推导

下面每一节都由 python/pe_core/derive/ 中的一个脚本生成。同一脚本也在 pytest 下运行：除非推导结果（derived result）与 equations.yaml 中存储的表达式之差（symbolic difference）经符号化简后为零，否则测试不通过。文字说明和标题由人工撰写；本页的每个公式都由 sympy 从这些脚本中输出。

基础复习：元件特性方程（element laws）、阻抗、傅里叶级数、磁学（magnetics）、理想变压器

在恒定激励下对元件的伏安关系积分；由这些关系的相量形式得到阻抗；在一个周期内计算脉冲序列的傅里叶系数和有效值；理想变压器则在磁芯无损、磁阻为零的条件下由法拉第定律和安培环路定律导出。

1. 电感的伏安关系：$v = L\,\mathrm{d}i/\mathrm{d}t$。电压 $V_L$ 恒定时，电流的斜率恒定；在区间 $t$ 上对其积分。

   $$\int\limits_{0}^{t} \frac{V_L}{L}\, d\tau$$

2. 计算该积分。

   $$\Delta i = \frac{V_L t}{L}$$

   ✓ 复现的公式 ind.di（pytest 用 sympy 验证两者相等）

3. 与之对偶的电容伏安关系：$i = C\,\mathrm{d}v/\mathrm{d}t$，在电流 $I_C$ 恒定时积分。

   $$\int\limits_{0}^{t} \frac{I_C}{C}\, d\tau$$

4. 计算该积分。

   $$\Delta v_C = \frac{I_C t}{C}$$

   ✓ 复现的公式 cap.dv（pytest 用 sympy 验证两者相等）

5. 送入电感的能量：$\int v\,i\,\mathrm{d}t = \int L\,i\,\mathrm{d}i$，从电流为零积分到 $I_L$。

   $$\int\limits_{0}^{I_L} L i\, di$$

6. 计算该积分。

   $$E_L = \frac{L I_L^{2}}{2}$$

   ✓ 复现的公式 ind.E（pytest 用 sympy 验证两者相等）

7. 送入电容的能量：$\int v\,i\,\mathrm{d}t = \int C\,v\,\mathrm{d}v$，从电压为零积分到 $V_C$。

   $$\int\limits_{0}^{V_C} C v\, dv$$

8. 计算该积分。

   $$E_C = \frac{C V_C^{2}}{2}$$

   ✓ 复现的公式 cap.E（pytest 用 sympy 验证两者相等）

9. 在正弦稳态下，$\mathrm{d}/\mathrm{d}t$ 变为乘以 $j\omega$，其中 $\omega = 2\pi f$。由电感的伏安关系得到电感的阻抗。

   $$Z_L = 2 \pi i L f$$

10. 其模值。

    $$|Z_L| = 2 \pi f L$$

    ✓ 复现的公式 imp.ZL（pytest 用 sympy 验证两者相等）

11. 由电容的伏安关系得到电容的阻抗。

    $$Z_C = - \frac{i}{2 \pi C f}$$

12. 其模值。

    $$|Z_C| = \frac{1}{2 \pi f C}$$

    ✓ 复现的公式 imp.ZC（pytest 用 sympy 验证两者相等）

13. 空载 R-C 低通滤波器：输出为 $R_f$ 与电容阻抗构成的分压器中电容上分得的电压。

    $$G(j\omega) = - \frac{i}{2 \pi C_f R_f f - i}$$

14. 模值的平方。

    $$\left|{G(j\omega)}\right|^{2} = \frac{1}{1 + 4 \pi^{2} C_f^{2} R_f^{2} f^{2}}$$

15. 转折（-3 dB）频率是模值平方降为一半时的频率。

    $$f_c = \frac{1}{2 \pi R_f C_f}$$

    ✓ 复现的公式 rc.fc（pytest 用 sympy 验证两者相等）

16. 用 $f_c$ 代替 $R_f C_f$ 表示模值。

    $$|G| = \frac{f_c}{\sqrt{f^{2} + f_c^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{f}{f_c}\right)^{2}}}$$

