} \sqrt{C_\mathrm{snub}}}{2 \sqrt{L_\mathrm{par}}}$$

8. 저항에 대해 풀면:

   $$R_\mathrm{snub} = 2 \zeta \sqrt{\frac{L_\mathrm{par}}{C_\mathrm{snub}}}$$

   ✓ 재현하는 수식 snub.R (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

9. 에지에서 노드 전압이 $V_\mathrm{snub}$만큼 바뀌면 스너버 커패시터가 저항을 통해 충전되며, 전류는 $i = (V_\mathrm{snub}/R)\,e^{-t/(R C_\mathrm{snub})}$입니다. 저항이 가져가는 에너지는 $R$과 무관합니다.

   $$E_R = \frac{C_\mathrm{snub} V_\mathrm{snub}^{2}}{2}$$

10. 다음 에지에서는 커패시터가 저항과 켜지는 스위치를 통해 방전하며 저장된 에너지, 즉 같은 양을 다시 잃습니다. 따라서 한 주기에 잃는 에너지는 다음과 같습니다.

    $$2 E_R = C_\mathrm{snub} V_\mathrm{snub}^{2}$$

11. 초당 $f_s$ 주기이므로:

    $$P = C_\mathrm{snub} V_\mathrm{snub}^{2} f_s$$

    ✓ 재현하는 수식 snub.P (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

12. AN11160은 기생 인덕턴스에 전류 $I_\mathrm{ring}$이 흐르는 동안 커패시터를 충전하는 에지로 저항의 정격을 정합니다. 전원은 커패시터의 전하 $C_\mathrm{snub} V_\mathrm{snub}$을 전압 $V_\mathrm{snub}$에서 공급합니다.

    $$E_s = C_\mathrm{snub} V_\mathrm{snub}^{2}$$

13. 커패시터는 그 에너지의 절반을 저장하고 인덕턴스는 자신의 에너지 $L_\mathrm{par} I_\mathrm{ring}^2/2$를 모두 내놓습니다. 나머지는 저항값과 관계없이 저항이 가져갑니다.

    $$W_R = \frac{C_\mathrm{snub} V_\mathrm{snub}^{2}}{2} + \frac{L_\mathrm{par} I_\mathrm{ring}^{2}}{2}$$

14. 한 주기에 한 번이므로:

    $$P_{R,\mathrm{snub}} = \frac{f_s \left(C_\mathrm{snub} V_\mathrm{snub}^{2} + L_\mathrm{par} I_\mathrm{ring}^{2}\right)}{2}$$

    ✓ 재현하는 수식 snub.P_R (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

유도 스크립트: python/pe_core/derive/snubbers.py

토폴로지 세부: 직류 전류, 리플, 스위치 스트레스, 이용률(utilization)

출력 커패시터의 전하 평형으로 각 컨버터의 인덕터 직류 전류를 구합니다. 온 구간 동안 인덕터에는 일정한 전압이 걸리므로 전류는 리플 절반 $\Delta i_L$의 두 배만큼 선형으로 변하며, 같은 방식으로 한 주기 동안 커패시터가 주고받는 전하에서 전압 리플 $\Delta v$를 구합니다. 트랜지스터 이용률 $U$는 부하 전력을 트랜지스터의 피크 전압과 실효 전류의 곱과 비교한 값입니다.

1. 벅, 전하 평형: 커패시터 전류는 두 구간 모두에서 $I_L - V/R$입니다(소리플 근사).

   $$\langle i_C \rangle = I_L - \frac{V}{R}$$

2. 평균을 0으로 놓습니다.

   $$I_L = \frac{V}{R}$$

   ✓ 재현하는 수식 buck.IL (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

3. 벅 출력 리플: 커패시터는 인덕터 전류의 삼각파 교류 성분을 받습니다. 그중 양의 부분은 $T_s/2$ 동안 이어지고 최댓값이 $\Delta i_L$이므로 전하 $q$를 전달합니다.

   $$q = \frac{\Delta i_L T_s}{4}$$

4. 그 전하가 커패시터 전압을 최솟값에서 최댓값까지, 즉 $2\Delta v$만큼 올립니다.

   $$2 C \Delta v = \frac{\Delta i_L T_s}{4}$$

5. $\Delta v$에 대해 풉니다.

   $$\Delta v = \frac{\Delta i_L T_s}{8 C}$$

   ✓ 재현하는 수식 buck.ripple.v (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

6. 부스트, 전하 평형: 스위치 온 구간에 $-V/R$, 다이오드 도통 구간에 $I_L - V/R$.

   $$\left(1 - D\right) \left(I_L - \frac{V}{R}\right) - \frac{D V}{R} = 0$$

7. $I_L$에 대해 풉니다.

   $$I_L = - \frac{V}{R \left(-1 + D\right)} = \frac{V}{\left(1 - D\right) R}$$

   ✓ 재현하는 수식 boost.IL (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

8. 부스트 전류 리플: 인덕터에 $D T_s$ 동안 $V_g$가 걸리므로 전류는 $V_g D T_s/L$, 즉 $2\Delta i_L$만큼 증가합니다.

   $$2 \Delta i_L = \frac{D T_s V_g}{L}$$

9. $\Delta i_L$에 대해 풉니다.

   $$\Delta i_L = \frac{V_g D T_s}{2 L}$$

   ✓ 재현하는 수식 boost.ripple.iL (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

10. 부스트 전압 리플: 스위치가 켜져 있는 $D T_s$ 동안 커패시터만이 부하 전류 $V/R$을 공급하므로 전압이 $2\Delta v$만큼 떨어집니다.

    $$2 \Delta v = \frac{D T_s V}{C R}$$

11. $\Delta v$에 대해 풉니다.

    $$\Delta v = \frac{V D T_s}{2 R C}$$

    ✓ 재현하는 수식 boost.ripple.v (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

12. 출력 크기 $V$로 쓴 벅-부스트: 인덕터에는 스위치 온 구간에 $V_g$, 다이오드 도통 구간에 $-V$가 걸립니다.

    $$D V_g - V \left(1 - D\right) = 0$$

13. $V$에 대해 풉니다.

    $$V = - \frac{D V_g}{-1 + D} = \frac{D V_g}{1 - D}$$

    ✓ 재현하는 수식 buckboost.V (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

14. 전하 평형은 부스트와 같습니다. 스위치 온 구간에는 커패시터가 부하에 전류를 공급하고, 다이오드 도통 구간에는 $I_L$을 받습니다.

    $$I_L = - \frac{V}{R \left(-1 + D\right)} = \frac{V}{\left(1 - D\right) R}$$

    ✓ 재현하는 수식 buckboost.IL (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

15. 부스트와 마찬가지로 인덕터에는 $D T_s$ 동안 $V_g$가 걸립니다.

    $$\Delta i_L = \frac{V_g D T_s}{2 L}$$

    ✓ 재현하는 수식 buckboost.ripple.iL (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

16. 부스트와 마찬가지로 $D T_s$ 동안 커패시터만이 부하에 전류를 공급합니다.

    $$\Delta v = \frac{V D T_s}{2 R C}$$

    ✓ 재현하는 수식 buckboost.ripple.v (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

17. 벅: 다이오드가 도통하는 동안 스위치 노드는 접지 전위에 있으므로(이상적 다이오드), 입력과 그 노드 사이의 스위치는 $V_g$를 차단합니다.

    $$V_\mathrm{DS} = V_g$$

    ✓ 재현하는 수식 buck.Vds (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

18. 부스트: 다이오드가 도통하는 동안 스위치 노드는 출력에 연결되므로, 그 노드와 접지 사이의 스위치는 $V$를 차단합니다.

    $$V_\mathrm{DS} = V$$

    ✓ 재현하는 수식 boost.Vds (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

19. 다이오드가 도통하는 동안 스위치의 반대쪽 단자는 출력 전위 $-V$에 있으므로, 스위치는 $V_g - (-V)$를 차단합니다.

    $$V_\mathrm{DS} = V_g + V$$

    ✓ 재현하는 수식 buckboost.Vds (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

20. 포워드, 리셋 구간: 리셋 권선($N_r$턴)이 반대 극성으로 $V_g$에 연결되므로 1차 권선($N_p$턴)에는 $-V_g N_p/N_r$이 걸립니다.

    $$v_\mathrm{pri} = - \frac{V_g}{n_r}$$

21. 스위치는 입력 전압에서 1차 전압을 뺀 값을 차단합니다.

    $$V_\mathrm{DS} = \frac{V_g \left(1 + n_r\right)}{n_r} = V_g \left(1 + \frac{1}{n_r}\right)$$

    ✓ 재현하는 수식 forward.Vds (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

22. 포워드 출력 인덕터: 스위치가 켜져 있는 동안 2차 권선이 $n V_g$를 인가하므로 인덕터에는 $D T_s$ 동안 $n V_g - V$가 걸립니다.

    $$2 \Delta i_L = \frac{D T_s \left(- V + V_g n\right)}{L}$$

23. $\Delta i_L$에 대해 풉니다.

    $$\Delta i_L = \frac{\left(n V_g - V\right) D T_s}{2 L}$$

    ✓ 재현하는 수식 forward.ripple.iL (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

24. 트랜지스터 이용률은 부하 전력 $P = V I$를 트랜지스터의 피크 전압과 실효 전류의 곱으로 나눈 값입니다. 소리플 근사에서 트랜지스터 전류는 $D T_s$ 동안 높이 $I_Q$인 평평한 펄스이며, 그 실효값은 $I_Q \sqrt{D}$입니다.

