磁性材料与 B-H 曲线

目标

用磁导率（permeability）表示磁通密度（flux density）与磁场强度（field intensity）的关系。
解释饱和（saturation），以及为什么必须在峰值电流（peak current）下校核电感。
由电感量、峰值电流、匝数和磁芯截面积（core area）计算电感的峰值磁通密度（peak flux density）。

理论

磁导率

在线性磁性材料（linear magnetic material）中，磁通密度与磁场强度成正比。比例系数为磁导率，写成真空磁导率（permeability of free space）与材料的相对磁导率（relative permeability）之积 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10]：

B = \mu_0 \mu_r H

$B$: 磁通密度（flux density）
$H$: 磁场强度（field intensity）
$\mu_r$: 相对磁导率（relative permeability）
$\mu_0$: 真空磁导率（permeability of free space）

线性磁性材料中的磁通密度✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

线性（未饱和）磁性材料

备注

仅在饱和以下有效；铁氧体只在其 B-H 曲线的部分范围内接近线性

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10 (Basic Magnetics Theory)

公式 id

mag.B_H · equations.yaml 条目

饱和与磁滞

这一线性关系只在饱和磁通密度（saturation flux density）以下成立。超过饱和磁通密度后，材料的磁导率骤降并趋近真空磁导率，电感量随之急剧下降 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10]。实际磁芯的 B-H 曲线还表现出磁滞（hysteresis）：磁通密度上升和下降时沿不同的路径变化，两条路径之间的面积就是每个周期损耗的能量（见磁芯损耗（core loss）页面）[Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10]。

铁氧体与铁合金

铁氧体（ferrite）的饱和磁通密度低于铁合金（iron alloy），但其电阻率（resistivity）高，涡流损耗（eddy-current loss）小，因而适用于较高的开关频率（switching frequency）[Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10]。

电感的峰值磁通密度

电感的磁链（flux linkage）等于其电感量乘以电流；再除以匝数和磁芯截面积，即得磁通密度。在峰值电流处 [Dixon 2001]、[Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10]：

B_\mathrm{pk} = \frac{L I_\mathrm{pk}}{N A_e}

$B_\mathrm{pk}$: 峰值磁通密度（flux density）
$A_e$: 磁芯有效截面积（effective area）
$I_\mathrm{pk}$: 峰值电流
$L$: 电感
$N$: 匝数

由电感和峰值电流求峰值磁通密度✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

线性（未饱和）磁性材料
磁通密度在 A_e 上均匀

出处

Dixon 2001; Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10 (Basic Magnetics Theory)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

mag.B_pk · equations.yaml 条目

包括启动（start-up）和负载瞬态（load transient）在内，在电感可能流过的最大峰值电流下，该值都必须低于饱和磁通密度。

例题

一种示例磁芯材料和一个示例电感：

磁芯材料与电感示例

符号	数值	求法
$\mu_r$ 相对磁导率（relative permeability）	2000	已知
$H$ 磁场强度（field intensity）	100 A/m	已知
$L$ 电感	100 µH	已知
$I_\mathrm{pk}$ 峰值电流	2 A	已知
$N$ 匝数	20	已知
$A_e$ 磁芯有效截面积（effective area）	100 mm²	已知
$B$ 磁通密度（flux density）	251 mT	线性磁性材料中的磁通密度
$B_\mathrm{pk}$ 峰值磁通密度（flux density）	100 mT	由电感和峰值电流求峰值磁通密度

在具有给定相对磁导率的材料中，100 A/m 的磁场产生 251 mT 的磁通密度。电感在峰值电流下达到 100 mT；将该值与磁芯材料数据手册（data sheet）中的饱和磁通密度比较。

动手试试

▶ 在公式浏览器中打开：由电感和峰值电流求峰值磁通密度
预设取自例题 ferrite-bh

保持电感量不变，扫描（sweep） $N$ ：匝数越多，峰值磁通密度越低。但在给定磁芯上，电感量本身随匝数的平方增大（由电感系数（inductance factor）求电感）；气隙页面说明气隙（air gap）如何解决这一问题。

实验练习

通过晶体管让已充电的电容向电感放电一段固定的时间，并用电流探头（current probe）观察电感电流。磁芯处于线性区时，电流沿直线上升；磁芯饱和时，斜率急剧增大。读取拐点（knee）处的电流，将其与峰值磁通密度公式和数据手册中的饱和磁通密度比较，并限制脉冲宽度，使电流不超出各元件的额定值（rating）。

易错点

饱和是突然发生的。超过饱和点后，电感量急剧下降，电流陡升 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10]；应按最坏情况（worst case）下的峰值电流设计，而不是按平均电流设计。
磁芯的磁导率不是一个精确的数值。有气隙时，电感量主要取决于气隙长度，而不是材料 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10]（见气隙页面）。

测验

在相对磁导率为 1000 的线性材料中，磁场强度为 $200\,\mathrm{A/m}$ 。磁通密度是多少？
1. $0.025\,\mathrm{T}$
2. $0.25\,\mathrm{T}$
3. $2.5\,\mathrm{T}$
4. $0.0025\,\mathrm{T}$
答案与解析
正确答案：B 磁通密度为 $\mu_0 \mu_r H$ ： $4\pi \times 10^{-7} \times 1000 \times 200$ ，约为 $0.25\,\mathrm{T}$ 。
一个 $50\,\mu\mathrm{H}$ 的电感在有效截面积为 $0.5\,\mathrm{cm^2}$ 的磁芯上绕有 10 匝，峰值电流为 $4\,\mathrm{A}$ 。其峰值磁通密度是多少？
1. $0.04\,\mathrm{T}$
2. $0.2\,\mathrm{T}$
3. $0.4\,\mathrm{T}$
4. $4\,\mathrm{T}$
答案与解析
正确答案：C 磁链为 $200\,\mu\mathrm{Wb}$ 匝；除以 10 匝和 $5 \times 10^{-5}\,\mathrm{m^2}$ ，得到 $0.4\,\mathrm{T}$ 。
磁芯饱和时，电感的电感量如何变化？
1. 急剧上升
2. 急剧下降
3. 不变
4. 变为负值
答案与解析
正确答案：B 超过饱和点后，磁导率急剧下降并趋近真空磁导率，电感量也随之急剧下降。
为什么必须在峰值电流而不是平均电流下校核电感的磁通密度？
1. 因为饱和取决于瞬时磁通密度，而瞬时磁通密度在峰值电流时最大
2. 因为平均电流总是为零
3. 因为磁芯损耗只取决于峰值
4. 不必如此：按平均电流校核就够了
答案与解析
正确答案：A 只要磁通密度超过限值，即使每个周期只超过一瞬间，磁芯也会饱和。
铁氧体磁芯的饱和磁通密度较低，为什么仍用于较高的开关频率？
1. 其电阻率高，涡流损耗小
2. 它们永远不会饱和
3. 它们没有磁滞
4. 它们总是最便宜的选择
答案与解析
正确答案：A 涡流由变化的磁通感应产生；高电阻率可以限制涡流，频率越高，这一点越重要。
把一个电感改绕在绕线窗口（winding window）更大的磁芯上：电感量相同，峰值电流相同，匝数加倍。若磁芯截面积不变，峰值磁通密度如何变化？
1. 加倍
2. 减半
3. 不变
4. 变为四倍
答案与解析
正确答案：B 电感量和电流一定时，峰值磁通密度与匝数成反比。

本站例题、预设和练习中的数值均为合成值：为教学而凑整的数值，并非来自任何实际设计的数据。