右半平面（RHP）零点

目标

• 从物理上解释升压（boost）和升降压（buck-boost）变换器为何有右半平面（right-half-plane, RHP）零点（zero）。
• 由电路参数计算这两种变换器的 RHP 零点和二重极点（double pole）参数。
• 了解 RHP 零点如何限制反馈环路的穿越频率（crossover frequency）。

理论

输出为何先向反方向变化

在升压变换器中，只有在二极管导通（conduction）期间，即关断区间（off-interval）内，能量才会到达输出。占空比（duty ratio）的阶跃（step）增大使导通区间（on-interval）变长、关断区间变短。电感电流最终会增大，输出也随之升高。但在阶跃刚发生后，电感电流尚未变化，而二极管在每个周期中导通的时间变短了，因此二极管电流的平均值以及输出电压会先下降 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8]。升降压变换器的表现与此相同。

位于 $s$ 平面右半部分的零点恰好产生这种行为：其幅值像普通零点一样随频率升高而增大，其相位却像极点一样滞后。

升压变换器的控制-输出传递函数

升压变换器的控制-输出传递函数（control-to-output transfer function）包含一个直流增益（dc gain）、一对极点和 RHP 零点 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8]：

$$G_{d0} = \frac{V_g}{\left(1 - D\right)^{2}}$$

$G_{d0}$

控制-输出直流增益

$D$

占空比（duty ratio）

$V_g$

输入电压

升压变换器控制-输出直流增益，CCM✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 理想（无损）开关器件与无源元件
• 连续导通模式（CCM）
• CCM 工作点附近的小信号（线性化）模型
• 电阻负载 R

备注

等于 $\partial V/\partial D$；由于 $V = V_g/(1 - D)$，它也等于 $V/(1 - D)$

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8 (Converter Transfer Functions)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

boost.ss.Gd0 · equations.yaml 条目

$$\omega_0 = \frac{1 - D}{\sqrt{L C}}$$

$\omega_0$

LC 转折角频率（rad/s）

$C$

电容（输出电容）

$D$

占空比（duty ratio）

$L$

电感

升压变换器：LC 极点的角频率✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 理想（无损）开关器件与无源元件
• 连续导通模式（CCM）
• CCM 工作点附近的小信号（线性化）模型
• 电阻负载 R

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8 (Converter Transfer Functions)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

boost.ss.w0 · equations.yaml 条目

$$Q = \left(1 - D\right) R \sqrt{\frac{C}{L}}$$

$Q$

品质因数（quality factor）

$C$

电容（输出电容）

$D$

占空比（duty ratio）

$L$

电感

$R$

负载电阻

升压变换器：LC 极点的品质因数✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 理想（无损）开关器件与无源元件
• 连续导通模式（CCM）
• CCM 工作点附近的小信号（线性化）模型
• 电阻负载 R

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8 (Converter Transfer Functions)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

boost.ss.Q · equations.yaml 条目

$$\omega_z = \frac{\left(1 - D\right)^{2} R}{L}$$

$\omega_z$

右半平面（RHP）零点频率（rad/s）

$D$

占空比（duty ratio）

$L$

电感

$R$

负载电阻

升压变换器：右半平面（RHP）零点✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 理想（无损）开关器件与无源元件
• 连续导通模式（CCM）
• CCM 工作点附近的小信号（线性化）模型
• 电阻负载 R

备注

随负载加重（$R$ 减小）以及 $D$ 增大而向低频移动

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8 (Converter Transfer Functions)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

boost.ss.wz · equations.yaml 条目

这对极点来自电感和电容，但透过平均模型（averaged model）中的直流变压器（dc transformer）来看，电感量表现为除以 $(1 - D)^2$ 后的值，因此随着 $D$ 增大，极点移向更低的频率。

升降压变换器的控制-输出传递函数

$$G_{d0} = \frac{V_g}{\left(1 - D\right)^{2}}$$

$G_{d0}$

控制-输出直流增益

$D$

占空比（duty ratio）

$V_g$

输入电压

升降压变换器控制-输出直流增益（幅值），CCM✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 理想（无损）开关器件与无源元件
• 连续导通模式（CCM）
• CCM 工作点附近的小信号（线性化）模型
• 电阻负载 R

