变压器与耦合电感

目标

按本站的 1:n 匝比（turns ratio）约定，应用理想变压器（ideal transformer）的关系式。
加入励磁电感（magnetizing inductance）和漏感（leakage inductance），建立实际变压器的模型。
区分传递能量的变压器与储存能量的耦合电感（coupled inductor）。

理论

理想变压器

同一磁芯上的两个绕组，若全耦合（perfect coupling）、没有励磁电流（magnetizing current）且没有损耗，就构成理想变压器。匝比记为 1:n，其中 $n$ 为二次（secondary）绕组匝数除以一次（primary）绕组匝数；电压乘以 $n$ ，电流除以 $n$ [Alexander & Sadiku 2017, Ch. 13]、[Erickson & Maksimović 2020, Ch. 6]：

V_2 = n V_1

$V_2$: 二次电压
$V_1$: 一次电压
$n$: 匝比（turns ratio），二次/一次

理想变压器：二次电压✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

理想变压器：完全耦合，无励磁电流，无损耗

约定

匝比为 1:n，其中

n

为二次匝数除以一次匝数（本站约定）

出处

Alexander & Sadiku 2017, Ch. 13 (Magnetically Coupled Circuits); Erickson & Maksimović 2020, Ch. 6 (Converter Circuits)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

xfmr.V2 · equations.yaml 条目

I_2 = \frac{I_1}{n}

$I_2$: 二次电流
$I_1$: 一次电流
$n$: 匝比（turns ratio），二次/一次

理想变压器：二次电流✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

理想变压器：完全耦合，无励磁电流，无损耗

约定

匝比为 1:n；二次电流的参考方向取为从二次绕组的同名端流出

备注

功率守恒：二次电压与电流之积等于一次侧电压与电流之积

出处

Alexander & Sadiku 2017, Ch. 13 (Magnetically Coupled Circuits); Erickson & Maksimović 2020, Ch. 6 (Converter Circuits)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

xfmr.I2 · equations.yaml 条目

功率守恒，接在二次侧的阻抗（impedance）在一次侧表现为原值除以 $n^2$ [Alexander & Sadiku 2017, Ch. 13]。

励磁电感

实际磁芯的磁导率（permeability）是有限的，因此即使二次侧开路，建立磁通（flux）也需要电流。该励磁电流用一个与理想变压器一次侧并联、折算到一次侧（referred to the primary）的电感 $L_M$ 来建模 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 6]。绕组上施加电压期间，励磁电流持续增大，这就是变压器必须在每个周期内复位（reset）的原因（见正激（forward）变换器）。

漏感

并非全部磁通都同时与两个绕组交链（linkage）。只与其中一个绕组交链的磁通，表现为与该绕组串联的漏感 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10]。漏感减缓电流从一个绕组向另一个绕组的转移；在反激（flyback）变换器中，每次关断（turn-off）时都必须吸收漏感中的能量（见反激变换器页面）。

变压器还是耦合电感

变压器在两个绕组都导通（conduction）期间把能量从一次侧传递到二次侧，理想情况下不储存能量。反激变换器的耦合电感工作方式不同：一次绕组导通期间，其励磁电感储存能量，之后再经二次绕组释放 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 6]。因此两者的设计目标不同：变压器要求励磁电流小，耦合电感要求达到规定的励磁电感和储能（stored energy）[Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10]。

例题

一个示例理想变压器：

理想变压器示例

符号	数值	求法
$n$ 匝比（turns ratio），二次/一次	0.25	已知
$V_1$ 一次电压	48 V	已知
$I_1$ 一次电流	500 mA	已知
$V_2$ 二次电压	12 V	理想变压器：二次电压
$I_2$ 二次电流	2 A	理想变压器：二次电流