25. 벅: $V = D V_g$이고, 트랜지스터는 $V_g$를 차단하며 인덕터 전류 $I$를 흘립니다.

    $$U = \sqrt{D}$$

26. 정리합니다.

    $$U = \sqrt{D}$$

    ✓ 재현하는 수식 util.buck (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

27. 부스트: 트랜지스터는 $V$를 차단하고 인덕터 전류 $I/(1 - D)$를 흘립니다.

    $$U = \frac{1 - D}{\sqrt{D}}$$

28. 정리합니다.

    $$U = \frac{1 - D}{\sqrt{D}}$$

    ✓ 재현하는 수식 util.boost (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

29. 벅-부스트: $V = D V_g/(1 - D)$이고, 트랜지스터는 $V_g + V$를 차단하며 $I/(1 - D)$를 흘립니다.

    $$U = \frac{V_g \sqrt{D}}{V_g + \frac{D V_g}{1 - D}}$$

30. 정리합니다.

    $$U = \left(1 - D\right) \sqrt{D}$$

    ✓ 재현하는 수식 util.buckboost (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

31. 플라이백: $V = n D V_g/(1 - D)$이고, 트랜지스터는 $V_g + V/n$을 차단하며 1차 측 환산 자화 전류 $n I/(1 - D)$를 흘립니다. 권선비가 상쇄되어 벅-부스트와 같은 결과가 됩니다.

    $$U = \sqrt{D} \left(1 - D\right)$$

32. 포워드: $V = n D V_g$이고, 트랜지스터는 $V_g(1 + 1/n_r)$를 차단하며 반사된 인덕터 전류 $n I$를 흘립니다(자화 전류 무시).

    $$U = \frac{\sqrt{D}}{1 + \frac{1}{n_r}}$$

33. 정리합니다.

    $$U = \frac{n_r \sqrt{D}}{1 + n_r} = \frac{\sqrt{D}}{1 + \frac{1}{n_r}}$$

    ✓ 재현하는 수식 util.forward (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

유도 스크립트: python/pe_core/derive/topologies.py

소신호 전달함수(small-signal transfer functions), CCM

평균화로 스위칭 리플을 없앤 뒤, 평균 방정식을 동작점 주변에서 섭동($d = D + \hat d$, $v = V + \hat v$, $i = I + \hat i$)하고 2차 항을 버리면 선형 방정식이 되며, 이를 라플라스 변환하면 $\hat v/\hat d$를 얻습니다. 아래 각 컨버터는 이득 $G_{d0}$, 품질계수 $Q$인 $\omega_0$의 극점, 그리고 부스트와 벅-부스트의 경우 우반평면 영점 $\omega_z$를 갖는 표준 2차 형태로 정리됩니다.

1. 벅의 선형화된 평균 방정식($\hat v_g = 0$): 인덕터에는 $d\,v_g - v$가 걸리고 커패시터에는 $i - v/R$이 흐릅니다.

   $$\left( \hat i s L = - \hat v + \hat d V_g, \ s \hat v C = \hat i - \frac{\hat v}{R}\right)$$

2. $\hat v/\hat d$를 구합니다.

   $$G_{vd}(s) = \frac{R V_g}{R + s L + C L R s^{2}}$$

3. 직류 이득: $s = 0$에서의 값.

   $$G_{d0} = V_g$$

   ✓ 재현하는 수식 buck.ss.Gd0 (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

4. 극점: $s^2$ 계수 $a_2$로부터 $\omega_0 = 1/\sqrt{a_2}$.

   $$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L C}}$$

   ✓ 재현하는 수식 buck.ss.w0 (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

5. $s$ 계수 $a_1$로부터 $Q = \sqrt{a_2}/a_1$.

   $$Q = R \sqrt{\frac{C}{L}}$$

   ✓ 재현하는 수식 buck.ss.Q (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

6. 부스트: 평균 인덕터 전압은 $v_g - d' v$, 커패시터 전류는 $d' i - v/R$입니다($d' = 1 - d$). $d' = D' - \hat d$로 섭동하고 선형화하면:

   $$\left( \hat i s L = \hat d V - \hat v D', \ s \hat v C = \hat i D' - \hat d I - \frac{\hat v}{R}\right)$$

7. $D' = 1 - D$로 쓴 정상상태 동작점: $V = V_g/D'$, $I = V/(D' R)$.

   $$\left( V = \frac{V_g}{D'}, \ I = \frac{V_g}{D'^{2} R}\right)$$

8. $\hat v/\hat d$를 구합니다.

   $$G_{vd}(s) = \frac{V_g \left(- s L + R D'^{2}\right)}{D'^{2} \left(s L + R D'^{2} + C L R s^{2}\right)}$$

9. 직류 이득(결과는 $D' = 1 - D$를 대입한 형태로 나타냄).

   $$G_{d0} = \frac{V_g}{\left(1 - D\right)^{2}}$$

   ✓ 재현하는 수식 boost.ss.Gd0 (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

10. 극점 주파수.

    $$\omega_0 = \frac{1 - D}{\sqrt{L C}}$$

    ✓ 재현하는 수식 boost.ss.w0 (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

11. 품질계수.

    $$Q = \left(1 - D\right) R \sqrt{\frac{C}{L}}$$

    ✓ 재현하는 수식 boost.ss.Q (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

12. 분자가 양의 실수 $s$에서 0이 되므로 우반평면 영점입니다.

    $$\omega_z = \frac{\left(1 - D\right)^{2} R}{L}$$

    ✓ 재현하는 수식 boost.ss.wz (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

13. 벅-부스트: 평균 인덕터 전압은 $d\,v_g + d' v$, 커패시터 전류는 $-d' i - v/R$이며 출력 $v$는 음수입니다. 선형화하면:

    $$\left( \hat i s L = \hat d \left(V_g - V\right) + \hat v D', \ s \hat v C = \hat d I - \hat i D' - \frac{\hat v}{R}\right)$$

14. $D' = 1 - D$로 쓴 동작점: $V = -D V_g/D'$, $I = D V_g/(D'^2 R)$.

    $$\left( V = \frac{V_g \left(-1 + D'\right)}{D'}, \ I = \frac{V_g \left(1 - D'\right)}{D'^{2} R}\right)$$

15. $\hat v/\hat d$를 구합니다.

    $$G_{vd}(s) = \frac{V_g \left(- s L \left(-1 + D'\right) - R D'^{2}\right)}{D'^{2} \left(s L + R D'^{2} + C L R s^{2}\right)}$$

16. 직류 이득은 음수(반전 출력)이며, 그 크기는 다음과 같습니다.

    $$G_{d0} = \frac{V_g}{\left(1 - D\right)^{2}}$$

    ✓ 재현하는 수식 buckboost.ss.Gd0 (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

17. 극점 주파수.

    $$\omega_0 = \frac{1 - D}{\sqrt{L C}}$$

    ✓ 재현하는 수식 buckboost.ss.w0 (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

18. 품질계수.

    $$Q = \left(1 - D\right) R \sqrt{\frac{C}{L}}$$

    ✓ 재현하는 수식 buckboost.ss.Q (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

19. 우반평면 영점.

    $$\omega_z = \frac{R \left(-1 + D\right)^{2}}{D L} = \frac{\left(1 - D\right)^{2} R}{D L}$$

    ✓ 재현하는 수식 buckboost.ss.wz (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

유도 스크립트: python/pe_core/derive/small_signal.py

PWM 변조기(modulator)와 루프 이득(loop gain)

전압 모드 제어기는 제어 전압을 주기적인 램프와 비교해 듀티비를 정합니다. 루프를 한 바퀴 돌면 보상기, 변조기, 전력단, 센서의 이득이 곱해지며, 그 곱인 루프 이득 $T$가 외란을 얼마나 강하게 억제하는지 결정합니다.

1. 램프는 $T_s$ 동안 $0$에서 $V_M$까지 증가하며, $V_\mathrm{ctrl}$을 넘는 순간 스위치가 꺼집니다.

   $$\frac{V_M t_\mathrm{off}}{T_s} = V_\mathrm{ctrl}$$

2. 온 시간 비율은 $D = t_\mathrm{off}/T_s$입니다.

   $$D = \frac{V_\mathrm{ctrl}}{V_M}$$

   ✓ 재현하는 수식 pwm.d (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

3. 루프를 따라가면 보상기 출력이 변조기(이득 $1/V_M$)를 구동하고, 전력단이 $\hat d$를 $\hat v$로 바꾸며(이득 $G_{vd}$), 센서가 $H \hat v$를 피드백합니다.