    ✓ 复现的公式 rc.gain（pytest 用 sympy 验证两者相等）

17. 并联寄生电容的电感：导纳相加。

    $$Y = 2 \pi i C_p f - \frac{i}{2 \pi L f}$$

18. 谐振时导纳为零（对无损模型，阻抗为无穷大）。

    $$f_\mathrm{srf} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L C_p}}$$

    ✓ 复现的公式 passive.f_srf（pytest 用 sympy 验证两者相等）

19. 高度为 $V_\mathrm{pk}$、宽度为 $D T$、每个周期 $T$ 出现一次的脉冲序列。其第 $h$ 次谐波的余弦系数：

    $$a_{h,\cos} = \frac{V_\mathrm{pk} \sin{\left(2 \pi D h \right)}}{\pi h}$$

20. 以及正弦系数：

    $$a_{h,\sin} = \frac{2 V_\mathrm{pk} \sin^{2}{\left(\pi D h \right)}}{\pi h}$$

21. 谐波幅值的平方等于两系数的平方和；利用 $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$，可化为完全平方式。

    $$a_h^{2} = \frac{4 V_\mathrm{pk}^{2} \sin^{2}{\left(\pi D h \right)}}{\pi^{2} h^{2}}$$

22. 取非负的平方根。

    $$a_h = \frac{2 V_\mathrm{pk} \left|{\sin{\left(\pi h D \right)}}\right|}{\pi h}$$

    ✓ 复现的公式 fourier.pulse.harm（pytest 用 sympy 验证两者相等）

23. 一个周期内的均方值：脉冲贡献 $V_\mathrm{pk}^2$，持续 $D T$。

    $$V_\mathrm{rms}^{2} = D V_\mathrm{pk}^{2}$$

24. 有效值为其平方根。

    $$V_\mathrm{rms} = V_\mathrm{pk} \sqrt{D}$$

    ✓ 复现的公式 fourier.pulse.rms（pytest 用 sympy 验证两者相等）

25. 纹波电流流过电容的串联电阻，该电阻上的电压每一时刻都随电流变化。其最大值与最小值之差：

    $$\Delta v_\mathrm{ESR} = i_{C,\mathrm{max}} R_\mathrm{ESR} - i_{C,\mathrm{min}} R_\mathrm{ESR}$$

26. 电流的峰峰值等于其最大值减去最小值。

    $$\Delta v_\mathrm{ESR} = R_\mathrm{ESR} \Delta i_{L,\mathrm{pp}}$$

    ✓ 复现的公式 cap.esr.ripple（pytest 用 sympy 验证两者相等）

27. 绕磁芯一周应用安培环路定律：$H$ 的线积分等于所包围的电流，即 $N$ 匝、每匝流过 $I_w$。在磁场均匀的无气隙磁芯中，该线积分等于 $H$ 乘以磁路长度。

    $$H l_e = I_w N$$

28. 解出 $H$。

    $$H = \frac{N I_w}{l_e}$$

    ✓ 复现的公式 mag.H_ampere（pytest 用 sympy 验证两者相等）

29. 对同一磁芯上的两个绕组应用法拉第定律：每个绕组的电压等于其匝数乘以公共磁通的变化率。一次绕组：

    $$V_1 = N_p \mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t$$

30. 以及二次绕组：

    $$V_2 = N_s \mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t$$

31. 两式相除：磁通项消去，匝数之比为 $n$（1:n 约定）。

    $$V_2 = n V_1$$

    ✓ 复现的公式 xfmr.V2（pytest 用 sympy 验证两者相等）

32. 磁芯磁阻为零（理想）时的安培环路定律：净磁动势为零。

    $$I_1 N_p - I_2 N_s = 0$$

33. 代入 $N_s = n N_p$，解出二次侧电流。

    $$I_2 = \frac{I_1}{n}$$

    ✓ 复现的公式 xfmr.I2（pytest 用 sympy 验证两者相等）

推导脚本：python/pe_core/derive/foundations.py

平均化（averaging）、平衡条件（balance）与平均模型中的损耗

开关变换器将直流输入斩波为脉冲序列，低通滤波器保留其平均值。将每个电路方程在一个周期内取平均，开关电路即变为直流模型，其中电感绕组电阻 $R_L$ 等损耗表现为普通电阻。

