电路定律与储能

目标

• 对开关电路（switched circuit）逐个区间应用基尔霍夫电流定律和电压定律（Kirchhoff’s current and voltage laws）。
• 计算在恒定电压或电流作用下，电感电流和电容电压的变化量。
• 解释电感电流和电容电压为何不能瞬间改变，以及这对开关意味着什么。

理论

基尔霍夫定律

流入一个节点（node）的电流之和为零（基尔霍夫电流定律），沿闭合回路（loop）的电压之和为零（基尔霍夫电压定律）[Alexander & Sadiku 2017, Ch. 2]。开关变换器在开关周期（switching period）的每个区间内都是一个不同的线性电路。在一个区间内，两条定律都成立，而下面的元件特性方程（element law）把各个区间衔接起来 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 2]。

恒定电压作用下的电感

电感两端的电压等于其电感量乘以其电流的变化率 [Alexander & Sadiku 2017, Ch. 6]。两端电压恒定时，电流随时间线性变化：

$$\Delta i = \frac{V_L t}{L}$$

$\Delta i$

电感电流变化量

$L$

电感

$V_L$

电感电压

$t$

持续时间

恒定电压下电感电流的变化量✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 理想（无损）开关器件与无源元件
• 区间 t 内电压（电感）或电流（电容）恒定

备注

对电感的伏安关系积分所得；电压恒定时电流线性变化。这是完整的变化量，而不是变换器各页中表示纹波峰峰值一半的 $\Delta i_L$

出处

Alexander & Sadiku 2017, Ch. 6 (Capacitors and Inductors)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

ind.di · equations.yaml 条目

这是该区间内的全部变化量；变换器各页使用纹波峰峰值的一半（half-ripple）$\Delta i_L$，即峰峰值（peak-to-peak）变化量的一半（Erickson 的约定）。

恒定电流作用下的电容

对偶（dual）的定律是：流入电容的电流等于其电容量乘以其电压的变化率，因此恒定电流使电压线性变化 [Alexander & Sadiku 2017, Ch. 6]：

$$\Delta v_C = \frac{I_C t}{C}$$

$\Delta v_C$

电容电压变化量

$C$

电容（输出电容）

$I_C$

电容电流

$t$

持续时间

恒定电流下电容电压的变化量✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 理想（无损）开关器件与无源元件
• 区间 t 内电压（电感）或电流（电容）恒定

备注

对电容的伏安关系积分所得，它与电感的伏安关系互为对偶

出处

Alexander & Sadiku 2017, Ch. 6 (Capacitors and Inductors)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

cap.dv · equations.yaml 条目

储能

电感把能量储存在磁场（magnetic field）中，电容把能量储存在电场（electric field）中 [Alexander & Sadiku 2017, Ch. 6]：

$$E_L = \frac{L I_L^{2}}{2}$$

$E_L$

电感储能

$I_L$

电感直流电流

$L$

电感

电感储存的能量✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 理想（无损）开关器件与无源元件
• 线性（未饱和）磁性材料

出处

Alexander & Sadiku 2017, Ch. 6 (Capacitors and Inductors)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

ind.E · equations.yaml 条目

$$E_C = \frac{C V_C^{2}}{2}$$

$E_C$

电容储能

$C$

电容（输出电容）

$V_C$

电容电压

电容储存的能量✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 理想（无损）开关器件与无源元件

出处

Alexander & Sadiku 2017, Ch. 6 (Capacitors and Inductors)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

cap.E · equations.yaml 条目

电感电流和电容电压不能瞬间改变：跳变意味着储能（stored energy）在零时间内发生变化 [Alexander & Sadiku 2017, Ch. 6]。因此，晶体管关断时，电感电流必须继续流向某处，变换器通过二极管或第二个开关管为它提供通路 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 4]。在稳态（steady state）下，电流还会在每个周期结束时回到起始值，这就是伏秒平衡（volt-second balance）。

例题

一个示例电感和一个示例电容，各自受恒定激励：

电感与电容示例

符号	数值	求法
$V_L$ 电感电压	12 V	已知
$t$ 持续时间	5 µs	已知
$L$ 电感	100 µH	已知
$I_C$ 电容电流	1.2 A	已知
$C$ 电容（输出电容）	10 µF	已知
$I_L$ 电感直流电流	2 A	已知
$V_C$ 电容电压	12 V	已知
$\Delta i$ 电感电流变化量	600 mA	恒定电压下电感电流的变化量
$\Delta v_C$ 电容电压变化量	600 mV	恒定电流下电容电压的变化量
$E_L$ 电感储能	200 µJ	电感储存的能量
$E_C$ 电容储能	720 µJ	电容储存的能量