4. 루프 이득은 루프를 한 바퀴 도는 이득들의 곱입니다.

   $$T = \frac{G_c G_{vd} H}{V_M}$$

   ✓ 재현하는 수식 loop.T (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

5. 출력 외란 $\hat v_\mathrm{dist}$가 제어된 출력에 더해지고, 제어기는 오차 $\hat v_\mathrm{ref} - H\hat v$에 따라 동작합니다.

   $$\hat v = \hat v_\mathrm{dist} + \frac{G_c G_{vd} \left(\hat v_\mathrm{ref} - \hat v H\right)}{V_M}$$

6. 출력에 도달하는 외란은 $1 + T$로 나뉩니다.

   $$S = \frac{1}{1 + T}$$

   ✓ 재현하는 수식 loop.suppression (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

유도 스크립트: python/pe_core/derive/control.py

저장 에너지, 손실, 링잉

인덕터나 커패시터에 저장된 에너지는 공급된 전력 $v i$의 적분입니다. 스위칭 주기마다 반복되는 손실은 주기당 손실 에너지 × $f_s$이고, 도통 손실은 순시 전력의 주기 평균입니다.

1. 인덕턴스에 공급되는 에너지: $p = v i$이고 $v = L\,di/dt$이므로 $dE = L i\,di$입니다. 0에서 턴오프 전류까지 적분합니다.

   $$E_\mathrm{lk} = \int\limits_{0}^{I_\mathrm{pk}} i L_\mathrm{lk}\, di$$

2. 적분을 계산합니다.

   $$E_\mathrm{lk} = \frac{L_\mathrm{lk} I_\mathrm{pk}^{2}}{2}$$

   ✓ 재현하는 수식 flyback.leak.E (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

3. 이 에너지를 매 주기 제거하면(클램프하거나 소산시키면) 평균 전력은 $E_\mathrm{lk} f_s$입니다.

   $$P_\mathrm{lk} = E_\mathrm{lk} f_s$$

   ✓ 재현하는 수식 flyback.leak.P (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

4. $V_\mathrm{sw}$로 충전된 스위치 노드 커패시턴스의 저장 에너지: $dE = v\,dq = C v\,dv$.

   $$E_C = \int\limits_{0}^{V_\mathrm{sw}} v C_\mathrm{node}\, dv$$

5. 하드 턴온은 매 주기 이 에너지를 스위치 채널로 방전시키므로 $P = E_C f_s$입니다.

   $$P = \frac{C_\mathrm{node} V_\mathrm{sw}^{2} f_s}{2}$$

   ✓ 재현하는 수식 loss.sw.cap (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

6. 도통 손실은 순시 전력 $i(t)^2 R_x$의 주기 평균입니다.

   $$P = \frac{\int\limits_{0}^{T_s} R_x i^{2}{\left(t \right)}\, dt}{T_s}$$

7. 정의상 rms 전류는 $i(t)^2$의 주기 평균의 제곱근입니다.

   $$I_\mathrm{rms}^{2} = \frac{\int\limits_{0}^{T_s} i^{2}{\left(t \right)}\, dt}{T_s}$$

8. $R_x$는 상수이므로 평균 밖으로 나옵니다.

   $$P = I_\mathrm{rms}^{2} R_x$$

   ✓ 재현하는 수식 loss.cond (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

9. 도통 중인 다이오드는 순방향 전압 절편과 동저항으로 모델링합니다. $v_D = V_F + r_d i$이므로 $p = V_F i + r_d i^2$입니다.

   $$P = \frac{\int\limits_{0}^{T_s} \left(V_F i{\left(t \right)} + r_d i^{2}{\left(t \right)}\right)\, dt}{T_s}$$

10. $i$의 평균은 $I_\mathrm{avg}$, $i^2$의 평균은 $I_\mathrm{rms}^2$입니다.

    $$P = V_F I_\mathrm{avg} + r_d I_\mathrm{rms}^{2}$$

    ✓ 재현하는 수식 loss.diode (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

11. 드라이버는 매 주기 $V_\mathrm{GS}$ 전원에서 게이트 전하 $Q_g$를 끌어옵니다. 전원에서 가져가는 에너지는 $V_\mathrm{GS}\,dq$의 적분입니다.

    $$E_G = \int\limits_{0}^{Q_g} V_\mathrm{GS}\, dq$$

12. 이 에너지는 모두 드라이버와 게이트의 저항에서 열이 되며, 여기에 $f_s$를 곱합니다.

    $$P = Q_g V_\mathrm{GS} f_s$$

    ✓ 재현하는 수식 loss.gate (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

13. 감쇠 없는 L-C 루프는 $L C\,d^2v/dt^2 + v = 0$을 따르며, 특성 방정식은 $L C s^2 + 1 = 0$입니다.

    $$1 + C_\mathrm{node} L_M s^{2} = 0$$

14. 근은 $\pm j\omega_0$입니다.

    $$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{C_\mathrm{node}} \sqrt{L_M}}$$

15. $f = \omega_0/(2\pi)$.

    $$f_\mathrm{ring} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L_M C_\mathrm{node}}}$$

    ✓ 재현하는 수식 dcm.ring.f (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

유도 스크립트: python/pe_core/derive/energy.py

자기 회로(magnetic circuits): 인덕턴스 계수, 자속 밀도, 코어 기하 상수

자기 경로는 저항 회로처럼 동작합니다. 기자력 $N i$가 자기저항 $\mathcal{R} = l/(\mu A)$를 통해 자속 $\Phi$를 흐르게 합니다. 유효 단면적 $A_e$에서 자속 밀도가 균일하면 $B = \Phi/A_e$입니다.

1. 코어 자기저항(비투자율 $\mu_i$).

   $$\mathcal{R}_c = \frac{l_e}{A_e \mu_0 \mu_i}$$

2. 공극 자기저항(프린징 무시: 공극 면적 = $A_e$).

   $$\mathcal{R}_g = \frac{l_g}{A_e \mu_0}$$

3. 두 자기저항은 직렬입니다.

   $$\mathcal{R} = \frac{l_g}{A_e \mu_0} + \frac{l_e}{A_e \mu_0 \mu_i}$$

4. 쇄교 자속이 $\lambda = N\Phi = N (N i/\mathcal{R})$이므로 $L = \lambda/i = N^2/\mathcal{R}$입니다.

   $$L = \frac{N^{2}}{\mathcal{R}}$$

5. 인덕턴스 계수는 턴 수 제곱당 인덕턴스, 즉 $A_L = L/N^2 = 1/\mathcal{R}$입니다.

   $$A_L = \frac{1}{\mathcal{R}}$$

6. 두 자기저항을 대입합니다.

   $$A_L = \frac{A_e \mu_0 \mu_i}{l_e + l_g \mu_i} = \frac{\mu_0 A_e}{l_g + \frac{l_e}{\mu_i}}$$

   ✓ 재현하는 수식 mag.AL_gap (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

7. 따라서 $L = A_L N^2$입니다.

   $$L = A_L N^{2}$$

   ✓ 재현하는 수식 mag.L_from_AL (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

8. 쇄교 자속과 인덕턴스: $\lambda = N\Phi = L i$이므로 $\Phi = L i/N$입니다.

   $$\lambda = N \Phi$$

9. 피크 전류에서는 $B_\mathrm{pk} = \Phi_\mathrm{pk}/A_e = L I_\mathrm{pk}/(N A_e)$입니다.

   $$B_\mathrm{pk} = \frac{L I_\mathrm{pk}}{N A_e}$$

   ✓ 재현하는 수식 mag.B_pk (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

10. 자속 밀도는 전류를 따라 $B = L i/(N A_e)$입니다. 직류 전류를 중심으로 한 $\pm\Delta i_L$의 리플은 자속 밀도를 직류 값을 중심으로 $\pm L\,\Delta i_L/(N A_e)$만큼 움직이며, 이 진폭이 $B_\mathrm{ac}$입니다.

    $$B_\mathrm{ac} = \frac{L \Delta i_L}{N A_e}$$

    ✓ 재현하는 수식 mag.B_ac (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

11. $B_\mathrm{pk}$를 한계 $B_\mathrm{max}$로 두고 턴 수에 대해 풀면, 한계를 넘지 않는 최소 턴 수가 나옵니다.

    $$N = \frac{L I_\mathrm{pk}}{B_\mathrm{max} A_e}$$

    ✓ 재현하는 수식 mag.N_Bmax (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

12. $N$이 정해지면 인덕턴스 $L = N^2/(\mathcal{R}_c + \mathcal{R}_g)$가 공극 자기저항을, 따라서 공극 길이를 정합니다.

    $$l_g = \frac{\mu_0 A_e N^{2}}{L} - \frac{l_e}{\mu_i}$$

    ✓ 재현하는 수식 mag.gap_length (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

13. 코어 선정: 구리 단면적이 $A_w$인 $N$턴 권선은 창 면적 $W_A$ 중 비율 $K_u$만큼만 채울 수 있습니다.

