作为无损电阻的 DCM 反激变换器

目标

• 设计固定占空比的 DCM 反激（flyback）变换器，使其输入电阻等于源内阻。
• 求出电源幅值高于何值时它会退出 DCM，并了解此后它的表现。
• 了解其开关管阻断的电压，以及为什么经同一电阻吸取更多功率时该电压会更高。

理论

确定无损电阻的参数

固定占空比、工作在 DCM 的反激变换器，在输入端呈现无损电阻（loss-free resistor）特性 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 15 (AC and DC Equivalent Circuit Modeling of the Discontinuous Conduction Mode)]。由该电阻解出励磁电感（magnetizing inductance），就得到设计所需的电感：

$$L_M = \frac{R_\mathrm{in} D^{2}}{2 f_s}$$

$L_M$

励磁电感（magnetizing inductance），折算到一次侧

$D$

占空比（duty ratio）

$R_\mathrm{in}$

等效输入电阻（emulated resistance）

$f_s$

开关频率

呈现给定输入电阻的 DCM 反激变换器的励磁电感✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 理想（无损）开关器件与无源元件
• 断续导通模式（DCM）
• 周期稳态

备注

由无损电阻 $R_\mathrm{in} = 2 L_M f_s / D^2$ 解出 $L_M$；与线性源匹配时取 $R_\mathrm{in} = R_s$

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 15 (AC and DC Equivalent Circuit Modeling of the Discontinuous Conduction Mode); derived here; Singer 1990

推导

sympy 逐步推导

公式 id

lfr.L_M · equations.yaml 条目

为与线性源匹配，令输入电阻等于源内阻（无损电阻的功率提取比）。开关频率越低或占空比越大，得到同一电阻所需的电感越大。输出电压不出现在式中：在 DCM 下，输入电阻只取决于电感、开关频率和占空比。

DCM 在何处结束

只要输入电压低于临界输入电压，反激变换器就保持在 DCM；临界输入电压（critical input voltage）由输出电压、二极管压降、占空比和匝比决定。若电源强到足以使分压所得的电压（无损电阻的母线电压）高于该值，就会把反激变换器推入 CCM。输出固定时，CCM 电压变换比只允许一个输入电压，即临界输入电压 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 6 (Converter Circuits)]：母线电压被保持在该值，反激变换器成为恒压负载（constant-voltage sink），它取得的可用功率比例取决于电源幅值（恒压负载的功率提取比）。

开关管阻断的电压与更大的功率

开关管阻断输入电压与经匝比反射的输出电压之和（开关管电压），漏感尖峰还会叠加在其上（缓冲电路与钳位电路）。经同一输入电阻，更大的功率需要更高的输入电压：

$$V_g = \sqrt{P R_\mathrm{in}}$$

$V_g$

输入电压

$P$

功率

$R_\mathrm{in}$

等效输入电阻（emulated resistance）

无损电阻吸取给定功率时的输入电压✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 理想（无损）开关器件与无源元件
• 断续导通模式（DCM）
• 周期稳态

备注

输入电阻不变时，要吸取更多功率就需要更高的输入电压，开关管也必须阻断这一电压

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 15 (AC and DC Equivalent Circuit Modeling of the Discontinuous Conduction Mode); derived here; Singer 1990

推导

sympy 逐步推导

公式 id

lfr.Vg_power · equations.yaml 条目

因此，经匹配的反激变换器吸取更多功率，会使其开关管电压升高。这一关系只到临界电压为止。在临界电压处，CCM 保持母线电压不变；在反激变换器开关工作期间，无论电源此后再注入多少功率，开关管电压都保持在其 CCM 值；反激变换器作为电阻所能吸取的最大功率，是临界电压下变换器在 DCM 下吸取的功率。

例题

输入电阻设计为等于源内阻的反激变换器：

无损电阻反激变换器示例

符号	数值	求法
$V_\mathrm{oc}$ 电源开路电压（open-circuit voltage）	150 V	已知
$R_s$ 源内阻（source resistance）	10 kΩ	已知
$D$ 占空比（duty ratio）	0.2	已知
$f_s$ 开关频率	10 kHz	已知
$V$ 输出电压	5 V	已知
$V_D$ 输出二极管正向压降（forward drop）	500 mV	已知
$n$ 匝比（turns ratio），二次/一次	0.1	已知
$L_M$ 励磁电感（magnetizing inductance），折算到一次侧	20 mH	呈现给定输入电阻的 DCM 反激变换器的励磁电感
$R_\mathrm{in}$ 等效输入电阻（emulated resistance）	10 kΩ	DCM 升降压或反激变换器的输入电阻（无损电阻）
$V_g$ 输入电压	75 V	由线性源供电的无损电阻的母线电压
$\eta_\mathrm{ext}$ 可用功率中被提取的比例	1	无损电阻的功率提取比
$P_\mathrm{max}$ 最大可用功率	563 mW	线性源的最大功率
$V_{g,\mathrm{crit}}$ CCM/DCM 临界处的输入电压	220 V	反激变换器：CCM/DCM 临界处的输入电压（固定 D，固定输出）
$V_\mathrm{DS}$ 开关管关断时的电压	130 V	反激变换器开关管关断时的电压（不含漏感尖峰）

工作模式：DCM：反激变换器为无损电阻（$V_g < V_{g,\mathrm{crit}}$：成立）

在 0.2 和 10 kHz 下，20 mH 的励磁电感呈现 10 kΩ 的电阻，即源内阻。于是电源的 150 V 被分压为 75 V，低于 220 V 的临界输入电压：反激变换器取得全部可用功率 563 mW，其开关管在漏感尖峰之前阻断 130 V。

