磁芯损耗

目标

指出磁芯损耗（core loss）的两种机理：磁滞（hysteresis）和涡流（eddy current）。
用 Steinmetz 公式（Steinmetz equation），由磁通幅值（flux amplitude）和频率估算单位体积的磁芯损耗。
解释为什么在较高的开关频率（switching frequency）下，限制磁通摆幅（flux swing）的是磁芯损耗而不是饱和（saturation）。

理论

磁滞与涡流

磁通密度（flux density）在每个周期内沿磁芯的 B-H 回线变化一周，回线所包围的能量以热的形式损耗，即磁滞损耗 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10]。变化的磁通还会在磁芯材料内部感应（induction）出电流，这些电流在材料的电阻上耗散（dissipation）功率，即涡流损耗 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10]。Steinmetz 发现，每周期的磁滞损耗随峰值磁通密度的某一幂次增长 [Steinmetz 1984]。

Steinmetz 公式

对于给定材料，在一定的频率和磁通密度范围内，实测的单位体积损耗可用下式拟合（fitting）[Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10]：

P_v = k f^{\alpha} B_\mathrm{ac}^{\beta}

$P_v$: 单位体积磁芯损耗（core loss）
$B_\mathrm{ac}$: 交流磁通密度幅值
$\alpha$: Steinmetz 频率指数
$\beta$: Steinmetz 磁通密度指数
$f$: 频率
$k$: Steinmetz 系数

单位体积磁芯损耗（Steinmetz 公式）✓ 经 8 项测试验证

假设、约定与出处

假设

正弦激励（经验拟合）

约定

B_\mathrm{ac}

为交流峰值，即峰峰值摆幅

\Delta B

的一半；

k

、

\alpha

、

\beta

按材料拟合，只在拟合范围内有效

备注

Steinmetz 最初的定律给出的每周期损耗与

B^{1.6}

成正比；频率项是配合铁氧体数据使用的经验扩展

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10 (Basic Magnetics Theory: core loss); Steinmetz 1984

公式 id

loss.steinmetz · equations.yaml 条目

$B_\mathrm{ac}$ 为交流磁通密度峰值（peak ac flux density），即由法拉第定律（Faraday’s law）得到的峰峰值摆幅的一半（磁通摆幅）。这些系数只适用于拟合时的材料、温度和范围，并且只适用于正弦激励（sinusoidal excitation）；对于变换器中的矩形波电压（rectangular voltage），该公式给出的是估计值。

若认为磁通密度在磁芯的有效体积（effective volume）内均匀分布，则整个磁芯的损耗等于单位体积损耗乘以有效体积 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10]：

P = P_v V_e

$P$: 功率
$P_v$: 单位体积磁芯损耗（core loss）
$V_e$: 磁芯有效体积（effective volume）

整个磁芯的磁芯损耗✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

磁通密度在有效体积 V_e 内均匀

备注

认为磁通密度在有效体积

V_e = A_e l_e

内均匀分布

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10 (Basic Magnetics Theory: core loss)

公式 id

loss.core · equations.yaml 条目

高频下摆幅为什么受限

电压和占空比（duty ratio）一定时，磁通摆幅与开关频率成反比。在较高的开关频率下，使磁芯损耗保持在可接受范围内的摆幅通常远低于饱和磁通密度（saturation flux density），因此在变压器设计中，决定磁通摆幅的是磁芯损耗而不是饱和 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 12]。

例题

某一工作点（operating point）下的示例 Steinmetz 系数：

Steinmetz 参数示例

符号	数值	求法
$k$ Steinmetz 系数	1 W/m³	已知
$f$ 频率	100 kHz	已知
$\alpha$ Steinmetz 频率指数	1.5	已知
$B_\mathrm{ac}$ 交流磁通密度幅值	100 mT	已知
$\beta$ Steinmetz 磁通密度指数	2.5	已知
$V_e$ 磁芯有效体积（effective volume）	3000 mm³	已知
$P_v$ 单位体积磁芯损耗（core loss）	100 kW/m³	单位体积磁芯损耗（Steinmetz 公式）
$P$ 功率	300 mW	整个磁芯的磁芯损耗