    $$K_u W_A = A_w N$$

14. 한계에서는 평균 길이 MLT인 $N$턴 권선의 저항이 구리 손실 한도 $R_\mathrm{dc,max}$와 같습니다.

    $$R_\mathrm{dc,max} = \frac{\mathrm{MLT} N \rho_w}{A_w}$$

15. 창이 선재를 정하므로($A_w = K_u W_A/N$) 저항은 턴 수의 제곱에 비례해 커집니다.

    $$R_\mathrm{dc,max} = \frac{\mathrm{MLT} \rho_w N^{2}}{K_u W_A}$$

16. 자속 한계가 턴 수를 정합니다: $N = L I_\mathrm{pk}/(B_\mathrm{max} A_e)$.

    $$R_\mathrm{dc,max} = \frac{\mathrm{MLT} \rho_w I_\mathrm{pk}^{2} L^{2}}{A_e^{2} B_\mathrm{max}^{2} K_u W_A}$$

17. 코어 치수를 한쪽으로 모으면 코어 기하 상수가 정의되고, 다른 쪽은 사양만으로 정해집니다.

    $$K_g = \frac{W_A A_e^{2}}{\mathrm{MLT}}$$

18. 코어의 $K_g$가 다음 값 이상이면 자속 한계, 창, 저항 한도를 함께 만족합니다.

    $$K_g = \frac{\rho_w L^{2} I_\mathrm{pk}^{2}}{B_\mathrm{max}^{2} R_\mathrm{dc,max} K_u}$$

    ✓ 재현하는 수식 mag.Kg_req (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

19. 패러데이 법칙 $v = N A_e\,dB/dt$에 따라 온 구간 동안의 $B$ 변화는 $v/(N A_e)$의 적분입니다.

    $$\Delta B = \int\limits_{0}^{t_\mathrm{on}} \frac{V_w}{A_e N}\, dt$$

20. 권선 전압 $V_w$가 일정하면 변화폭은 전압-초 $V_w t_\mathrm{on}$에 비례합니다.

    $$\Delta B = \frac{V_w t_\mathrm{on}}{N A_e}$$

    ✓ 재현하는 수식 mag.dB_faraday (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

유도 스크립트: python/pe_core/derive/magnetics.py

권선(windings): 저항, 표피 깊이(skin depth), 얇은 층, 누설(leakage), 단락

권선은 층으로 감긴 긴 도체입니다. 저항은 길이와 단면적에서 나오고, 주파수가 높으면 전류가 표면층으로 몰리며, 권선 사이의 자계는 누설 인덕턴스로 나타나는 에너지를 저장합니다.

1. 권선은 평균 길이 MLT인 $N$턴으로 된 도체 하나입니다.

   $$l_w = \mathrm{MLT} N$$

2. 직류 저항은 저항률에 길이를 곱하고 도체 단면적으로 나눈 값입니다.

   $$R_\mathrm{dc} = \frac{\rho_w N \mathrm{MLT}}{A_w}$$

   ✓ 재현하는 수식 wind.dcr (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

3. 양도체(전도율 $1/\rho_w$) 안의 정현파 전류 밀도는 $d^2 J/dx^2 = j\omega\mu_0 J/\rho_w$를 따르므로 $e^{-k x}$로 변하며, $k$는 다음과 같습니다.

   $$k^{2} = \frac{2 \pi i f \mu_0}{\rho_w}$$

4. 실수부가 양수인 근:

   $$k = \frac{\sqrt{\pi} \sqrt{f} \sqrt{\mu_0}}{\sqrt{\rho_w}} + \frac{i \sqrt{\pi} \sqrt{f} \sqrt{\mu_0}}{\sqrt{\rho_w}}$$

5. 크기는 표피 깊이, 곧 $k$ 실수부의 역수만큼 들어갈 때마다 $e$배씩 줄어듭니다.

   $$\delta = \sqrt{\frac{\rho_w}{\pi \mu_0 f}}$$

   ✓ 재현하는 수식 wind.skin_depth (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

6. 두께가 표피 깊이의 $\varphi$배인 층 $M_\ell$개의 Dowell 교류 저항 계수(`wind.dowell`):

   $$F_R = \varphi \left(\frac{\sin{\left(2 \varphi \right)} + \sinh{\left(2 \varphi \right)}}{- \cos{\left(2 \varphi \right)} + \cosh{\left(2 \varphi \right)}} + \frac{\left(- \frac{2}{3} + \frac{2 M_\ell^{2}}{3}\right) \left(- \sin{\left(\varphi \right)} + \sinh{\left(\varphi \right)}\right)}{\cos{\left(\varphi \right)} + \cosh{\left(\varphi \right)}}\right)$$

7. 얇은 층에서는 쌍곡선 함수와 삼각 함수를 $\varphi$의 거듭제곱으로 전개합니다. $\varphi^3$까지의 항은 상쇄되고, 처음 나타나는 초과분은 4차 항입니다.

   $$F_R = 1 - \frac{\varphi^{4}}{45} + \frac{M_\ell^{2} \varphi^{4}}{9} = 1 + \frac{\left(5 M_\ell^{2} - 1\right) \varphi^{4}}{45}$$

   ✓ 재현하는 수식 wind.dowell_low (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

8. 주파수가 정해지면 표피 깊이도 정해지므로, 두께가 표피 깊이의 $\varphi$배인 층의 직류 저항은 $R_\delta/\varphi$입니다($R_\delta$는 두께가 표피 깊이 하나인 층의 직류 저항). 전류 $I$가 흐르면 손실은 다음과 같습니다.

   $$P = \frac{F_R R_\delta I^{2}}{\varphi}$$

9. 같은 전류가 직류로 흐르는, 두께가 표피 깊이 하나인 층의 손실 $R_\delta I^2$에 대한 비는 다음과 같습니다.

   $$P/P_\delta = \frac{F_R}{\varphi}$$

   ✓ 재현하는 수식 wind.loss_rel (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

10. 얇은 층의 급수를 쓰면:

    $$P/P_\delta = \frac{1 - \frac{\varphi^{4}}{45} + \frac{M_\ell^{2} \varphi^{4}}{9}}{\varphi}$$

11. 도함수가 0인 곳에서 가장 작습니다.

    $$\varphi_\mathrm{opt} = \left(\frac{15}{5 M_\ell^{2} - 1}\right)^{\frac{1}{4}}$$

    ✓ 재현하는 수식 wind.phi_opt (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

12. 그곳에서 교류 저항 계수는 층 수와 관계없이 같습니다.

    $$F_R = \frac{4}{3}$$

13. 창 안의 자계는 폭 $b_w$ 방향으로 향하므로, 그 높이까지 둘러싸인 기자력을 $\mathcal{F}$라 하면 $H = \mathcal{F}/b_w$이고, 턴 길이 MLT에 걸쳐 저장되는 에너지는 다음과 같습니다.

    $$E = \frac{\mathrm{MLT} \mu_0 \int \mathcal{F}^{2}\, dy}{2 b_w}$$

14. 1차 권선 다음에 2차 권선이 있으면, 기자력은 1차 권선을 지나며 $N I$까지 선형으로 오르고, 간격에서는 그대로 유지되다가, 2차 권선을 지나며 0으로 돌아옵니다.

    $$\mathcal{F} = I N$$

15. $L_\mathrm{lk} = 2E/I^2$에서 각 권선은 높이의 1/3이, 간격은 전부가 들어갑니다.

    $$L_\mathrm{lk} = \frac{\mathrm{MLT} \mu_0 N^{2} \left(h_p + h_s + 3 h_g\right)}{3 b_w} = \frac{\mu_0 N^{2} \mathrm{MLT} \left(\frac{h_p}{3} + h_g + \frac{h_s}{3}\right)}{b_w}$$

    ✓ 재현하는 수식 xfmr.leakage.ps (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

16. 1차 권선을 2차 권선 양쪽으로 나누면, 기자력은 첫 번째 절반에서 $N I/2$까지 오르고, 2차 권선을 지나며 $N I/2$에서 $-N I/2$로 바뀐 뒤, 두 번째 절반에서 0으로 돌아옵니다.

    $$\mathcal{F} = \frac{I N}{2}$$

17. 최대 기자력이 절반이 되므로 에너지와 누설은 약 1/4로 줄고, 두 간격이 모두 들어갑니다.

    $$L_\mathrm{lk} = \frac{\mathrm{MLT} \mu_0 N^{2} \left(h_p + h_s + 6 h_g\right)}{12 b_w} = \frac{\mu_0 N^{2} \mathrm{MLT} \left(\frac{h_p}{3} + 2 h_g + \frac{h_s}{3}\right)}{4 b_w}$$

    ✓ 재현하는 수식 xfmr.leakage.psp (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