1. 降压变换器的开关节点电压为 $V_g$（$0 < t < D T_s$）或 $0$（$D T_s < t < T_s$）；在一个周期内对其取平均。

   $$\langle v_s \rangle = \frac{\int\limits_{0}^{T_s} v_s\, dt}{T_s}$$

2. 计算两段积分。

   $$\langle v_s \rangle = D V_g$$

   ✓ 复现的公式 sw.v_avg（pytest 用 sympy 验证两者相等）

3. 电感满足 $v_L = L \, di/dt$。在一个周期内积分，电流的变化量等于电压的积分除以 $L$。

   $$\Delta i = \frac{\int\limits_{0}^{T_s} v_L\, dt}{L}$$

4. 若电压为 $v_{L,\mathrm{on}}$，持续 $D T_s$，其余时间为 $v_{L,\mathrm{off}}$，则该积分等于 $T_s$ 乘以一个周期内的平均值。

   $$\langle v_L \rangle = v_{L,\mathrm{off}} + v_{L,\mathrm{on}} D - v_{L,\mathrm{off}} D$$

5. 因此一个周期内的变化量等于平均电压乘以 $T_s$ 再除以 $L$；只有平均电压为零时，变化量才为零（伏秒平衡）。

   $$\Delta i = \frac{\langle v_L \rangle T_s}{L}$$

   ✓ 复现的公式 vsb.drift（pytest 用 sympy 验证两者相等）

6. 在小纹波近似下，电感电压（或电容电流）先取值 $x_\mathrm{on}$，持续 $D T_s$，再取值 $x_\mathrm{off}$，持续 $(1 - D) T_s$；其平均值必须为零。

   $$x_\mathrm{off} \left(1 - D\right) + x_\mathrm{on} D = 0$$

7. 对电感电压（$x = v_L$）：伏秒平衡。

   $$v_{L,\mathrm{off}} = \frac{D v_{L,\mathrm{on}}}{-1 + D} = - \frac{D v_{L,\mathrm{on}}}{1 - D}$$

   ✓ 复现的公式 vsb.v_off（pytest 用 sympy 验证两者相等）

8. 对电容电流（$x = i_C$）：电荷平衡。

   $$i_{C,\mathrm{off}} = \frac{D i_{C,\mathrm{on}}}{-1 + D} = - \frac{D i_{C,\mathrm{on}}}{1 - D}$$

   ✓ 复现的公式 csb.i_off（pytest 用 sympy 验证两者相等）

9. 含电感绕组电阻 $R_L$ 的升压变换器，伏秒平衡：开关管导通期间电感电压为 $V_g - I R_L$，二极管导通期间为 $V_g - I R_L - V$（$I$ 为电感直流电流）。

   $$D \left(V_g - I R_L\right) + \left(1 - D\right) \left(V_g - V - I R_L\right) = 0$$

10. 输出电容的电荷平衡：开关管导通期间为 $-V/R$，二极管导通期间为 $I - V/R$。

    $$\left(1 - D\right) \left(I - \frac{V}{R}\right) - \frac{D V}{R} = 0$$

11. 由这两个线性方程解出 $I$。

    $$I = \frac{V_g}{R + R_L - 2 D R + R D^{2}}$$

12. 并解出 $M = V/V_g$。

    $$M = \frac{R \left(1 - D\right)}{R + R_L - 2 D R + R D^{2}} = \frac{1}{\left(1 - D\right) \left(1 + \frac{R_L}{\left(1 - D\right)^{2} R}\right)}$$

