参数 K

目标

• 计算变换器的 $K$ 及其拓扑的 $K_\mathrm{crit}(D)$。
• 判定工作模式，并求出使变换器在负载减轻到给定值时仍保持 CCM 的电感量。
• 找出对模式临界（boundary）而言属于最坏情况（worst case）的工作点（operating point），即输入电压和负载。

理论

临界条件

当电感电流纹波达到电感直流电流时，带二极管的变换器就会离开 CCM：在临界处，纹波峰峰值的一半 $\Delta i_L$ 等于直流电流 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 5]。把两边都用电路参数表示后，电感量、负载电阻（load resistance）和开关周期（switching period）合并为一个无量纲参数（dimensionless parameter），

$$K = \frac{2 L}{R T_s}$$

$K$

电感参数（CCM/DCM 判别）

$L$

电感

$R$

负载电阻

$T_s$

开关周期

无量纲电感参数 K✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 定义

约定

$K > K_\mathrm{crit}(D)$ 时变换器工作于 CCM

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 5 (The Discontinuous Conduction Mode)

公式 id

K.def · equations.yaml 条目

临界条件则成为只与占空比（duty ratio）有关的函数，即临界值（critical value）$K_\mathrm{crit}(D)$。$K > K_\mathrm{crit}$ 时变换器工作在 CCM，$K < K_\mathrm{crit}$ 时工作在 DCM [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 5]。

$K$ 将时间常数（time constant）$L/R$ 与开关周期相比较。电感量越大、负载越重（$R$ 越小）或开关频率越高，$K$ 都越大，变换器也越趋向 CCM。

基本变换器的临界值

各拓扑的电感直流电流及其纹波与 $D$ 的关系各不相同，因此每种拓扑都有自己的 $K_\mathrm{crit}(D)$：

$$K_\mathrm{crit} = 1 - D$$

$K_\mathrm{crit}$

CCM/DCM 临界处的 K

$D$

占空比（duty ratio）

降压变换器的临界 K✓ 经 8 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 理想（无损）开关器件与无源元件
• 处于 CCM/DCM 临界
• 周期稳态
• 小纹波近似（small-ripple approximation）
• 电阻负载 R

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 5 (The Discontinuous Conduction Mode)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

Kcrit.buck · equations.yaml 条目

$$K_\mathrm{crit} = D \left(1 - D\right)^{2}$$

$K_\mathrm{crit}$

CCM/DCM 临界处的 K

$D$

占空比（duty ratio）

升压变换器的临界 K✓ 经 8 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 理想（无损）开关器件与无源元件
• 处于 CCM/DCM 临界
• 周期稳态
• 小纹波近似（small-ripple approximation）
• 电阻负载 R

备注

最大值为 $4/27$，位于 $D = 1/3$ 处

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 5 (The Discontinuous Conduction Mode)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

Kcrit.boost · equations.yaml 条目

$$K_\mathrm{crit} = \left(1 - D\right)^{2}$$

$K_\mathrm{crit}$

CCM/DCM 临界处的 K

$D$

占空比（duty ratio）

升降压变换器的临界 K✓ 经 8 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 理想（无损）开关器件与无源元件
• 处于 CCM/DCM 临界
• 周期稳态
• 小纹波近似（small-ripple approximation）
• 电阻负载 R

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 5 (The Discontinuous Conduction Mode)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

Kcrit.buckboost · equations.yaml 条目

对反激（flyback）变换器，$K$ 用折算到一次侧（referred to the primary）的励磁电感（magnetizing inductance）和实际负载电阻计算；匝比（turns ratio）则出现在临界值中：

$$K_\mathrm{crit} = \frac{\left(1 - D\right)^{2}}{n^{2}}$$

$K_\mathrm{crit}$

CCM/DCM 临界处的 K

$D$

占空比（duty ratio）

$n$

匝比（turns ratio），二次/一次

反激变换器的临界 K✓ 经 8 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 理想（无损）开关器件与无源元件
• 处于 CCM/DCM 临界
• 周期稳态
• 小纹波近似（small-ripple approximation）
• 电阻负载 R

约定

$K = 2L_M/(R T_s)$，其中 $L_M$ 折算到一次侧，$R$ 为实际（二次侧）负载；1:n，$n = N_s/N_p$

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 5–6 (DCM; flyback as an isolated buck-boost)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