18. 각자의 인덕턴스와 둘 사이의 상호 인덕턴스 $L_{12}$를 갖는 두 결합 권선:

    $$v_1 = \frac{di_1}{dt} L_{11} + \frac{di_2}{dt} L_{12}$$

19. 권선 2에서는:

    $$v_2 = \frac{di_1}{dt} L_{12} + \frac{di_2}{dt} L_{22}$$

20. 권선 2를 단락하면 $v_2 = 0$이므로 그 전류는 권선 1의 전류와 반대로 변합니다.

    $$\frac{di_2}{dt} = - \frac{\frac{di_1}{dt} L_{12}}{L_{22}}$$

21. 그러면 권선 1이 보는 인덕턴스는 $v_1/(di_1/dt)$입니다.

    $$L_\mathrm{sc} = L_{11} - \frac{L_{12}^{2}}{L_{22}}$$

22. 결합 계수 $k = L_{12}/\sqrt{L_{11} L_{22}}$(`xfmr.k`)를 쓰면:

    $$L_\mathrm{sc} = L_{11} \left(1 - k^{2}\right)$$

    ✓ 재현하는 수식 xfmr.L_sc (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

23. 변압기 모델(1:$n$, 자화 인덕턴스 $L_M$와 누설 인덕턴스는 모두 1차 기준)에서 권선 인덕턴스는 다음과 같습니다.

    $$L_{11} = L_M + L_{\ell 1}$$

24. 상호 인덕턴스는

    $$L_{12} = L_M n$$

25. 권선 2의 인덕턴스는(누설 $L_{\ell 2} = n^2 L_{\ell 2}'$)

    $$L_{22} = n^{2} \left(L_M + L_{\ell 2}'\right)$$

26. 이를 대입하면 권선비가 소거됩니다. 1차 누설에, 2차 누설과 $L_M$의 병렬이 직렬로 더해집니다.

    $$L_\mathrm{sc} = L_{\ell 1} + \frac{L_{\ell 2}' L_M}{L_{\ell 2}' + L_M}$$

    ✓ 재현하는 수식 xfmr.L_sc_T (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

27. 권선 2를 개방하면 그 권선에는 전류가 흐르지 않으므로($di_2/dt = 0$) 두 전압의 비는 다음과 같습니다.

    $$V_2/V_1 = \frac{L_{12}}{L_{11}}$$

28. 변압기 모델에서는 1차 누설이 전압의 일부를 나누어 가지므로 권선비보다 조금 작습니다.

    $$V_2/V_1 = \frac{n L_M}{L_{\ell 1} + L_M}$$

    ✓ 재현하는 수식 xfmr.V_oc (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

유도 스크립트: python/pe_core/derive/windings.py

측정: 자기 공진 근처에서 읽히는 인덕턴스

권선은 턴 사이 커패시턴스가 병렬로 붙은 인덕턴스입니다. 임피던스 측정기는 측정한 리액턴스를 $\omega$로 나누어 인덕턴스로 표시합니다.

1. 병렬로 연결된 인덕턴스와 커패시턴스:

   $$Z = \frac{1}{i C_p \omega - \frac{i}{L \omega}}$$

2. 이는 순수 리액턴스입니다.

   $$Z = - \frac{i L \omega}{-1 + C_p L \omega^{2}}$$

3. 따라서 측정기는 $Z/(j\omega)$를 인덕턴스로 읽습니다.

   $$L_\mathrm{app} = - \frac{L}{-1 + C_p L \omega^{2}}$$

4. 자기 공진 주파수(`passive.f_srf`)로 쓰면 $\omega^2 L C_p = (f/f_\mathrm{srf})^2$입니다.

   $$f_\mathrm{srf} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{C_p} \sqrt{L}}$$

5. $\omega = 2\pi f$를 대입하면:

   $$L_\mathrm{app} = - \frac{L f_\mathrm{srf}^{2}}{f^{2} - f_\mathrm{srf}^{2}} = \frac{L}{1 - \left(\frac{f}{f_\mathrm{srf}}\right)^{2}}$$

   ✓ 재현하는 수식 meas.L_app (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

유도 스크립트: python/pe_core/derive/measurement.py

선형 전원(linear sources): 최대 전력, 정전압 추출(constant-voltage extraction), 무손실 저항

선형 에너지원은 테브난 등가회로, 즉 전원 저항 $R_s$ 뒤의 개방 전압 $V_\mathrm{oc}$로 모델링합니다. 가용 전력 중 얼마가 컨버터에 도달하는지는 컨버터 입력이 어떻게 보이는지에 달려 있습니다.

1. 부하 저항 $R_L$로 들어가는 전력.

   $$P_L = \frac{R_L V_\mathrm{oc}^{2}}{\left(R_L + R_s\right)^{2}}$$

2. $dP_L/dR_L = 0$에서 정합 부하를 얻습니다.

   $$R_L = R_s$$

3. $R_L = R_s$를 대입합니다.

   $$P_\mathrm{max} = \frac{V_\mathrm{oc}^{2}}{4 R_s}$$

   ✓ 재현하는 수식 src.Pmax (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

4. 전압 $V_c$의 정전압 싱크(예: 입력이 고정 전압에 묶인 컨버터)는 $I = (V_\mathrm{oc} - V_c)/R_s$를 끌어옵니다.

   $$I = \frac{V_\mathrm{oc} - V_c}{R_s}$$

5. 싱크가 흡수하는 전력입니다. $V_c > V_\mathrm{oc}$이면 음수이며, 이때 싱크는 전원으로 에너지를 되돌려 보냅니다.

   $$P = \frac{V_c \left(V_\mathrm{oc} - V_c\right)}{R_s}$$

   ✓ 재현하는 수식 src.cv_power (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

6. $P_\mathrm{max}$로 정규화합니다.

   $$\eta_\mathrm{ext} = \frac{4 V_c \left(V_\mathrm{oc} - V_c\right)}{V_\mathrm{oc}^{2}}$$

   ✓ 재현하는 수식 src.cv_extraction (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

7. DCM 컨버터는 입력 전압에 비례하는 평균 입력 전류를 끌어오므로, 입력이 저항 $R_\mathrm{in}$, 즉 무손실 저항으로 보이며 $R_L$ 자리에 들어갑니다.

8. 전원 저항과 $R_\mathrm{in}$이 전원 전압을 분압합니다.

   $$V_g = \frac{V_\mathrm{oc} R_\mathrm{in}}{R_s + R_\mathrm{in}}$$

   ✓ 재현하는 수식 lfr.Vg (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

9. $R_L = R_\mathrm{in}$일 때의 $P_L$을 $P_\mathrm{max}$로 정규화합니다. 전원 전압은 소거됩니다.

   $$\eta_\mathrm{ext} = \frac{4 R_s R_\mathrm{in}}{\left(R_s + R_\mathrm{in}\right)^{2}}$$

   ✓ 재현하는 수식 lfr.eta (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

10. 무손실 저항은 입력 전압이 걸린 저항과 같은 전력을 끌어옵니다.

    $$P = \frac{V_g^{2}}{R_\mathrm{in}}$$

11. $V_g$에 대해 풉니다. 전력이 클수록 입력 전압이 높아야 합니다.

    $$V_g = \sqrt{P R_\mathrm{in}}$$

    ✓ 재현하는 수식 lfr.Vg_power (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

12. DCM 플라이백의 입력 저항은 $R_\mathrm{in} = 2 L_M f_s / D^2$입니다(플라이백에서 유도).

    $$R_\mathrm{in} = \frac{2 L_M f_s}{D^{2}}$$

13. $L_M$에 대해 풀면, 원하는 $R_\mathrm{in}$(전원과 정합하려면 $R_s$)을 만드는 인덕턴스가 나옵니다.

    $$L_M = \frac{R_\mathrm{in} D^{2}}{2 f_s}$$

    ✓ 재현하는 수식 lfr.L_M (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

14. 포락선이 버스에 비해 충분히 느리면 무손실 저항은 매 순간 $\eta_\mathrm{ext} V_\mathrm{oc}^2/(4 R_s)$를 받습니다. 포락선의 반파 하나인 $V_\mathrm{oc}(t) = \hat{V}_\mathrm{oc} \sin(\pi t / T_\mathrm{env})$를 생각합니다(정류된 사인은 이를 반복합니다).

    $$P = \frac{\eta_\mathrm{ext} \hat{V}_\mathrm{oc}^{2} \sin^{2}{\left(\frac{\pi t}{T_\mathrm{env}} \right)}}{4 R_s}$$

15. 반파에 걸쳐 평균합니다. 사인의 제곱은 평균이 최댓값 제곱의 절반입니다.

    $$\bar{P} = \frac{\eta_\mathrm{ext} \hat{V}_\mathrm{oc}^{2}}{8 R_s}$$

    ✓ 재현하는 수식 lfr.P_env (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

유도 스크립트: python/pe_core/derive/harvesting.py

압전 전원(piezoelectric source): 부하와 인터페이스

진폭이 일정한 정현파 진동을 받는 압전 소자는 클램프 커패시턴스 $C_0$와 병렬인 전류원 $I_p \sin \omega t$입니다. 부하나 인터페이스가 가져가는 에너지는 반주기마다 그 전류의 전하가 어디로 가는지로 정해집니다.