备注

$\partial V/\partial D$ 的幅值；由于输出反相，增益本身为负

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8 (Converter Transfer Functions)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

buckboost.ss.Gd0 · equations.yaml 条目

$$\omega_0 = \frac{1 - D}{\sqrt{L C}}$$

$\omega_0$

LC 转折角频率（rad/s）

$C$

电容（输出电容）

$D$

占空比（duty ratio）

$L$

电感

升降压变换器：LC 极点的角频率✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 理想（无损）开关器件与无源元件
• 连续导通模式（CCM）
• CCM 工作点附近的小信号（线性化）模型
• 电阻负载 R

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8 (Converter Transfer Functions)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

buckboost.ss.w0 · equations.yaml 条目

$$Q = \left(1 - D\right) R \sqrt{\frac{C}{L}}$$

$Q$

品质因数（quality factor）

$C$

电容（输出电容）

$D$

占空比（duty ratio）

$L$

电感

$R$

负载电阻

升降压变换器：LC 极点的品质因数✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 理想（无损）开关器件与无源元件
• 连续导通模式（CCM）
• CCM 工作点附近的小信号（线性化）模型
• 电阻负载 R

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8 (Converter Transfer Functions)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

buckboost.ss.Q · equations.yaml 条目

$$\omega_z = \frac{\left(1 - D\right)^{2} R}{D L}$$

$\omega_z$

右半平面（RHP）零点频率（rad/s）

$D$

占空比（duty ratio）

$L$

电感

$R$

负载电阻

升降压变换器：右半平面（RHP）零点✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 理想（无损）开关器件与无源元件
• 连续导通模式（CCM）
• CCM 工作点附近的小信号（线性化）模型
• 电阻负载 R

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8 (Converter Transfer Functions)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

buckboost.ss.wz · equations.yaml 条目

由平均电路（averaged circuit）推导全部八个量的过程见推导页面。

对控制的影响

负载越重（$R$ 越小）、$D$ 越大，RHP 零点的频率越低，因此其最低频率出现在满载（full load）和最低输入电压时。由于它在幅值持续升高的同时增加相位滞后（phase lag），环路穿越频率必须在整个工作范围内都远低于最低的 $\omega_z$ [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8]。补偿器（compensator）无法抵消这个零点：那需要一个位于右半平面的极点，而这样的极点是不稳定的。

例题

升压和升降压变换器示例，两者的占空比相同：

升压变换器示例

符号	数值	求法
$V_g$ 输入电压	12 V	已知
$D$ 占空比（duty ratio）	0.5	已知
$L$ 电感	100 µH	已知
$C$ 电容（输出电容）	10 µF	已知
$R$ 负载电阻	20 Ω	已知
$G_{d0}$ 控制-输出直流增益	48 V	升压变换器控制-输出直流增益，CCM
$\omega_0$ LC 转折角频率（rad/s）	15.8 krad/s	升压变换器：LC 极点的角频率
$Q$ 品质因数（quality factor）	3.16	升压变换器：LC 极点的品质因数
$\omega_z$ 右半平面（RHP）零点频率（rad/s）	50 krad/s	升压变换器：右半平面（RHP）零点

升降压变换器示例

符号	数值	求法
$V_g$ 输入电压	12 V	已知
$D$ 占空比（duty ratio）	0.5	已知
$L$ 电感	100 µH	已知
$C$ 电容（输出电容）	10 µF	已知
$R$ 负载电阻	10 Ω	已知
$G_{d0}$ 控制-输出直流增益	48 V	升降压变换器控制-输出直流增益（幅值），CCM
$\omega_0$ LC 转折角频率（rad/s）	15.8 krad/s	升降压变换器：LC 极点的角频率
$Q$ 品质因数（quality factor）	1.58	升降压变换器：LC 极点的品质因数
$\omega_z$ 右半平面（RHP）零点频率（rad/s）	50 krad/s	升降压变换器：右半平面（RHP）零点

在升压变换器中，位于 50 krad/s 的 RHP 零点仅比位于 15.8 krad/s 的二重极点高出不多：穿越频率若在极点附近，环路就已经会受到零点相位滞后的影响。

动手试试

▶ 在公式浏览器中打开：升压变换器：右半平面（RHP）零点
预设取自例题 boost-basic

将 $R$ 向减小的方向扫描（sweep），即加重负载：零点与 $R$ 成正比地降低。然后把 $R$ 恢复原值，改为扫描 $D$。

实验练习

在小功率运行的开环（open-loop）升压变换器上，对占空比施加一个小阶跃，例如使调制器（modulator）的控制输入阶跃变化。以该阶跃为触发，用交流耦合观察输出电压：它先短暂下跌，再上升到新值。在更重的负载下重复，比较下跌的幅度。

