实际无源元件

目标

• 由电流有效值（rms current）估算绕组（winding）或电容串联电阻（series resistance）中的导通损耗（conduction loss）。
• 解释电感自谐振（self-resonance）的来源，以及在其附近测得的电感量为何不正确。
• 估算电容串联电阻所增加的输出纹波。

理论

串联电阻与导通损耗

实际电感具有绕组电阻 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 3]，实际电容具有等效串联电阻（equivalent series resistance, ESR）[Singh 2014]。电流流过电阻时，耗散（dissipation）的功率与电流有效值的平方成正比 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 3]：

$$P = I_\mathrm{rms}^{2} R_x$$

$P$

功率

$I_\mathrm{rms}$

电流有效值（rms）

$R_x$

流过该电流的电阻

电阻上的导通损耗✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 周期稳态

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 3 (Steady-State Equivalent Circuit Modeling, Losses, and Efficiency)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

loss.cond · equations.yaml 条目

晶体管导通电阻（on-resistance）的导通损耗也由同一公式给出（见半导体页面）。起作用的是有效值而不是平均值：平均值相同时，脉冲电流比恒定电流的损耗更大（脉冲序列的有效值）。

自谐振

绕组中相邻的匝（turn）之间隔着绝缘层（insulation），因此每匝两端都会出现一个小电容 [Texas Instruments 2021]。这些电容合起来相当于一个与电感并联的电容，二者发生谐振：

$$f_\mathrm{srf} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L C_p}}$$

$f_\mathrm{srf}$

自谐振频率（self-resonant frequency）

$C_p$

绕组寄生电容（parasitic capacitance）

$L$

电感

存在并联寄生电容的电感的自谐振频率✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 无阻尼 L-C 谐振

备注

高于 $f_\mathrm{srf}$ 时，该元件表现为电容；在其附近测量阻抗，既得不到 $L$，也得不到 $C_p$

出处

Alexander & Sadiku 2017, Ch. 14 (Frequency Response)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

passive.f_srf · equations.yaml 条目

低于该频率时元件呈感性（inductive）；高于该频率时并联电容起主导作用，元件表现为电容 [Alexander & Sadiku 2017, Ch. 14]。匝数多的绕线电感（wire-wound inductor）电感量可以很大，但自谐振频率（self-resonant frequency）往往较低 [Texas Instruments 2021]。自谐振频率可以用阻抗分析仪（impedance analyzer）测量：它就是阻抗相位过零的频率 [Texas Instruments 2021]。

电容串联电阻与输出纹波

变换器输出电容中的纹波电流既流过其电容，也流过其串联电阻，串联电阻会叠加一个与该电流同相的纹波电压 [Singh 2014]：

$$\Delta v_\mathrm{ESR} = R_\mathrm{ESR} \Delta i_{L,\mathrm{pp}}$$

$\Delta v_\mathrm{ESR}$

ESR 纹波，峰峰值

$\Delta i_{L,\mathrm{pp}}$

电感电流纹波，峰峰值

$R_\mathrm{ESR}$

等效串联电阻（ESR）

电容串联电阻上的纹波电压✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 电感纹波电流全部流入输出电容；负载只取用直流

备注

为峰峰值，与纹波电流同相；叠加在容性纹波之上

出处

Singh 2014

推导

sympy 逐步推导

公式 id

cap.esr.ripple · equations.yaml 条目

这一项叠加在容性（capacitive）纹波（降压变换器输出纹波）之上，而电容的串联电感（series inductance, ESL）会在开关边沿（switching edge）处叠加阶跃（step）[Singh 2014]。两项在不同时刻达到峰值，因此二者峰峰值（peak-to-peak）之和是总纹波的上限。

例题

示例绕组、电感和输出电容：

非理想无源元件示例

符号	数值	求法
$I_\mathrm{rms}$ 电流有效值（rms）	2 A	已知
$R_x$ 流过该电流的电阻	50 mΩ	已知
$L$ 电感	1 mH	已知
$C_p$ 绕组寄生电容（parasitic capacitance）	10 pF	已知
$R_\mathrm{ESR}$ 等效串联电阻（ESR）	50 mΩ	已知
$\Delta i_{L,\mathrm{pp}}$ 电感电流纹波，峰峰值	600 mA	已知
$P$ 功率	200 mW	电阻上的导通损耗
$f_\mathrm{srf}$ 自谐振频率（self-resonant frequency）	1.59 MHz	存在并联寄生电容的电感的自谐振频率
$\Delta v_\mathrm{ESR}$ ESR 纹波，峰峰值	30 mV	电容串联电阻上的纹波电压

在给定的电流有效值下，绕组损耗为 200 mW。电感与其寄生电容（parasitic capacitance）在 1.59 MHz 处谐振。电容的串联电阻使输出纹波增加峰峰值 30 mV；可将其与降压变换器页面上的容性纹波比较。