1. 아무것도 연결하지 않으면 전류 전부가 $C_0$를 충전합니다: $v = \frac{1}{C_0}\int I_p \sin \omega t \, dt$.

   $$v = - \frac{I_p \cos{\left(\omega t \right)}}{C_0 \omega}$$

2. 그 진폭.

   $$V_p = \frac{I_p}{\omega C_0}$$

   ✓ 재현하는 수식 piezo.Vp (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

3. 소자 양단의 저항 $R$은 $C_0$와 전류를 나눕니다. 전압 진폭은 $I_p |R \parallel 1/(j\omega C_0)|$이고, 저항이 받는 전력은 그 제곱의 절반을 $R$로 나눈 값입니다.

   $$P = \frac{R I_p^{2}}{2 \left(1 + C_0^{2} R^{2} \omega^{2}\right)}$$

4. $dP/dR = 0$.

   $$R = \frac{1}{\omega C_0}$$

   ✓ 재현하는 수식 piezo.R_opt (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

5. 이를 대입합니다.

   $$P = \frac{I_p^{2}}{4 \omega C_0}$$

   ✓ 재현하는 수식 piezo.P_R (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

6. 전원은 변위의 두 극값 사이, 즉 반주기마다 $2 I_p/\omega$의 전하를 흘립니다.

   $$q = \frac{2 I_p}{\omega}$$

7. 전파 브리지를 거쳐 $V_\mathrm{DC}$에 연결하면, 소자 전압이 $-V_\mathrm{DC}$에서 $V_\mathrm{DC}$까지 바뀐 뒤에야 브리지가 도통하며, 이 변화에 전하 $2 C_0 V_\mathrm{DC}$가 듭니다. 나머지 전하가 $V_\mathrm{DC}$로 들어갑니다.

   $$E_{1/2} = V_\mathrm{DC} \left(- 2 C_0 V_\mathrm{DC} + \frac{2 I_p}{\omega}\right)$$

8. 단위 시간당: $\pi/\omega$마다 반주기 하나.

   $$P = \frac{2 I_p V_\mathrm{DC}}{\pi} - \frac{2 C_0 \omega V_\mathrm{DC}^{2}}{\pi} = \frac{2 V_\mathrm{DC} \left(I_p - \omega C_0 V_\mathrm{DC}\right)}{\pi}$$

   ✓ 재현하는 수식 piezo.P_std (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

9. $dP/dV_\mathrm{DC} = 0$: 개방 전압 진폭의 절반.

   $$V_\mathrm{DC} = \frac{I_p}{2 C_0 \omega}$$

10. 이를 대입합니다.

    $$P_\mathrm{std,max} = \frac{I_p^{2}}{2 \pi \omega C_0}$$

    ✓ 재현하는 수식 piezo.P_std_max (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

11. SECE는 극값 사이에서 소자를 개방해 두므로 전압이 0에서 $2 I_p/(\omega C_0)$까지 오릅니다. 극값에서 $\tfrac12 C_0 v^2$ 전부를 꺼내며, 이는 부하와 무관합니다.

    $$E_{1/2} = \frac{2 I_p^{2}}{C_0 \omega^{2}}$$

12. 단위 시간당.

    $$P = \frac{2 I_p^{2}}{\pi \omega C_0}$$

    ✓ 재현하는 수식 piezo.P_sece (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

13. 병렬 SSHI는 극값마다 소자 전압을 $\mp V_\mathrm{DC}$에서 $\pm\gamma V_\mathrm{DC}$로 반전시키므로, 반대쪽 레일까지의 변화에는 $(1 - \gamma) C_0 V_\mathrm{DC}$만 듭니다.

    $$E_{1/2} = V_\mathrm{DC} \left(- C_0 V_\mathrm{DC} \left(1 - \gamma\right) + \frac{2 I_p}{\omega}\right)$$

14. 단위 시간당.

    $$P = \frac{2 I_p V_\mathrm{DC}}{\pi} - \frac{C_0 \omega V_\mathrm{DC}^{2}}{\pi} + \frac{C_0 \gamma \omega V_\mathrm{DC}^{2}}{\pi} = \frac{2 V_\mathrm{DC} \left(I_p - \frac{\omega C_0 V_\mathrm{DC} \left(1 - \gamma\right)}{2}\right)}{\pi}$$

    ✓ 재현하는 수식 piezo.P_sshi (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

15. $dP/dV_\mathrm{DC} = 0$.

    $$V_\mathrm{DC} = \frac{I_p}{C_0 \omega \left(1 - \gamma\right)}$$

16. 이를 대입합니다.

    $$P_\mathrm{SSHI,max} = \frac{I_p^{2}}{\pi \omega C_0 \left(1 - \gamma\right)}$$

    ✓ 재현하는 수식 piezo.P_sshi_max (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

유도 스크립트: python/pe_core/derive/piezo.py

전류 출력형 션트 모니터

전류 출력형 하이사이드 모니터는 션트 양단의 작은 전압을 전류로 바꾸고, 출력 저항이 이를 다시 접지 기준 전압으로 바꿉니다.

1. 션트 양단의 옴의 법칙입니다. 이 전압은 신호이면서, 션트가 측정 대상 회로에서 빼앗는 전압이기도 합니다.

   $$V_\mathrm{SENSE} = I_\mathrm{SENSE} R_\mathrm{SENSE}$$

   ✓ 재현하는 수식 sense.burden (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

2. 이상적 증폭기는 같은 전압을 $R_\mathrm{IN}$ 양단에 걸므로, $R_\mathrm{IN}$을 흐르는 전류는 $V_\mathrm{SENSE}/R_\mathrm{IN}$입니다.

   $$I_\mathrm{OUT} = \frac{V_\mathrm{SENSE}}{R_\mathrm{IN}}$$

3. 그 전류가 $R_\mathrm{OUT}$으로 흘러 나가므로 $V_\mathrm{OUT} = I_\mathrm{OUT} R_\mathrm{OUT}$입니다.

   $$V_\mathrm{OUT} = \frac{I_\mathrm{SENSE} R_\mathrm{SENSE} R_\mathrm{OUT}}{R_\mathrm{IN}}$$

   ✓ 재현하는 수식 sense.current_out_monitor (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

4. 전압 출력형 증폭기는 센스 전압에 고정 이득 $G$를 곱하고, 전류가 0일 때의 출력을 정하는 REF 핀 전압을 더합니다.

   $$V_\mathrm{OUT} = G I_\mathrm{SENSE} R_\mathrm{SENSE} + V_\mathrm{REF}$$

   ✓ 재현하는 수식 sense.voltage_out_monitor (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

5. 입력 오프셋 전압은 센스 전압에 그대로 더해지므로, 두 증폭기 모두 출력이 나타내는 전류는 다음과 같습니다.

   $$I_\mathrm{meas} = \frac{V_\mathrm{OS} + I_\mathrm{SENSE} R_\mathrm{SENSE}}{R_\mathrm{SENSE}}$$

6. 측정값은 전류와 관계없이 오프셋을 센스 저항으로 나눈 만큼 실제 전류보다 큽니다.

   $$I_\mathrm{OS,eq} = \frac{V_\mathrm{OS}}{R_\mathrm{SENSE}}$$

   ✓ 재현하는 수식 sense.offset_current (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

7. 켈빈 연결이 없으면 센스 연결점이 패드와 납땜부 너머에 있고, 그 저항 $R_\mathrm{pad}$에도 같은 전류가 흐릅니다. $R_\mathrm{SENSE}$로 환산한 측정값은 다음과 같습니다.

   $$I_\mathrm{meas} = \frac{I_\mathrm{SENSE} \left(R_\mathrm{SENSE} + R_\mathrm{pad}\right)}{R_\mathrm{SENSE}}$$

8. 상대 오차는 전류와 무관하며, 션트가 작을수록 커집니다.

   $$\varepsilon_\mathrm{pad} = \frac{R_\mathrm{pad}}{R_\mathrm{SENSE}}$$

   ✓ 재현하는 수식 sense.pad_error (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

9. 둘이 함께 있으면 증폭기는 $I_\mathrm{SENSE} (R_\mathrm{SENSE} + R_\mathrm{pad}) + V_\mathrm{OS}$를 보고 이를 $R_\mathrm{SENSE}$에 흐르는 전류로 읽습니다. 출력은 이 전류를 출력 식에 넣은 값이며, 출력을 높이는 부호의 오프셋이 출력의 상한을, 반대 부호의 오프셋이 하한을 줍니다.

   $$I_\mathrm{meas} = \frac{V_\mathrm{OS} + I_\mathrm{SENSE} \left(R_\mathrm{SENSE} + R_\mathrm{pad}\right)}{R_\mathrm{SENSE}} = \frac{I_\mathrm{SENSE} \left(R_\mathrm{SENSE} + R_\mathrm{pad}\right)}{R_\mathrm{SENSE}} + \frac{V_\mathrm{OS}}{R_\mathrm{SENSE}}$$