    ✓ 复现的公式 boost.ccm.M_RL（pytest 用 sympy 验证两者相等）

13. 效率等于输出功率 $V^2/R$ 除以输入功率 $V_g I$。

    $$\eta = \frac{R \left(-1 + D\right)^{2}}{R + R_L - 2 D R + R D^{2}} = \frac{1}{1 + \frac{R_L}{\left(1 - D\right)^{2} R}}$$

    ✓ 复现的公式 boost.ccm.eta_RL（pytest 用 sympy 验证两者相等）

推导脚本：python/pe_core/derive/averaging.py

CCM 电压变换比（conversion ratio）与纹波

在周期稳态下，每个电感电流在一个开关周期结束时都回到起始值，因此一个周期内电感电压的平均值为零。在小纹波近似下，每个区间施加的电压恒定，平衡条件成为关于输出电压 $V$ 的线性方程。

1. 伏秒平衡：电感电压在一个开关周期内的平均值为零。

   $$\langle v_L \rangle = 0$$

2. 降压变换器：开关管导通期间电感电压为 $V_g - V$（占比 $D$），二极管导通期间为 $-V$（$1 - D$）。

   $$D \left(V_g - V\right) - V \left(1 - D\right) = 0$$

3. 解出 $V$，再除以 $V_g$。

   $$M = D$$

   ✓ 复现的公式 buck.ccm.M（pytest 用 sympy 验证两者相等）

4. 升压变换器：开关管导通期间为 $V_g$，二极管导通期间为 $V_g - V$。

   $$D V_g + \left(1 - D\right) \left(V_g - V\right) = 0$$

5. 解出 $V$。

   $$M = - \frac{1}{-1 + D} = \frac{1}{1 - D}$$

   ✓ 复现的公式 boost.ccm.M（pytest 用 sympy 验证两者相等）

6. 升降压变换器：开关管导通期间为 $V_g$，二极管导通期间为（负的）输出电压 $V$。

   $$V \left(1 - D\right) + D V_g = 0$$

7. 解出 $V$；输出反相。

   $$M = \frac{D}{-1 + D} = - \frac{D}{1 - D}$$

   ✓ 复现的公式 buckboost.ccm.M（pytest 用 sympy 验证两者相等）

8. 反激变换器（1:$n$，励磁电感在一次侧）：开关管导通期间为 $V_g$；二极管导通期间二次侧被钳位在 $V$，反射到一次侧为 $-V/n$。

   $$D V_g - \frac{V \left(1 - D\right)}{n} = 0$$

9. 解出 $V$。

   $$M = - \frac{D n}{-1 + D} = \frac{n D}{1 - D}$$

   ✓ 复现的公式 flyback.ccm.M（pytest 用 sympy 验证两者相等）

10. 正激变换器：开关管导通期间，二次侧向输出滤波器施加 $nV_g$，因此输出电感电压为 $nV_g - V$；随后在续流二极管导通期间为 $-V$。

    $$D \left(- V + V_g n\right) - V \left(1 - D\right) = 0$$

11. 解出 $V$。

    $$M = n D$$

    ✓ 复现的公式 forward.ccm.M（pytest 用 sympy 验证两者相等）

12. 正激变换器的磁复位：励磁电感电压为 $V_g$，持续 $D T_s$；随后复位绕组（$N_r$ 匝）将其钳位在 $-V_g/n_r$，持续 $D_2 T_s$，直到励磁电流回到零。

    $$D V_g - \frac{D_2 V_g}{n_r} = 0$$

13. 解出复位区间。

    $$D_2 = D n_r$$

14. 复位必须在一个周期内完成，即 $D + D_2 \le 1$；取等号得到最大占空比。

    $$D_\mathrm{max} = \frac{1}{1 + n_r}$$

    ✓ 复现的公式 forward.reset.Dmax（pytest 用 sympy 验证两者相等）

15. 降压变换器的纹波：导通区间内电感电流以斜率 $(V_g - V)/L$ 上升，持续 $D T_s$，上升量即整个纹波峰峰值，也就是 $2\Delta i_L$。

