设计实例

目标

• 从电源到开关管，完整跟踪一个能量收集设计。
• 估算无损电阻从幅值按缓慢包络（envelope）变化的电源取得的平均功率。
• 在包络峰值处检查设计：是否处于 DCM，以及开关管电压。

理论

电源

本例的电源是线性的：开路电压串联一个大的源内阻，其幅值沿缓慢的包络起伏，包络是同一个正弦半波的不断重复。在每一时刻，它最多能给出线性源的最大功率，该量随包络的平方变化。

变换器

设计成与源内阻相等的无损电阻（无损电阻的励磁电感）、固定占空比且工作在 DCM 的反激变换器，把输入保持在电源电压的一半，并在每一时刻都取得全部可用功率（无损电阻的功率提取比），前提是满足两个条件。它在包络峰值处，即母线电压最高处，也必须保持在 DCM（临界输入电压）。此外，包络相对于母线自身的时间常数（time constant），即母线电容乘以源内阻与输入电阻的并联值，必须足够缓慢，使母线电压能跟随包络 [Alexander & Sadiku 2017, Ch. 7 (First-Order Circuits)]。

平均功率

在整个包络上取平均，功率为其峰值处数值的一半，因为正弦平方的平均值是其峰值平方的一半 [Alexander & Sadiku 2017, Ch. 11]：

$$\bar{P} = \frac{\eta_\mathrm{ext} \hat{V}_\mathrm{oc}^{2}}{8 R_s}$$

$\bar{P}$

包络周期内的平均功率

$R_s$

源内阻（source resistance）

$\hat{V}_\mathrm{oc}$

开路电压峰值

$\eta_\mathrm{ext}$

可用功率中被提取的比例

无损电阻从开路电压按正弦包络变化的源获取的平均功率✓ 经 8 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 内阻为 R_s 的线性（戴维南）源 V_oc
• 包络相对母线时间常数变化缓慢，且变换器始终表现为无损电阻（DCM）

备注

功率 $\eta_\mathrm{ext} V_\mathrm{oc}^2/(4 R_s)$ 随包络的平方变化，而正弦（或整流正弦）平方的平均值是其峰值平方的一半

出处

Alexander & Sadiku 2017, Sec. 4.8 (Maximum Power Transfer) and Ch. 11 (AC Power Analysis); derived here

推导

sympy 逐步推导

公式 id

lfr.P_env · equations.yaml 条目

源匹配工具逐个开关周期地仿真这样的包络，并显示：在峰值会使反激变换器进入 CCM 的地方，母线电压被保持在临界电压。

开关管

反激变换器开关工作期间，包络峰值决定其开关管阻断的最高电压：母线电压加上反射的输出电压（开关管电压），其上再叠加漏感尖峰（缓冲电路与钳位电路）。按平均值或包络起始处选定额定值的开关管，会在峰值处损坏。在它不开关时，即启动时、欠压锁定（undervoltage lockout）期间或故障之后，母线上没有负载，会充电到电源开路电压的峰值，随后开关动作就从该电压开始：除非有钳位电路把母线电压限制得更低，否则母线电容必须承受该峰值，开关管必须承受该峰值加上反射的输出电压。

例题

本例在包络峰值处和平均意义下的情况：

能量收集源示例

符号	数值	求法
$\hat{V}_\mathrm{oc}$ 开路电压峰值	1 kV	已知
$R_s$ 源内阻（source resistance）	1 MΩ	已知
$T_\mathrm{env}$ 包络半波时长	10 s	已知
$f_s$ 开关频率	1 kHz	已知
$D$ 占空比（duty ratio）	0.05	已知
$V$ 输出电压	5 V	已知
$V_D$ 输出二极管正向压降（forward drop）	500 mV	已知
$n$ 匝比（turns ratio），二次/一次	0.1	已知
$P_\mathrm{max}$ 最大可用功率	250 mW	线性源的最大功率
$L_M$ 励磁电感（magnetizing inductance），折算到一次侧	1.25 H	呈现给定输入电阻的 DCM 反激变换器的励磁电感
$R_\mathrm{in}$ 等效输入电阻（emulated resistance）	1 MΩ	DCM 升降压或反激变换器的输入电阻（无损电阻）
$V_g$ 输入电压	500 V	由线性源供电的无损电阻的母线电压
$\eta_\mathrm{ext}$ 可用功率中被提取的比例	1	无损电阻的功率提取比
$\bar{P}$ 包络周期内的平均功率	125 mW	无损电阻从开路电压按正弦包络变化的源获取的平均功率
$V_{g,\mathrm{crit}}$ CCM/DCM 临界处的输入电压	1.04 kV	反激变换器：CCM/DCM 临界处的输入电压（固定 D，固定输出）
$V_\mathrm{DS}$ 开关管关断时的电压	555 V	反激变换器开关管关断时的电压（不含漏感尖峰）