易错点

• 按最坏情况（worst case）设计。RHP 零点的最低频率出现在负载最重、占空比最高，即输入电压最低时。
• 降压（buck）变换器没有 RHP 零点。它的占空比作用于开关节点（switch node），而开关节点直接驱动输出滤波器；升压和升降压变换器则只在关断区间内向输出传递能量 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8]。
• 估算相位裕度（phase margin）时必须计入该零点。它的相位滞后在远低于 $\omega_z$ 处就已开始，与普通零点开始产生相位超前（phase lead）的频率范围相同。

延伸阅读

• 图书章节 Converter Transfer Functions (Ch. 8) — R. W. Erickson, D. Maksimović · 访问于 2026-09-23
  控制-输出传递函数的伯德图，包括升压和升降压变换器的右半平面零点。
• 课程 Converter Control — University of Colorado Boulder (Coursera) · 访问于 2026-09-23
  平均小信号模型、变换器传递函数与反馈环路设计。
• 应用笔记 Understanding Boost Power Stages in Switchmode Power Supplies (SLVA061) — E. Rogers, Texas Instruments · 访问于 2026-09-23
  对应的升压版本：CCM 和 DCM 下的稳态与小信号分析。

测验

1. 占空比刚阶跃增大时，升压变换器的输出电压会短暂下降。为什么？

   1. 电感饱和
   2. 二极管在每个周期中导通的时间已经变短，而电感电流尚未增大
   3. 输出电容向开关管放电
   4. 控制环路不稳定
   答案与解析

   正确答案：B 只有在二极管导通期间，能量才会到达输出。导通区间变长会立即缩短二极管导通区间，但电感电流需要时间才能增大，因此二极管电流的平均值先下降。

2. 右半平面零点对伯德图有什么影响？

   1. 其幅值像极点一样下降，相位像零点一样超前
   2. 其幅值像零点一样上升，相位却像极点一样滞后
   3. 只改变幅值
   4. 只改变相位
   答案与解析

   正确答案：B $1 - s/\omega_z$ 的幅值随频率的增长与 $1 + s/\omega_z$ 完全相同，但其相位趋向 $-90^\circ$ 而不是 $+90^\circ$。

3. 一个升压变换器工作在 $D = 0.5$，$R = 10\,\Omega$，$L = 100\,\mu\mathrm{H}$。其 RHP 零点在哪里？

   1. $12.5\,\mathrm{krad/s}$
   2. $25\,\mathrm{krad/s}$
   3. $50\,\mathrm{krad/s}$
   4. $100\,\mathrm{krad/s}$
   答案与解析

   正确答案：B 零点位于 $(1 - D)^2 R/L$：$10\,\Omega$ 的四分之一除以 $100\,\mu\mathrm{H}$。

4. 在什么条件下，升压变换器的 RHP 零点频率最低？

   1. 轻载和低占空比
   2. 重载和高占空比
   3. 轻载和高占空比
   4. 与工作点无关
   答案与解析

   正确答案：B 零点与 $(1 - D)^2 R$ 成正比：负载电阻小（重载）和占空比大（输入电压低）都会使它降低。

5. 为什么补偿器不能抵消 RHP 零点？

   1. 抵消它需要一个位于右半平面的极点，而这样的极点是不稳定的
   2. 补偿器不能含有极点
   3. 该零点高于开关频率
   4. 可以用左半平面零点抵消它
   答案与解析

   正确答案：A 抵消就是在零点的同一位置放置一个极点。对右半平面零点而言，这个极点是不稳定的，因此只能让穿越频率保持在远低于该零点的位置。

6. 在 $L$ 和 $C$ 相同时，$D = 0.5$ 的 CCM 升压变换器的二重极点频率与降压变换器相比如何？

   1. 相同
   2. 是其两倍
   3. 是其一半
   4. 是其四分之一
   答案与解析

   正确答案：C 升压变换器的 $\omega_0$ 为 $(1 - D)/\sqrt{LC}$，即降压变换器的值乘以 $1 - D$，因为在平均模型中电感量表现为 $L/(1 - D)^2$。