   ✓ 재현하는 수식 sense.reading (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

10. 상대 오차는 교차 항 없이 두 몫의 합입니다. 오프셋의 몫은 $1/I_\mathrm{SENSE}$에 비례해 줄고, 패드의 몫은 그대로입니다.

    $$\varepsilon_I = \frac{V_\mathrm{OS} + I_\mathrm{SENSE} R_\mathrm{pad}}{I_\mathrm{SENSE} R_\mathrm{SENSE}} = \frac{V_\mathrm{OS}}{I_\mathrm{SENSE} R_\mathrm{SENSE}} + \frac{R_\mathrm{pad}}{R_\mathrm{SENSE}}$$

    ✓ 재현하는 수식 sense.rel_error (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

11. 전류 출력형 증폭기는 노드 A에서 전류 $I_\mathrm{OUT}$을 $R_\mathrm{OUT}$으로 흘립니다. 그 뒤에 R-C 필터가 이어집니다. $R_f$는 노드 A와 노드 B 사이에, $C_f$는 노드 B와 접지 사이에 있고, 노드 B에는 다른 부하가 없습니다. 노드 A의 전류 평형(라플라스 영역)은 다음과 같습니다.

    $$I_\mathrm{OUT} = \frac{V_A - V_B}{R_f} + \frac{V_A}{R_\mathrm{OUT}}$$

12. 노드 B에서는 다음과 같습니다.

    $$\frac{V_A - V_B}{R_f} = V_B s C_f$$

13. 커패시터 전압에 대해 풀면 극점이 하나이며, 직류에서 출력은 그대로 $I_\mathrm{OUT} R_\mathrm{OUT}$입니다.

    $$\frac{V_B}{I_\mathrm{OUT}} = \frac{R_\mathrm{OUT}}{1 + s C_f R_\mathrm{OUT} + s C_f R_f}$$

14. 그 극점의 시정수는 $C_f (R_\mathrm{OUT} + R_f)$입니다. 커패시터는 $R_f$와 직렬인 $R_\mathrm{OUT}$을 봅니다. $R_\mathrm{OUT}$은 자신이 부하로 걸린 전류원의 테브난 저항입니다.

    $$R_\mathrm{filt} = R_\mathrm{OUT} + R_f$$

    ✓ 재현하는 수식 sense.filter_R (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

유도 스크립트: python/pe_core/derive/sensing.py

벤치: 에지, 게이트 구동, 상승 시간, 돌입 전류, 열, 배터리 단자

인덕터와 커패시터의 법칙, 1차 회로의 계단 응답, 게이트 저항 양단의 옴의 법칙, 직렬 열 경로, Rint 배터리 모델에서 나오는 결과를 벤치에서 쓰는 형태로 정리합니다.

1. 인덕턴스 양단 전압은 전류의 변화율에 비례합니다.

   $$v = L_\mathrm{loop} \frac{d}{d t} i{\left(t \right)}$$

2. 에지 $t_\mathrm{edge}$ 동안 $\Delta I$만큼 선형으로 변하는 전류는 일정한 속도로 변합니다.

   $$\frac{d}{d t} i{\left(t \right)} = \frac{\Delta I}{t_\mathrm{edge}}$$

3. 따라서 에지 동안 루프 인덕턴스에 걸리는 전압은 다음과 같습니다.

   $$V_\mathrm{spike} = \frac{L_\mathrm{loop} \Delta I}{t_\mathrm{edge}}$$

   ✓ 재현하는 수식 layout.v_spike (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

4. 턴오프 에지 뒤에 루프 인덕턴스는 스위치 노드 커패시턴스와 직렬 L-C를 이루어 다음 주파수로 링잉합니다.

   $$f_\mathrm{ring} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{C_\mathrm{node}} \sqrt{L_\mathrm{loop}}}$$

5. 따라서 링잉 주파수에서 루프 인덕턴스를 구할 수 있습니다.

   $$L_\mathrm{loop} = \frac{1}{4 \pi^{2} f_\mathrm{ring}^{2} C_\mathrm{node}}$$

   ✓ 재현하는 수식 layout.L_ring (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

6. 드레인 전압이 바뀌는 동안 게이트는 플래토 전압 $V_\mathrm{pl}$에 머뭅니다. 드라이버는 게이트 루프 저항 $R_G$ 뒤에서 출력을 $V_\mathrm{GS}$(턴온) 또는 0(턴오프)으로 바꾸므로, 옴의 법칙에 따라 그동안 게이트 전류는 일정합니다.

7. 턴온 때

   $$I_G = \frac{V_\mathrm{GS} - V_\mathrm{pl}}{R_G}$$

   ✓ 재현하는 수식 gate.I_on (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

8. 턴오프 때

   $$I_G = \frac{V_\mathrm{pl}}{R_G}$$

   ✓ 재현하는 수식 gate.I_off (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

9. 일정한 전류는 일정한 속도로 전하를 전달합니다.

   $$q = I_G t$$

10. 따라서 게이트가 게이트-드레인 전하 $Q_\mathrm{GD}$를 받는 플래토는 다음 시간 동안 지속됩니다.

    $$t_\mathrm{pl} = \frac{Q_\mathrm{GD}}{I_G}$$

    ✓ 재현하는 수식 gate.t_pl (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

11. 커패시터의 전하는 커패시턴스와 전압의 곱이므로, 전하 $Q_\mathrm{boot}$를 공급하면 전압이 다음만큼 떨어집니다.

    $$\Delta V_\mathrm{boot} = \frac{Q_\mathrm{boot}}{C_\mathrm{boot}}$$

12. 강하가 $\Delta V_\mathrm{boot}$ 이하가 되려면 커패시턴스는 적어도 다음 값이어야 합니다.

    $$C_\mathrm{boot} = \frac{Q_\mathrm{boot}}{\Delta V_\mathrm{boot}}$$

    ✓ 재현하는 수식 boot.C (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

13. 단일 극점 시스템은 단위 계단 입력에 다음과 같이 응답합니다.

    $$y = 1 - e^{- \frac{t}{\tau}}$$

14. 최종값의 10 %와 90 %에 도달하는 시각은 각각 다음과 같습니다.

    $$\left( t_{10} = \tau \ln{\left(\frac{10}{9} \right)}, \ t_{90} = \tau \ln{\left(10 \right)}\right)$$

15. 따라서 10-90 % 상승 시간은 다음과 같습니다.

    $$t_\mathrm{rise} = 2 \tau \ln{\left(3 \right)}$$

16. -3 dB 대역폭은 같은 극점의 차단 주파수입니다.

    $$f_\mathrm{BW} = \frac{1}{2 \pi \tau}$$

17. $\tau$를 소거하면:

    $$t_\mathrm{rise} = \frac{\ln{\left(3 \right)}}{\pi f_\mathrm{BW}} = \frac{\ln{\left(9 \right)}}{2 \pi f_\mathrm{BW}}$$

    ✓ 재현하는 수식 probe.t_rise (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

18. 팁과 접지가 이루는 루프의 인덕턴스와 프로브 입력 커패시턴스는 직렬 L-C를 이룹니다. 손실이 없으면 전류 $i$는 다음 식을 따릅니다.

    $$L_\mathrm{gnd} \frac{d^{2}}{d t^{2}} i{\left(t \right)} + \frac{i{\left(t \right)}}{C_\mathrm{probe}} = 0$$

19. 그 해는 다음 각주파수로 링잉합니다.

    $$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{C_\mathrm{probe}} \sqrt{L_\mathrm{gnd}}}$$

20. 주파수로 나타내면 다음과 같습니다.

    $$f_\mathrm{probe} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L_\mathrm{gnd} C_\mathrm{probe}}}$$

    ✓ 재현하는 수식 probe.f_ring (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

21. 빈 커패시터가 직렬 저항을 통해 계단 전압 $V_g$에 연결되면 다음 전류로 충전됩니다.

    $$i = \frac{V_g e^{- \frac{t}{C_\mathrm{in} R_\mathrm{ser}}}}{R_\mathrm{ser}}$$

22. 이 전류는 커패시터 전압이 0인 계단 순간에 가장 큽니다.

    $$I_\mathrm{inrush} = \frac{V_g}{R_\mathrm{ser}}$$

    ✓ 재현하는 수식 inrush.I_pk (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

23. 펄스 전체에 걸친 전류 제곱의 적분은 다음과 같습니다.

    $$I^2 t = \frac{V_g^{2} C_\mathrm{in}}{2 R_\mathrm{ser}}$$

    ✓ 재현하는 수식 inrush.I2t (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

24. 커패시터 전류는 커패시턴스와 전압 변화율의 곱입니다.

    $$i = C_\mathrm{in} \frac{d}{d t} v{\left(t \right)}$$

25. 따라서 전압을 $t_\mathrm{ramp}$ 동안 0에서 $V_g$까지 선형으로 올리면 일정한 전류가 흐릅니다.