工作模式：包络峰值处为 DCM：全程为无损电阻（$V_g < V_{g,\mathrm{crit}}$：成立）

电源串联 1 MΩ，沿由每段持续 10 s 的正弦半波构成的包络升至 1 kV；在峰值处它可给出 250 mW。在 1 kHz 和 0.05 下，1.25 H 的励磁电感（magnetizing inductance）呈现 1 MΩ 的电阻，因此反激变换器在每一时刻都取得全部可用功率：平均为 125 mW。在峰值处，母线电压达到 500 V，低于 1.045 kV 的临界电压，开关管在漏感尖峰之前阻断 555 V。

动手试试

▶ 在公式浏览器中打开：无损电阻从开路电压按正弦包络变化的源获取的平均功率
预设取自例题 harvesting-source

扫描包络峰值：平均功率随其平方变化。

▶ 在公式浏览器中打开：无损电阻的功率提取比
预设取自例题 harvesting-source

在源内阻附近扫描反激变换器的输入电阻：在两倍范围以内，取得的比例始终接近全部。

实验练习

不要在开放的实验台上按全电压搭建本例。应将其按比例缩小：把电源电压除以某个系数，电阻保持不变，于是母线电压也除以该系数，功率除以该系数的平方；输出电压及其经变压器的反射电压保持不变。用一台按包络逐级改变输出的可编程电源，串联一个等于源内阻的电阻，来模拟电源；负载则用以固定占空比工作的反激变换器。记录每一步的输入电压和输入电流，计算功率，并将其在包络上的平均值与按比例缩放后的公式结果比较。

易错点

• 空载的母线会充电到开路电压。串联大电阻时，电源电流很小，但并接在电源两端的电容仍会充到全部电压并保持住：应按该电压选择母线和开关管的额定值，或对母线加钳位。
• 平均值要求包络缓慢变化。若包络的变化与母线时间常数相当，母线电压就跟不上包络，无损电阻取得的比例也不再在每一时刻成立。
• 在峰值处而不是平均值处检查 DCM（临界输入电压）。
• 开关管的额定值要按峰值选择，还要考虑空载的母线（开关管电压）。

延伸阅读

• 图书章节 AC and DC Equivalent Circuit Modeling of the Discontinuous Conduction Mode (Ch. 15) — R. W. Erickson, D. Maksimović · 访问于 2026-09-23
  DCM 平均开关模型，其输入表现为无损电阻。
• 图书章节 The Discontinuous Conduction Mode (Ch. 5) — R. W. Erickson, D. Maksimović · 访问于 2026-09-23
  DCM 的成因、以 K 和 K_crit 表示的临界条件，以及用电荷平衡推导出的 DCM 电压变换比。

测验

1. 一个电源串联 1 Mohm，其开路电压升到 500 V。它在峰值处最多能给出多少功率？

   1. 62.5 mW
   2. 125 mW
   3. 250 mW
   4. 31.3 mW
   答案与解析

   正确答案：A 500 V 的平方除以 1e6 ohm 的四倍：250000 除以 4e6，即 62.5 mW。

2. 一个匹配的无损电阻在一个缓慢的正弦包络上始终保持 DCM，该包络的峰值即上题中的峰值。它取得的平均功率是多少？

   1. 62.5 mW
   2. 31.3 mW
   3. 15.6 mW
   4. 44.2 mW
   答案与解析

   正确答案：B 功率随包络的平方变化，而正弦平方的平均值是其峰值平方的一半：即 62.5 mW 的一半。

3. 一个反激变换器工作在 2 kHz、占空比 0.05，须呈现 1 Mohm。它需要多大的励磁电感？

   1. 1.25 H
   2. 2.5 H
   3. 0.625 H
   4. 6.25 H
   答案与解析

   正确答案：C 电阻乘以占空比的平方，再除以开关频率的两倍：1e6 乘以 0.0025 除以 4000。

4. 对于幅值按包络变化的电源，应在何处检查 DCM？

   1. 包络的平均值处
   2. 包络的起始处
   3. 任何地方：DCM 与电源无关
   4. 包络峰值处，此时母线电压最高
   答案与解析

   正确答案：D 临界输入电压是固定的；母线电压在峰值处最高，CCM 会首先在那里接管。

5. 母线电容为 1 uF，源内阻和反激变换器的输入电阻均为 1 Mohm。母线的时间常数是多少？

   1. 0.5 s
   2. 1 s
   3. 2 s
   4. 0.25 s
   答案与解析

   正确答案：A 电容乘以两个电阻的并联值：1e-6 乘以 0.5e6 ohm。

6. 反激变换器停止开关，母线上也没有其他负载。电源开路电压为 1 kV、串联 1 Mohm 时，母线电压稳定在何处？

   1. 零：1 Mohm 几乎不让电流通过
   2. 开路电压的一半
   3. 全部开路电压，即 1 kV
   4. 临界输入电压
   答案与解析

   正确答案：C 没有负载时，没有电流流过，源内阻上也没有压降：电容充到全部开路电压，并保持住。