M1 · 推导并验证降压变换器

目标

• 由伏秒平衡（volt-second balance）推导降压（buck）变换器在 CCM 下的电压变换比，分别用手工和 sympy 完成。
• 由导通区间（on-interval）内电流的斜率推导其电感电流纹波。
• 以一个公式为例，走一遍本站的检查：它在 equations.yaml 中的条目、它的测试值、必须复现它的 sympy 推导，以及生成器（generator）。逐一故意破坏，看哪项检查失败。

开始之前

• 阅读伏秒平衡与电荷平衡和降压变换器。
• 克隆本仓库并安装其 Python 包（按 README 所述，pip install -e "python[dev,figures]"）。以下命令均在克隆的根目录下运行。
• 本站中，$\Delta i_L$ 表示电感电流纹波峰峰值的一半，与 Erickson 相同。

步骤

1. 手工推导

在 CCM 下，开关管在 $D T_s$ 内把电感接到 $V_g$，二极管在周期的其余时间内把它接地。将输出电压 $V$ 视为恒定（小纹波近似，small-ripple approximation），写出每个区间内的电感电压。求它在一个周期内的平均值，令平均值为零，解出 $V$。将 $V/V_g$ 与降压变换器的电压变换比比较。

2. 用 sympy 推导

让 sympy 完成同样的代数运算。填入两个电感电压：

import sympy as sp

D, Vg, V = sp.symbols('D V_g V', positive=True)
v_on = ...   # 开关管导通期间的电感电压
v_off = ...  # 二极管导通期间的电感电压
print(sp.solve(sp.Eq(D * v_on + (1 - D) * v_off, 0), V))

本仓库自己的推导是 python/pe_core/derive/ccm_ratios.py，推导页面逐步展示了它。

3. 纹波

在导通区间内，电感电流以恒定斜率上升。它在 $D T_s$ 内的上升量就是纹波峰峰值，其一半即 $\Delta i_L$。将结果与降压变换器的电感纹波比较。

4. 示例的数值

降压变换器示例的参数为 $V_g$ = 24 V、$D$ = 0.5、$L$ = 100 µH 和 $f_s$ = 100 kHz。求出它的输出电压和 $\Delta i_L$，填入“验收标准”中。然后在公式浏览器中打开纹波公式并扫描电感量：纹波按 $1/L$ 减小。

▶ 在公式浏览器中打开：降压变换器电感电流纹波（峰峰值的一半），CCM
预设取自例题 buck-basic

5. 检查通过

在你的克隆中运行 python scripts/gen_equations.py、pytest 和 python scripts/mathlint.py。三者均通过，且 git status 显示生成器没有改动 packages/pe-core/equations/。

6. 改错一个测试值

在 packages/pe-core/equations/equations.yaml 中，修改 buck.ccm.M 的 tests 里的第一个期望值。运行 python scripts/gen_equations.py：它拒绝执行，其消息指出该条目、该测试以及表达式给出的值。用 git checkout -- packages/pe-core/equations/ 撤销修改。

7. 自洽地改错公式

现在修改 buck.ccm.M 的表达式及其两个期望值，使三者彼此一致（例如三者都减半）。生成器接受这一修改，但 pytest 在 test_derivation_reproduces_yaml[buck.ccm.M] 处失败：sympy 推导给出的仍是你在第 1 步中求得的变换比。按前面的方法撤销修改；同一次 checkout 也会恢复生成器改写过的文件。

验收标准

• 手工推导时，由电感的伏秒平衡得到输出电压，且 $V/V_g$ 等于目录中的电压变换比。
• 你的 sympy 脚本对 $V$ 求解该平衡方程，得到相同的结果。
• 降压变换器示例的输出电压，由你求得的电压变换比算出。
  你的数值（V）核对
  显示例题中的值