Kcrit.flyback · equations.yaml 条目

降压（buck）变换器的临界值在 $D$ 很小时最大，趋近 1。升压（boost）变换器的临界值在占空比范围的两端均为零；令其导数为零可知，它在 $D = 1/3$ 处达到最大值 $4/27$。升降压（buck-boost）变换器的临界值从 $D$ 很小时的 1 降到 $D$ 很大时的零。

按 CCM 设计：临界电感（critical inductance）

令 $K$ 等于 $K_\mathrm{crit}$，并由 $K$ 的定义解出 $L$，即得到在给定负载下使变换器保持 CCM 的最小电感量：

$$L_\mathrm{crit} = \frac{K_\mathrm{crit} R T_s}{2}$$

$L_\mathrm{crit}$

临界电感（CCM/DCM 临界）

$K_\mathrm{crit}$

CCM/DCM 临界处的 K

$R$

负载电阻

$T_s$

开关周期

CCM/DCM 临界电感✓ 经 8 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 理想（无损）开关器件与无源元件
• 处于 CCM/DCM 临界
• 周期稳态
• 小纹波近似（small-ripple approximation）
• 电阻负载 R

备注

$L > L_\mathrm{crit}$ 时变换器保持 CCM；应按最大的 $R$（最轻负载）以及输入范围内使 $K_\mathrm{crit}$ 最大的占空比校核

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 5 (The Discontinuous Conduction Mode)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

L.crit · equations.yaml 条目

由于 $K_\mathrm{crit}$ 取决于 $D$，而 $D$ 取决于输入电压，最坏情况是在输入电压范围内使 $K_\mathrm{crit}$ 最大的占空比下的最轻负载（最大 $R$）。对输出经过稳压的降压变换器，这就是最高输入电压，此时 $D$ 最小。

例题

标称负载（nominal load）下的降压变换器示例，以及负载减轻为原来十分之一的同一变换器：

降压变换器示例

符号	数值	求法
$L$ 电感	100 µH	已知
$R$ 负载电阻	10 Ω	已知
$T_s$ 开关周期	10 µs	开关周期
$D$ 占空比（duty ratio）	0.5	已知
$K$ 电感参数（CCM/DCM 判别）	2	无量纲电感参数 K
$K_\mathrm{crit}$ CCM/DCM 临界处的 K	0.5	降压变换器的临界 K
$L_\mathrm{crit}$ 临界电感（CCM/DCM 临界）	25 µH	CCM/DCM 临界电感

工作模式：CCM（$K > K_\mathrm{crit}$：成立）

轻载降压变换器示例

符号	数值	求法
$L$ 电感	100 µH	已知
$R$ 负载电阻	100 Ω	已知
$T_s$ 开关周期	10 µs	开关周期
$D$ 占空比（duty ratio）	0.5	已知
$K$ 电感参数（CCM/DCM 判别）	0.2	无量纲电感参数 K
$K_\mathrm{crit}$ CCM/DCM 临界处的 K	0.5	降压变换器的临界 K
$L_\mathrm{crit}$ 临界电感（CCM/DCM 临界）	250 µH	CCM/DCM 临界电感

工作模式：DCM（$K > K_\mathrm{crit}$：不成立）

在标称负载下，$K$ = 2，远高于 $K_\mathrm{crit}$ = 0.5：处于 CCM，且留有裕量。换一种说法，100 µH 的电感量大于临界电感 25 µH。在轻载（light load）下，$K$ 降到 0.2，低于同一临界值，临界电感则升至 250 µH：变换器处于 DCM。

动手试试

▶ 在公式浏览器中打开：升压变换器的临界 K
预设取自例题 boost-basic

▶ 在仿真器中打开：升压
预设取自例题 boost-basic

将 $D$ 从 0 扫描到 1，找出升压变换器临界值的峰值。$K$ 高于该峰值的升压变换器在任何占空比下都保持 CCM。

实验练习

在一个带二极管整流器（diode rectifier）和可调电阻负载的变换器上，用电流探头观察电感电流，并增大负载电阻，直到电流恰好在每个周期结束时触及零。测量此时的占空比和负载电阻，由电感量和开关周期算出 $K$，并与该拓扑的 $K_\mathrm{crit}(D)$ 比较。