采用这些系数，在 100 kHz 下交流磁通密度峰值为 100 mT 时，单位体积损耗为 100 kW/m³。有效体积为 3000 mm³ 的磁芯，总损耗则为 300 mW。

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预设取自例题 core-loss

在对数坐标轴上扫描（sweep） $B_\mathrm{ac}$ ：在双对数坐标图上，损耗是一条直线，其斜率为指数 $\beta$ 。磁通幅值减半，损耗除以 2 的 $\beta$ 次方。

实验练习

二次侧开路，用方波驱动变压器的一次侧，并用示波器（oscilloscope）记录一次电压和电流。两者乘积在一个周期内的平均值等于磁芯损耗加上很小的绕组损耗（winding loss）。先对电压探头和电流探头进行时延校正（deskew）：励磁电流（magnetizing current）主要是无功分量（reactive component），因此很小的时间偏差也会使结果大幅改变。将电压减半后重复测量，并将两次损耗之比与 2 的 $\beta$ 次方比较。

易错点

系数是经验值。它们只适用于拟合时所用的材料、温度以及频率和磁通密度范围 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10]。
使用峰峰值摆幅的一半。 $B_\mathrm{ac}$ 是幅值，即 $\Delta B$ 的一半；若代入整个摆幅，损耗会被高估为 2 的 $\beta$ 次方倍。
纹波小的滤波电感，摆幅也小。此时其磁芯损耗不大，饱和限制则由不产生磁芯损耗的直流磁通（dc flux）决定 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10]。

测验

磁芯损耗由哪两种机理构成？
1. 磁滞与涡流
2. 绕组电阻与集肤效应
3. 漏感与边缘磁通
4. 饱和与边缘磁通
答案与解析
正确答案：A 磁滞使 B-H 回线所包围的能量在每个周期中损耗掉；涡流在磁芯材料的电阻上耗散功率。
频率不变，磁芯中的磁通幅值减半。若 Steinmetz 指数 $\beta = 2.5$ ，磁芯损耗大约降为原来的几分之一？
1. 2
2. 2.5
3. 5.7
4. 32
答案与解析
正确答案：C 损耗与幅值的 $\beta$ 次方成正比，因此降为原来的 $2^{2.5}$ 分之一，约 5.7 分之一。
某变压器的磁通密度摆幅为 $0.2\,\mathrm{T}$ （峰峰值）。代入 Steinmetz 公式的 $B_\mathrm{ac}$ 应取哪个值？
1. $0.05\,\mathrm{T}$
2. $0.1\,\mathrm{T}$
3. $0.2\,\mathrm{T}$
4. $0.4\,\mathrm{T}$
答案与解析
正确答案：B $B_\mathrm{ac}$ 是交流峰值，即峰峰值摆幅的一半。
对于变换器中的矩形波形，为什么 Steinmetz 公式只能给出估计值？
1. 其系数是在有限范围内按正弦激励拟合的
2. 它忽略了频率
3. 它只适用于空心电感
4. 它给出的是绕组损耗而不是磁芯损耗
答案与解析
正确答案：A 这些系数来自正弦磁通下的测量；其他波形以及超出拟合范围的条件都会改变损耗。
在较高的开关频率下，限制变压器磁通摆幅的通常是什么？
1. 饱和
2. 磁芯损耗
3. 绕组电容
4. 没有限制
答案与解析
正确答案：B 使磁芯损耗保持在可接受范围内的摆幅，通常远低于饱和磁通密度。
某磁芯材料在工作点的损耗为 $10^5\,\mathrm{W/m^3}$ 。体积为 $2\,\mathrm{cm^3}$ 的磁芯损耗是多少？
1. $0.02\,\mathrm{W}$
2. $0.2\,\mathrm{W}$
3. $2\,\mathrm{W}$
4. $20\,\mathrm{W}$
答案与解析
正确答案：B 体积为 $2 \times 10^{-6}\,\mathrm{m^3}$ ，单位体积损耗乘以体积得 $0.2\,\mathrm{W}$ 。

本站例题、预设和练习中的数值均为合成值：为教学而凑整的数值，并非来自任何实际设计的数据。