  12 V（出自 buck-basic：降压变换器示例）

• 降压变换器示例的 $\Delta i_L$，即纹波峰峰值的一半。
  你的数值（A）核对
  显示例题中的值

  300 mA（出自 buck-basic：降压变换器示例）

• 在你的克隆中，生成器、pytest 和 mathlint 均通过，且未改动公式文件。
• 生成器拒绝 buck.ccm.M 中错误的期望值，并指出该条目和该测试。
• 同时修改表达式及其测试时，pytest 在 test_derivation_reproduces_yaml[buck.ccm.M] 处失败。

重置此任务

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易错点

• 此处的 $\Delta i_L$ 是纹波峰峰值的一半。电流的完整摆幅是该项检查所期望值的两倍。
• 该变换比只在 CCM 下成立。电感电流在周期结束前降到零时，输出会升到 $D V_g$ 以上（CCM 与 DCM，以及任务 M2）。
• 用安装了 pe_core 的 Python 运行 pytest。换用其他解释器，会在任何检查运行之前就在导入时失败。
• 生成器接受的实验修改也改写了生成器的输出文件。git checkout -- packages/pe-core/equations/ 会同时恢复 YAML 和这些文件。

延伸阅读

• 图书章节 Principles of Steady-State Converter Analysis (Ch. 2) — R. W. Erickson, D. Maksimović · 访问于 2026-09-23
  伏秒平衡、电荷平衡、小纹波近似以及电感/电容纹波的标准推导。
• 课程 Introduction to Power Electronics — University of Colorado Boulder (Coursera) · 访问于 2026-09-23
  CU Boulder 专项课程的第一门课：稳态分析、损耗与效率。

测验

1. 稳态下，电感电压在一个开关周期内的平均值为什么为零？

   1. 因为输出电容使输出电压保持恒定
   2. 因为电感电流在每个周期结束时回到其起始值
   3. 因为开关管和二极管导通的时间相等
   4. 因为输入电压恒定
   答案与解析

   正确答案：B 电感电流在一个周期内的变化量，等于其平均电压乘以周期再除以电感量。逐周期重复的电流变化量为零，因此平均电压为零：这就是伏秒平衡。

2. 一个 CCM 降压变换器由 48 V 供电，占空比为 0.25。其输出电压是多少？

   1. 36 V
   2. 64 V
   3. 12 V
   4. 16 V
   答案与解析

   正确答案：C 电压变换比等于占空比：0.25 乘以 48 V 为 12 V。

3. 一个降压变换器的电感电流在 1.0 A 与 1.6 A 之间变化。按本站的约定，$\Delta i_L$ 是多少？

   1. 0.6 A
   2. 0.3 A
   3. 1.3 A
   4. 1.6 A
   答案与解析

   正确答案：B 纹波峰峰值为 0.6 A，$\Delta i_L$ 是它的一半，即 0.3 A，与 Erickson 相同。平均电流为 1.3 A。

4. 将 CCM 降压变换器的电感量加倍，其余不变。$\Delta i_L$ 如何变化？

   1. 减半
   2. 加倍
   3. 不变
   4. 降为四分之一
   答案与解析

   正确答案：A 导通区间内电流的斜率等于电感电压除以电感量，因此在同样时间内的上升量减半。

5. 修改 equations.yaml 中某个公式的一个测试的期望值，而不改动其表达式。结果如何？

   1. 在构建站点之前什么也不会发生
   2. 只有 TypeScript 测试失败
   3. 生成器拒绝执行，并指出该条目、该测试以及表达式给出的值
   4. mathlint 报告一个手工输入的公式
   答案与解析

   正确答案：C 加载目录时会用表达式计算每个测试，因此生成器和 pytest 都会在第一个不一致处停止，并指出其位置。

6. 修改一个表达式及其期望值，使它们彼此一致。哪项检查仍能发现这一错误？

   1. 没有：测试都能通过
   2. 推导测试：sympy 推导必须复现 equations.yaml 中的表达式
   3. 隐私扫描
   4. 链接检查器
   答案与解析

   正确答案：B 测试值只是拿表达式与其自身核对。python/pe_core/derive/ 中的推导独立于 YAML，由 pytest 比较两者。