易错点

• $K$ 中的各量要一致。对隔离型变换器（isolated converter），$K$ 使用折算到一次侧的励磁电感和二次侧的实际负载电阻；匝比则包含在 $K_\mathrm{crit}$ 中。把折算值与未折算值混用，会判错工作模式 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 6]。
• 检查整个输入电压范围。在闭环（closed loop）下，占空比随输入电压变化，$K_\mathrm{crit}$ 也随之变化。
• 要与电感在工作中的最小电感量比较，而不是与其标称值比较，因为临界电感是一个最小值。

延伸阅读

• 图书章节 The Discontinuous Conduction Mode (Ch. 5) — R. W. Erickson, D. Maksimović · 访问于 2026-09-23
  DCM 的成因、以 K 和 K_crit 表示的临界条件，以及用电荷平衡推导出的 DCM 电压变换比。
• 课程 Converter Circuits — University of Colorado Boulder (Coursera) · 访问于 2026-09-23
  DCM 分析与隔离型变换器电路，沿用同一本教材。
• 应用笔记 Understanding Boost Power Stages in Switchmode Power Supplies (SLVA061) — E. Rogers, Texas Instruments · 访问于 2026-09-23
  对应的升压版本：CCM 和 DCM 下的稳态与小信号分析。

测验

1. 一个变换器的 $L = 50\,\mu\mathrm{H}$，$R = 5\,\Omega$，$T_s = 10\,\mu\mathrm{s}$。$K$ 是多少？

   1. 0.5
   2. 1
   3. 2
   4. 4
   答案与解析

   正确答案：C $K$ 为 $2L/(R T_s)$：$50\,\mu\mathrm{H}$ 的两倍是 $100\,\mu\mathrm{H}$，而 $R T_s$ 为 $50\,\mu\mathrm{s}\cdot\Omega$，因此比值为 2。

2. 一个降压变换器在 $D = 0.4$、$K = 0.5$ 下工作。它处于哪种工作模式？

   1. CCM
   2. DCM
   3. 恰好处于临界
   4. 不知道输入电压就无法判定
   答案与解析

   正确答案：B 对降压变换器，$K_\mathrm{crit}$ 为 $1 - D$，此处为 0.6。$K$ 低于该值，因此电感电流会降到零：DCM。

3. 哪种变化会使变换器趋向 DCM？

   1. 更大的电感量
   2. 更高的开关频率
   3. 更重的负载（$R$ 更小）
   4. 更轻的负载（$R$ 更大）
   答案与解析

   正确答案：D $R$ 越大，$K$ 越小。电感量越大、开关频率越高、负载越重，$K$ 都越大，变换器也越趋向 CCM。

4. 升压变换器的临界值 $K_\mathrm{crit}$ 在哪个占空比下最大？

   1. $D$ 趋近 0 时
   2. $D = 1/3$
   3. $D = 0.5$
   4. $D$ 趋近 1 时
   答案与解析

   正确答案：B 升压变换器的临界值 $D(1 - D)^2$ 在两端均为零。其导数 $(1 - D)(1 - 3D)$ 在 $D = 1/3$ 处为零，此时的值为 $4/27$。

5. 一个降压变换器必须在负载减轻到 $R = 20\,\Omega$ 时仍保持 CCM，此时 $K_\mathrm{crit}$ 为 0.5，$T_s = 10\,\mu\mathrm{s}$。满足要求的最小电感量是多少？

   1. $25\,\mu\mathrm{H}$
   2. $50\,\mu\mathrm{H}$
   3. $100\,\mu\mathrm{H}$
   4. $200\,\mu\mathrm{H}$
   答案与解析

   正确答案：B 临界电感为 $K_\mathrm{crit} R T_s/2$：0.5 与 $200\,\mu\mathrm{s}\cdot\Omega$ 之积的一半，即 $50\,\mu\mathrm{H}$。

6. 一个降压变换器在一定的输入电压范围内把输出电压稳定在固定值。在哪个输入电压下，它最容易在轻载时进入 DCM？

   1. 最低输入电压
   2. 最高输入电压
   3. 输入电压范围的中间
   4. 与输入电压无关
   答案与解析

   正确答案：B 输入电压越高，所需的占空比越小，而降压变换器的临界值 $1 - D$ 随 $D$ 减小而增大，因此在更大的 $K$ 下就会达到临界。