动手试试

▶ 在公式浏览器中打开：存在并联寄生电容的电感的自谐振频率
预设取自例题 passives-real

在对数轴上扫描（sweep）$C_p$：自谐振频率与寄生电容的平方根成反比地下降。然后打开导通损耗公式，扫描电流有效值，观察平方律（square law）。

实验练习

用阻抗分析仪或测试频率可以步进调节的 LCR 测试仪，测量一个匝数多的绕线电感的阻抗模和相位随频率的变化。找出相位过零处的自谐振频率 [Texas Instruments 2021]，并用上面的公式估算寄生电容。然后观察：在单一测试频率下读出的电感值，如何随该频率接近谐振点而漂移。

易错点

• 在远低于自谐振频率处测量电感量。在谐振点附近，读数既不是电感量也不是电容量；对于匝数多的绕组，谐振频率可能很低 [Texas Instruments 2021]。
• 损耗由电流有效值决定。流过脉冲电流的绕组或串联电阻，其损耗比按平均电流估计的更大。
• 开关边沿会带来额外的纹波。电容的串联电感在每个开关边沿使输出电压产生阶跃，容性项和阻性项都预测不到这一点 [Singh 2014]。

延伸阅读

• 应用笔记 Output Ripple Voltage for Buck Switching Regulator (SLVA630A) — S. P. Singh, Texas Instruments · 访问于 2026-09-23
  计入电容电荷、串联电阻（ESR）和串联电感（ESL）的降压变换器输出纹波。
• 应用笔记 Sensor Design for Inductive Sensing Applications Using LDC (SNOA930C) — Texas Instruments · 访问于 2026-09-23
  面向电感式传感编写；其中对匝间电容、自谐振频率及其测量方法的讲解适用于任何绕线电感。
• 图书章节 Steady-State Equivalent Circuit Modeling, Losses, and Efficiency (Ch. 3) — R. W. Erickson, D. Maksimović · 访问于 2026-09-23
  直流变压器模型，以及绕组电阻和半导体器件电阻如何限制电压变换比和效率。

测验

1. 电阻为 $50\,\mathrm{m}\Omega$ 的绕组中流过有效值为 $3\,\mathrm{A}$ 的电流。其导通损耗是多少？

   1. $0.15\,\mathrm{W}$
   2. $0.3\,\mathrm{W}$
   3. $0.45\,\mathrm{W}$
   4. $1.5\,\mathrm{W}$
   答案与解析

   正确答案：C 损耗等于电流有效值的平方乘以电阻：$9 \times 0.05$。

2. $1\,\mathrm{mH}$ 电感具有 $10\,\mathrm{pF}$ 的寄生电容。其自谐振频率是多少？

   1. $159\,\mathrm{kHz}$
   2. $1.59\,\mathrm{MHz}$
   3. $15.9\,\mathrm{MHz}$
   4. $50\,\mathrm{kHz}$
   答案与解析

   正确答案：B 电感量与电容量之积为 $10^{-14}\,\mathrm{s^2}$；其平方根为 $0.1\,\mu\mathrm{s}$，而 $1/(2\pi \times 0.1\,\mu\mathrm{s})$ 约为 $1.59\,\mathrm{MHz}$。

3. 高于自谐振频率时，电感表现如何？

   1. 像更大的电感
   2. 像电容
   3. 在任何频率下都像短路
   4. 像纯电阻
   答案与解析

   正确答案：B 高于谐振频率时，并联电容的导纳大于电感的导纳，因此阻抗呈容性。

4. 降压变换器的输出电容具有 $20\,\mathrm{m}\Omega$ 的串联电阻，流过峰峰值为 $1\,\mathrm{A}$ 的纹波电流。串联电阻增加多大的纹波？

   1. 峰峰值 $2\,\mathrm{mV}$
   2. 峰峰值 $10\,\mathrm{mV}$
   3. 峰峰值 $20\,\mathrm{mV}$
   4. 峰峰值 $40\,\mathrm{mV}$
   答案与解析

   正确答案：C 电阻两端的电压跟随其电流变化，因此其峰峰值等于电阻乘以电流峰峰值。

5. 两个电流的平均值相同：一个是恒定电流，另一个是 $D = 0.25$ 的脉冲序列。它们在同一电阻中的损耗相比如何？

   1. 相同
   2. 脉冲序列的损耗是两倍
   3. 脉冲序列的损耗是四倍
   4. 恒定电流的损耗更大
   答案与解析

   正确答案：C 平均值相同时，脉冲的高度是平均值的四倍，因此其有效值是平均值的两倍，而与有效值平方成正比的损耗是四倍。

6. 如何用阻抗分析仪找出电感的自谐振频率？

   1. 在阻抗模最小处
   2. 在阻抗相位过零处
   3. 在电感读数最大处
   4. 在分析仪的默认测试频率处
   答案与解析

   正确答案：B 在并联谐振点，阻抗为实数，因此阻抗由感性变为容性时，其相位经过零。