M3 · 부스트의 우반평면 영점 찾기

목표

• 부스트의 듀티비를 계단처럼 바꾸면 출력이 먼저 반대 방향으로 움직이는 이유를 자신의 말로 설명합니다.
• 부스트 예제의 우반평면 영점(right-half-plane zero, RHP zero)과 이중 극점(double pole)을 계산합니다.
• 영점이 부하와 듀티비에 따라 어떻게 움직이는지, 그리고 어느 동작점이 피드백 루프의 크로스오버 주파수(crossover frequency)를 제한하는지 찾습니다.

시작하기 전에

• 우반평면(RHP) 영점과 소신호 모델을 읽습니다.
• 식은 각주파수를 rad/s로 줍니다. 헤르츠로 바꾸려면 $2\pi$로 나눕니다.

단계

1. 물리적인 그림

$D$가 계단처럼 커진 직후, 인덕터 전류가 커질 틈도 없이 다이오드의 도통 시간이 짧아져 출력으로 가는 평균 전류가 줄어드는 과정을 읽습니다. 이를 두 문장으로 적습니다. 그런 다음 벅에는 이런 영점이 없는 이유를 말합니다. 벅의 인덕터는 두 구간 모두에서 출력에 전류를 보내기 때문입니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8].

2. 예제의 영점과 극점

부스트 예제는 $V_g$ = 12 V, $D$ = 0.5, $L$ = 100 µH, $C$ = 10 µF, $R$ = 20 Ω입니다. 영점(부스트의 RHP 영점)과 이중 극점 (부스트의 이중 극점)을 계산해 둘 다 아래에 입력합니다.

3. 영점의 움직임

수식 탐색기에서 영점을 열고 더 무거운 부하 쪽으로 $R$을 바꿔 본 다음, $R$을 되돌리고 $D$를 바꿔 봅니다.

▶ 수식 탐색기에서 열기: 부스트: 우반평면(RHP) 영점
초기값을 가져온 예제 boost-basic

4. 벅-부스트

벅-부스트에도 같은 종류의 영점이 있습니다 (벅-부스트의 RHP 영점). 같은 듀티비의 벅-부스트 예제에 대해 계산해 아래에 입력합니다.

5. 루프를 제한하는 동작점

부하와 입력 전압의 범위에서 영점은 가장 무거운 부하와 가장 큰 듀티비, 곧 가장 낮은 입력 전압에서 가장 낮습니다. 루프의 크로스오버 주파수는 그 가장 낮은 영점보다 충분히 아래에 있어야 합니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8]. 예제에서 그 지점이 동작 범위의 어느 코너인지, 그리고 정격 동작점에서 설계하면 쓸 수 있는 크로스오버를 과대평가하게 되는 이유를 말합니다.

완료 기준

• $D$의 계단 변화가 부스트의 출력을 먼저 낮추는 이유와, 벅에는 그런 영점이 없는 이유를 두 문장으로.
• 부스트 예제의 RHP 영점 $\omega_z$.
  내 값 (rad/s)확인
  예제의 값 보기

  50 krad/s (출처 boost-basic: 부스트 예제)

• 그 이중 극점 $\omega_0$.
  내 값 (rad/s)확인
  예제의 값 보기

  15.81 krad/s (출처 boost-basic: 부스트 예제)

• 수식 탐색기에서: $R$을 절반으로 하면 $\omega_z$도 절반이 되고, $D$가 커지면 낮아집니다.
• 벅-부스트 예제의 RHP 영점.
  내 값 (rad/s)확인
  예제의 값 보기

  50 krad/s (출처 buckboost-basic: 벅-부스트 예제)

• 가장 낮은 영점을 정하는 동작점과, 크로스오버가 그보다 충분히 아래여야 하는 이유.

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주의할 점

• $\omega_z$의 단위는 rad/s입니다. 이를 헤르츠로 착각하면 크로스오버 한계를 여섯 배 넘게 높게 잡게 됩니다.
• 영점은 동작점에 따라 움직입니다. 최악 조건은 정격 동작점이 아니라, 가장 낮은 입력 전압에서의 가장 무거운 부하입니다.
• 보상기(compensator)는 RHP 영점을 상쇄할 수 없습니다. 그러려면 우반평면에 극점이 있어야 하는데, 이는 불안정합니다 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8].

더 알아보기

• 도서 챕터 Converter Transfer Functions (Ch. 8) — R. W. Erickson, D. Maksimović · 확인일 2026-09-23
  제어-출력 전달함수의 보드 선도와 부스트·벅-부스트의 우반평면 영점.
• 강좌 Converter Control — University of Colorado Boulder (Coursera) · 확인일 2026-09-23
  평균 소신호 모델, 컨버터 전달함수, 피드백 루프 설계.

퀴즈

1. 부스트의 듀티비를 계단처럼 키운 직후 출력 전압은 어떻게 됩니까?

   1. 곧바로 오릅니다
   2. 잠깐 떨어졌다가 새 값으로 오릅니다
   3. 인덕터가 포화될 때까지 그대로입니다
   4. 스위칭 주파수로 진동합니다
   정답과 해설

   정답: B 인덕터 전류가 커지기 전에 다이오드가 주기의 더 짧은 부분 동안만 도통하므로, 출력으로 가는 평균 전류가 먼저 줄어듭니다. 이것이 우반평면 영점의 효과입니다.

2. $D$ = 0.5, $R$ = 40 Ω, $L$ = 200 µH인 부스트의 RHP 영점, $(1-D)^2 R / L$은 얼마입니까?

   1. 50 krad/s
   2. 200 krad/s
   3. 100 krad/s
   4. 12.5 krad/s
   정답과 해설

   정답: A 0.25 × 40 Ω = 10 Ω이고, 이를 200 µH로 나누면 50 000 rad/s, 약 8 kHz입니다.

3. 그 부스트의 부하 전류가 두 배가 됩니다($R$이 절반). 영점은 어떻게 됩니까?

   1. 두 배가 됩니다
   2. 절반이 됩니다
   3. 그대로입니다
   4. 좌반평면으로 옮겨 갑니다
   정답과 해설

   정답: B 영점은 $R$에 비례합니다. 무거운 부하가 영점을 끌어내리므로 전부하가 최악 조건입니다.

4. 출력을 레귤레이션하는 부스트에서 가장 낮은 RHP 영점을 정하는 동작점은 어디입니까?

   1. 가장 높은 입력 전압에서의 경부하
   2. 가장 낮은 입력 전압에서의 전부하
   3. 가장 낮은 입력 전압에서의 경부하
   4. 가장 높은 입력 전압에서의 전부하
   정답과 해설

   정답: B 영점은 $R$이 작을수록(무거운 부하), $D$가 클수록 낮아지며, 레귤레이션하는 부스트는 가장 낮은 입력 전압에서 가장 큰 $D$가 필요합니다.

5. 보상기가 같은 위치의 극점으로 RHP 영점을 상쇄할 수 없는 이유는 무엇입니까?

   1. 그 극점이 우반평면에 있어야 하므로 불안정합니다
   2. 스위칭 주파수보다 높은 곳에는 극점을 둘 수 없습니다
   3. 영점이 실수가 아닙니다
   4. 극점이 루프를 너무 느리게 만듭니다
   정답과 해설

   정답: A $+\omega_z$의 영점을 상쇄하려면 $+\omega_z$에 극점이 필요하고, 이는 루프 안의 불안정한 극점입니다.