    $$I_\mathrm{ramp} = \frac{C_\mathrm{in} V_g}{t_\mathrm{ramp}}$$

    ✓ 재현하는 수식 inrush.I_ramp (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

26. 열저항은 열 경로의 한 부분 양단 온도 차를 그 부분을 지나는 전력 1 W당으로 나타낸 값입니다. 소자의 전력 전부가 접합에서 케이스로, 케이스에서 방열판으로, 방열판에서 주위로 차례로 흐르면 다음이 성립합니다.

    $$\left( T_J - T_C = P_D \theta_\mathrm{JC}, \ T_C - T_S = P_D \theta_\mathrm{CS}, \ T_S - T_A = P_D \theta_\mathrm{SA}\right)$$

27. 주위 온도에서부터 온도 상승분을 더하면 다음과 같습니다.

    $$T_J = T_A + P_D \left(\theta_\mathrm{JC} + \theta_\mathrm{CS} + \theta_\mathrm{SA}\right)$$

    ✓ 재현하는 수식 therm.Tj (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

28. Rint 모델은 내부 저항 뒤의 개방 전압입니다. 충전 전류는 저항을 거쳐 양극 단자로 들어갑니다(`bat.rint`).

    $$I_b = \frac{V - V_b}{R_b}$$

29. 따라서 단자 전압은 다음과 같습니다.

    $$V = V_b + I_b R_b$$

    ✓ 재현하는 수식 bat.v_term (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

유도 스크립트: python/pe_core/derive/bench.py

시뮬레이션: 회로를 한 타임 스텝(time step)씩 계산하기와 정착에 걸리는 시간

시뮬레이터는 회로의 상태를 한 타임 스텝씩 계산합니다. 한 스텝 안에서 스위칭 컨버터는 전원이 일정한 선형 회로이며, 1차 회로의 예에서 보듯 이런 회로는 한 스텝을 정확히 계산할 수 있습니다. 흔히 쓰는 적분 규칙들은 감쇠 모드 하나, 곧 시험 방정식(test equation)으로 비교합니다. 이 방정식에서 각 규칙은 스텝마다 편차에 일정한 배율을 곱합니다. 끝으로 출력 필터 링잉의 포락선을 이용해, 정지 상태에서 시작한 시뮬레이션을 몇 스위칭 주기 동안 실행해야 마지막 주기들이 정상상태를 보여 주는지 구합니다.

1. 한 스텝 안에서 회로는 선형이고 전원은 일정합니다. 그러면 저항을 통해 충전되는 커패시터는 남은 전압 차에 비례하고 시정수 $\tau$에 반비례하는 속도로 전압 $v_\infty$에 다가갑니다.

   $$\frac{d}{d t} v{\left(t \right)} = \frac{v_\infty - v{\left(t \right)}}{\tau}$$

2. 스텝이 시작할 때의 전압 $v_0$을 초기값으로 풉니다.

   $$v{\left(t \right)} = v_\infty + \left(v_0 - v_\infty\right) e^{- \frac{t}{\tau}}$$

3. 스텝이 끝나는 $t = \Delta t$에서의 값입니다. 근사한 것이 없으므로 스텝을 그 구간 전체만큼 길게 잡아도 됩니다.

   $$v_1 = v_\infty + \left(v_0 - v_\infty\right) e^{- \frac{\Delta t}{\tau}}$$

   ✓ 재현하는 수식 sim.exact_step (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

4. 흔히 쓰는 규칙들을 감쇠 모드 하나만 떼어 비교합니다. 이 모드는 회로가 향하는 값에서 벗어난 편차 $x$이며, $-x/\tau$의 속도로 변합니다(시험 방정식). $\Delta t$ 동안 편차를 $x_0$에서 $x_1$로 계산하는 규칙은 매 스텝 편차에 배율 $g = x_1/x_0$를 곱합니다.

   $$\frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = - \frac{x{\left(t \right)}}{\tau}$$

5. 전진 오일러(forward Euler)는 스텝 시작점의 기울기를 씁니다.

   $$x_1 = x_0 - \frac{x_0 \Delta t}{\tau}$$

6. 스텝당 배율은 다음과 같습니다.

   $$g_\mathrm{FE} = 1 - \frac{\Delta t}{\tau}$$

   ✓ 재현하는 수식 num.gain_fe (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

7. 사다리꼴 규칙(trapezoidal rule)은 스텝 양 끝의 기울기를 평균하므로 $x_1$이 양변에 나타납니다.

   $$x_1 = x_0 + \frac{\Delta t \left(- \frac{x_0}{\tau} - \frac{x_1}{\tau}\right)}{2}$$

8. $x_1$에 대해 풀고 $x_0$으로 나눕니다.

   $$g_\mathrm{TR} = - \frac{\Delta t - 2 \tau}{\Delta t + 2 \tau} = \frac{1 - \frac{\Delta t}{2 \tau}}{1 + \frac{\Delta t}{2 \tau}}$$

   ✓ 재현하는 수식 num.gain_tr (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

9. 후진 오일러(backward Euler)는 스텝 끝점의 기울기를 씁니다.

   $$x_1 = x_0 - \frac{x_1 \Delta t}{\tau}$$

10. 스텝당 배율은 다음과 같습니다.

    $$g_\mathrm{BE} = \frac{\tau}{\Delta t + \tau} = \frac{1}{1 + \frac{\Delta t}{\tau}}$$

    ✓ 재현하는 수식 num.gain_be (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

11. 스텝이 $\tau$보다 훨씬 긴 강성(stiff) 모드에서는 정확한 배율 $e^{-\Delta t/\tau}$가 거의 0입니다. 이때 전진 오일러의 배율은 한없이 커지고, 사다리꼴 규칙의 배율은 $-1$에 가까워져 모드가 크기를 유지한 채 매 스텝 부호만 바뀌며, 후진 오일러의 배율은 정확한 배율처럼 0에 가까워집니다.

    $$\left( \lim_{\Delta t \to \infty}\left(- \frac{\Delta t - 2 \tau}{\Delta t + 2 \tau}\right) = -1, \ \lim_{\Delta t \to \infty}\left(\frac{\tau}{\Delta t + \tau}\right) = 0\right)$$

12. 후진 오일러는 인덕터 전류를 스텝 끝점의 기울기, 곧 인덕터 전압 $v_{L,1}$을 인덕턴스로 나눈 값으로 계산합니다.

    $$i_1 = i_0 + \frac{v_{L,1} \Delta t}{L}$$

13. 다이오드가 꺼지기 전에 다이오드 전류가 0을 지나 $-I_\mathrm{os}$까지 내려갔습니다. 이 전류가 흐를 다른 경로가 없으면 다음 스텝은 전류가 0인 상태로 끝나야 합니다.

    $$0 = - I_\mathrm{os} + \frac{v_{L,1} \Delta t}{L}$$

14. 그 스텝에서 인덕터에 걸리는 전압에 대해 풉니다.

    $$v_\mathrm{jump} = \frac{L I_\mathrm{os}}{\Delta t}$$

    ✓ 재현하는 수식 sim.step_jump (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

15. 이상적인 부품으로 된 벅을 생각합니다. 전원을 끄면(전압원은 단락) 필터의 인덕턴스와 커패시턴스, 부하 저항이 병렬이 됩니다. 이 병렬 RLC 회로의 자연 응답은 $e^{st}$ 꼴이며, $s$는 특성 방정식의 근입니다.

    $$\frac{1}{C L} + \frac{s}{C R} + s^{2} = 0$$

16. 필터가 링잉할 때 두 근은 켤레 복소수입니다. 두 근의 합의 절반인 공통 실수부가 $-\alpha$이며, $\alpha$는 링잉 포락선의 감쇠율, 곧 네퍼 주파수(neper frequency)입니다.

    $$\alpha = \frac{1}{2 C R}$$

17. 포락선은 $e^{-\alpha t}$로 감쇠하며, 시정수는 인덕턴스와 관계없이 $1/\alpha$입니다(이상적인 부품에서).

    $$\tau_\mathrm{env} = 2 R C$$

    ✓ 재현하는 수식 filter.tau_env (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

18. 정지 상태에서 시작한 시뮬레이션은 처음 오차가 정상상태 값만큼 큽니다. $N$ 스위칭 주기 뒤에는 이 오차가 처음 값의 $\varepsilon_r$배로 줄어듭니다.

    $$\varepsilon_r = e^{- \frac{N T_s}{\tau_\mathrm{env}}}$$

19. $N$에 대해 풉니다.

    $$N_\mathrm{set} = - \frac{\tau_\mathrm{env} \ln{\left(\varepsilon_r \right)}}{T_s} = \frac{\tau_\mathrm{env} \ln{\left(\frac{1}{\varepsilon_r} \right)}}{T_s}$$

    ✓ 재현하는 수식 sim.periods_settle (pytest가 sympy로 일치를 검증함)

유도 스크립트: python/pe_core/derive/numerics.py