匝比为 0.25 时，二次侧两端电压为 12 V，流过的电流为 2 A：电压降低的倍数与电流增大的倍数相同。

动手试试

▶ 在公式浏览器中打开：理想变压器：二次电压
预设取自例题 transformer-ideal

在对数范围内扫描（sweep） $n$ ：小于 1 时变压器降压（step down），大于 1 时升压（step up）。然后与反激变换器的电压变换比（conversion ratio）比较（反激变换器的电压变换比），该变换比由同一因子乘以升降压（buck-boost）变换比得到。

实验练习

二次侧开路，用函数发生器（function generator）输出的正弦波（sine wave）驱动小型信号变压器（signal transformer）的一次侧，频率取在其额定频率范围（rated frequency range）内。测量两个绕组的电压，求出匝比。然后分别测量二次侧开路时的一次电流（即励磁电流）和二次侧短路（short circuit）时的一次电流（受漏感限制），并由电压、电流和频率估算这两个电感。

易错点

核对匝比约定。数据手册（data sheet）和教材对匝比的书写方向各不相同；本站始终采用 1:n，其中 $n$ 为二次匝数除以一次匝数。
励磁电流不是负载电流。即使完全空载，励磁电流也照样流动；绕组上的净伏秒积（net volt-seconds）在每个周期内必须为零，否则励磁电流会不断增大，直到磁芯饱和（saturation）[Erickson & Maksimović 2020, Ch. 6]。
注意同名端（dot）。反接其中一个绕组，二次电压就会反相；在反激变换器中，绕组极性（winding polarity）的选取应使开关管导通期间二极管阻断（blocking）[Erickson & Maksimović 2020, Ch. 6]。

测验

一个匝比为 1:n、 $n = 0.2$ 的理想变压器，一次侧两端电压为 $50\,\mathrm{V}$ 。二次电压是多少？
1. $2.5\,\mathrm{V}$
2. $10\,\mathrm{V}$
3. $50\,\mathrm{V}$
4. $250\,\mathrm{V}$
答案与解析
正确答案：B 二次电压等于一次电压的 $n$ 倍。
同一变压器的二次侧输出 $5\,\mathrm{A}$ 电流。一次电流是多少？
1. $0.2\,\mathrm{A}$
2. $1\,\mathrm{A}$
3. $5\,\mathrm{A}$
4. $25\,\mathrm{A}$
答案与解析
正确答案：B 二次电流等于一次电流除以 $n$ ，因此一次电流为 $5\,\mathrm{A}$ 的 $n$ 倍。两侧的功率相同。
在 $n = 0.5$ 的理想变压器二次侧接一个 $10\,\Omega$ 电阻。从一次侧看进去的电阻是多少？
1. $2.5\,\Omega$
2. $5\,\Omega$
3. $20\,\Omega$
4. $40\,\Omega$
答案与解析
正确答案：D 二次侧的阻抗在一次侧表现为除以 $n^2$ （此处为 $0.25$ ）后的值。
实际变压器在二次侧开路时吸取的电流，用哪个元件来建模？
1. 漏感
2. 励磁电感
3. 绕组电容
4. 负载电阻
答案与解析
正确答案：B 在磁导率有限的磁芯中建立磁通需要电流，该电流用与一次侧并联的励磁电感来建模。
反激变换器的耦合电感与正激变换器的变压器有何不同？
1. 它没有二次绕组
2. 它把能量储存在励磁电感中，之后再释放，而不是在两个绕组都导通期间直接传递能量
3. 它不需要磁芯
4. 它没有漏感
答案与解析
正确答案：B 在反激变换器中，一次绕组和二次绕组轮流导通；在两者之间，能量暂存在励磁电感中。
在本站采用的 1:n 约定中， $n$ 是什么？
1. 一次匝数除以二次匝数
2. 二次匝数除以一次匝数
3. 总匝数
4. 绕组电阻之比
答案与解析
正确答案：B 本站采用 Erickson 的约定：匝比为 1:n， $n$ 为二次匝数除以一次匝数。

本站例题、预设和练习中的数值均为合成值：为教学而凑整的数值，并非来自任何实际设计的数据。