在该区间内，电感电流上升 600 mA，电容电压上升 600 mV。在给定电流下，电感储存 200 µJ；在给定电压下，电容储存 720 µJ。

动手试试

▶ 在公式浏览器中打开：恒定电压下电感电流的变化量
预设取自例题 lc-elements

在对数范围内扫描（sweep）$L$：电流变化量与电感量成反比地减小。这就是在电压和开关频率（switching frequency）相同时，电感越大电流纹波（current ripple）越小的原因。

实验练习

用函数发生器（function generator）输出的方波（square wave）驱动电阻与电感的串联电路，方波周期远小于电感量除以电阻。这时用电流探头（current probe）观察到的电感电流接近三角波：在每个半周期内，电感两端的电压几乎恒定。测量每段斜坡（ramp）的斜率，并与电感方程在实测电感两端电压下给出的值比较。用电容代替电感，使周期远小于电阻与电容量之积，对电容两端的电压重复上述测量。

易错点

• 纹波峰峰值的一半就是一半。本页的变化量是区间内的全部变化量；变换器各页的 $\Delta i_L$ 是纹波峰峰值的一半。混用两种约定会使结果加倍或减半。
• 不要让电感电流失去通路。电感电流不能瞬间停止 [Alexander & Sadiku 2017, Ch. 6]，因此断开唯一的通路会迫使开关两端出现很高的电压，直到有元件导通（conduction）为止。
• 已放电的电容接到低内阻电源（stiff source）上会产生浪涌电流（surge）。电容电压不能突变 [Alexander & Sadiku 2017, Ch. 6]，因此把它直接接到电压源上时，电流只受回路中电阻的限制。

延伸阅读

• 课程 6.002 Circuits and Electronics (Spring 2007) — A. Agarwal, MIT OpenCourseWare (course content by A. Agarwal and J. H. Lang) · 访问于 2026-09-23
  MIT 的第一门电路课程，含视频讲座、讲义和习题。
• 讲义 6.002 Lecture Notes — A. Agarwal, MIT OpenCourseWare · 访问于 2026-09-23
  逐讲编写的讲义（取自 2000 年秋季学期），涵盖电路定律、储能元件和正弦稳态。

测验

1. 一个 $100\,\mu\mathrm{H}$ 电感两端在 $4\,\mu\mathrm{s}$ 内加有恒定的 $5\,\mathrm{V}$ 电压。其电流变化多少？

   1. $0.02\,\mathrm{A}$
   2. $0.2\,\mathrm{A}$
   3. $2\,\mathrm{A}$
   4. $20\,\mathrm{A}$
   答案与解析

   正确答案：B 电流以电压除以电感量所得的变化率 $5 \times 10^4\,\mathrm{A/s}$ 变化，持续 $4\,\mu\mathrm{s}$。

2. 用恒定的 $2\,\mathrm{mA}$ 电流给 $10\,\mu\mathrm{F}$ 电容充电 $1\,\mathrm{ms}$。其电压上升多少？

   1. $0.02\,\mathrm{V}$
   2. $0.2\,\mathrm{V}$
   3. $2\,\mathrm{V}$
   4. $20\,\mathrm{V}$
   答案与解析

   正确答案：B 送入的电荷等于电流乘以时间，即 $2\,\mu\mathrm{C}$；除以电容量即得电压变化量。

3. $1\,\mathrm{mH}$ 电感在 $3\,\mathrm{A}$ 电流下储存多少能量？

   1. $1.5\,\mathrm{mJ}$
   2. $3\,\mathrm{mJ}$
   3. $4.5\,\mathrm{mJ}$
   4. $9\,\mathrm{mJ}$
   答案与解析

   正确答案：C 电感量的一半乘以电流的平方：$0.5 \times 10^{-3} \times 9$。

4. 理想电感的哪个量不能瞬间改变？

   1. 电压
   2. 电流
   3. 电压和电流两者
   4. 两者都不是
   答案与解析

   正确答案：B 储能取决于电流，而电流跳变需要无穷大的电压。相反，电压可以跳变，在每个开关边沿都是如此。

5. 电感两端的恒定电压加倍。其电流的变化率如何变化？

   1. 减半
   2. 不变
   3. 加倍
   4. 变为四倍
   答案与解析

   正确答案：C 电流的变化率等于电压除以电感量。

6. 在降压变换器中，电感电流在导通区间内上升 $0.4\,\mathrm{A}$。变换器各页使用的纹波峰峰值的一半 $\Delta i_L$ 是多少？

   1. $0.1\,\mathrm{A}$
   2. $0.2\,\mathrm{A}$
   3. $0.4\,\mathrm{A}$
   4. $0.8\,\mathrm{A}$
   答案与解析

   正确答案：B 导通区间内的上升量就是纹波峰峰值，$\Delta i_L$ 是它的一半（Erickson 的约定）。