动手试试

▶ 在公式浏览器中打开：呈现给定输入电阻的 DCM 反激变换器的励磁电感
预设取自例题 lfr-flyback

扫描占空比：呈现同一电阻所需的电感随占空比的平方增大。

▶ 在仿真器中打开：反激
预设取自例题 flyback-source

同类反激变换器接更强的电源：母线电压不断上升，直到 CCM 开始，随后稳定在临界输入电压。

实验练习

搭建占空比固定的反激变换器，并在其输入端并接母线电容；电容要足够大，使它与串联电阻一起在许多个开关周期内对脉动的输入电流取平均。由实验室电源经一个串联电阻给它供电，该电阻等于计算所得的输入电阻。测量输入电压：它应处在实验室电源电压的一半。缓慢升高实验室电源电压，直到输入电压不再随之升高；此时的电压即临界输入电压，将其与公式比较。实验室电源必须达到该电压的两倍，按例题的数值为几百伏，而母线电容会保持它所达到的电压：应把电路封闭在外壳内，接触之前先经电阻给电容放电。更大的匝比 n（N_s/N_p）会降低临界电压（临界输入电压），使实验在更安全的电压下进行。每一步都用额定电压足够的探头采集开关管的漏极电压（探头），读出漏感尖峰之前的平台电压，并与公式对照。

易错点

• 高于临界输入电压时，反激变换器不再匹配。在该电压下，CCM 把母线电压保持不变（临界输入电压）。
• 开关管电压包含反射的输出电压，漏感尖峰还会叠加在其上（开关管电压）。
• 反激变换器不开关时，母线会充电到开路电压：在启动时、欠压锁定期间或故障之后，没有任何电路从电源吸取功率。此时开关管要阻断该电压加上反射的输出电压：应按此选择其额定值，或对母线加钳位（设计实例）。
• 经同一电阻吸取更多功率需要更高的电压（给定功率所需的输入电压）。
• 匹配对误差不敏感。取得的比例在峰值处很平坦：电感的小误差使输入电阻偏离同样的比例，而取得的比例只下降约该比例平方的四分之一（无损电阻的功率提取比）。

延伸阅读

• 图书章节 AC and DC Equivalent Circuit Modeling of the Discontinuous Conduction Mode (Ch. 15) — R. W. Erickson, D. Maksimović · 访问于 2026-09-23
  DCM 平均开关模型，其输入表现为无损电阻。
• 图书章节 The Discontinuous Conduction Mode (Ch. 5) — R. W. Erickson, D. Maksimović · 访问于 2026-09-23
  DCM 的成因、以 K 和 K_crit 表示的临界条件，以及用电荷平衡推导出的 DCM 电压变换比。
• 论文 Optimized piezoelectric energy harvesting circuit using step-down converter in discontinuous conduction mode — G. K. Ottman, H. F. Hofmann, G. A. Lesieutre · 访问于 2026-09-24
  位于压电元件与电池之间、工作在 DCM 下的降压变换器，以收集能量最多的占空比运行。

测验

1. 一个反激变换器工作在 5 kHz、占空比 0.1，须在 DCM 下呈现 20 kohm，即源内阻。它需要多大的励磁电感？

   1. 20 mH
   2. 40 mH
   3. 2 mH
   4. 200 mH
   答案与解析

   正确答案：A 输入电阻乘以占空比的平方，再除以开关频率的两倍：2e4 乘以 0.01 除以 1e4，即 0.02 H。

2. 开关频率和电阻不变，占空比加倍到 0.2。此时需要多大的电感？

   1. 40 mH
   2. 10 mH
   3. 80 mH
   4. 20 mH
   答案与解析

   正确答案：C 电感随占空比的平方增大：为 20 mH 的四倍。

3. 与线性源匹配的 DCM 反激变换器把输入电压保持在何处？

   1. 电源的开路电压
   2. 临界输入电压
   3. 输出电压乘以匝比
   4. 电源开路电压的一半
   答案与解析

   正确答案：D 其输入电阻等于源内阻，因此两者把电源电压平分。

4. 电源不断增强，直到分压所得的电压将超过临界输入电压。反激变换器会怎样？

   1. 进入 CCM，CCM 把其输入保持在临界电压
   2. 保持在 DCM，输入继续升高
   3. 停止开关
   4. 输出电压随电源升高
   答案与解析

   正确答案：A 输出固定时，CCM 电压变换比只允许临界输入电压：母线电压被保持在该值，反激变换器成为恒压负载。

5. 一个反激变换器输出 5 V，二极管压降 0.5 V，占空比 0.2，匝比 0.1，输入处在 75 V。其临界输入电压是多少？它是否工作在 DCM？

   1. 55 V, CCM
   2. 220 V, DCM
   3. 27.5 V, CCM
   4. 440 V, DCM
   答案与解析

   正确答案：B 5.5 V 乘以 0.8，除以（0.1 乘以 0.2），得 220 V；输入低于该值，因此反激变换器工作在 DCM。

6. 在漏感尖峰之前，其开关管阻断的电压是多少？

   1. 75 V
   2. 80.5 V
   3. 130 V
   4. 550 V
   答案与解析

   正确答案：C 输入电压加上经匝比反射的输出电压与二极管电压之和：75 V 加上 5.5 V 除以 0.1。

7. 励磁电感实际偏低 10 %。反激变换器大约损失多少可用功率？

   1. 10 %
   2. 5 %
   3. 1 %
   4. 四分之一个百分点
   答案与解析

   正确答案：D 输入电阻同样偏低 10 %；在提取比例的峰值处，偏离某一比例只损失约该比例平方的四分之一：4 乘以 0.9 除以 1.9 的平方，得 0.997。