    $$2 \Delta i_L = \frac{D T_s \left(V_g - V\right)}{L}$$

16. 其一半即 Erickson 的 $\Delta i_L$。

    $$\Delta i_L = \frac{\left(V_g - V\right) D T_s}{2 L}$$

    ✓ 复现的公式 buck.ripple.iL（pytest 用 sympy 验证两者相等）

17. 代入 $T_s = 1/f_s$ 后的峰峰值。

    $$\Delta i_{L,\mathrm{pp}} = \frac{\left(V_g - V\right) D}{L f_s}$$

    ✓ 复现的公式 buck.ripple.iL_pp（pytest 用 sympy 验证两者相等）

推导脚本：python/pe_core/derive/ccm_ratios.py

CCM/DCM 临界（boundary）与 DCM 电压变换比

当电感电流纹波大到使电流降至零时，变换器退出 CCM：临界时，纹波峰峰值的一半 $\Delta i_L$ 等于电感直流电流。DCM 中出现第三个区间 $D_3 T_s$，其间开关管和二极管均关断；该区间长度未知，因此须将伏秒平衡与电容电荷平衡联立（二极管或电感的平均电流必须等于负载所取的电流）。

1. 通篇采用的定义：$K = 2L/(R T_s)$，即 $L = K R T_s/2$。

   $$K = \frac{2 L}{R T_s}$$

2. 降压变换器：电感直流电流等于负载电流 $V/R$，CCM 下 $V = D V_g$。

   $$I_L = \frac{D V_g}{R}$$

3. 代入 CCM 工作点后，由导通区间得到的纹波峰峰值的一半。

   $$\Delta i_L = \frac{D T_s \left(V_g - D V_g\right)}{2 L}$$

4. 临界条件 $\Delta i_L = I_L$，代入 $L = K R T_s/2$，解出 $K$。

   $$K_\mathrm{crit} = 1 - D$$

   ✓ 复现的公式 Kcrit.buck（pytest 用 sympy 验证两者相等）

5. 升压变换器：电感流过输入电流 $V/((1 - D)R)$，其中 $V = V_g/(1 - D)$。

   $$I_L = \frac{V_g}{R \left(1 - D\right)^{2}}$$

6. 代入 CCM 工作点后，由导通区间得到的纹波峰峰值的一半。

   $$\Delta i_L = \frac{D T_s V_g}{2 L}$$

7. 临界条件 $\Delta i_L = I_L$，代入 $L = K R T_s/2$，解出 $K$。

   $$K_\mathrm{crit} = D \left(-1 + D\right)^{2} = D \left(1 - D\right)^{2}$$

   ✓ 复现的公式 Kcrit.boost（pytest 用 sympy 验证两者相等）

8. 升降压变换器：电感电流为 $|V|/((1 - D)R)$，其中 $|V| = D V_g/(1 - D)$。

   $$I_L = \frac{D V_g}{R \left(1 - D\right)^{2}}$$

9. 代入 CCM 工作点后，由导通区间得到的纹波峰峰值的一半。

   $$\Delta i_L = \frac{D T_s V_g}{2 L}$$

10. 临界条件 $\Delta i_L = I_L$，代入 $L = K R T_s/2$，解出 $K$。

    $$K_\mathrm{crit} = \left(-1 + D\right)^{2} = \left(1 - D\right)^{2}$$

    ✓ 复现的公式 Kcrit.buckboost（pytest 用 sympy 验证两者相等）

11. 临界时 $K$ 等于 $K_\mathrm{crit}$；由 $K$ 的定义解出 $L$。

    $$L_\mathrm{crit} = \frac{K_\mathrm{crit} R T_s}{2}$$

    ✓ 复现的公式 L.crit（pytest 用 sympy 验证两者相等）

12. DCM 降压变换器，以 $V = M V_g$ 表示的伏秒平衡：$V_g - V$ 持续 $D T_s$，$-V$ 持续 $D_2 T_s$，$0$ 持续 $D_3 T_s$。

    $$D \left(V_g - M V_g\right) - D_2 M V_g = 0$$

13. 解出 $D_2$。

    $$D_2 = - D + \frac{D}{M} = \frac{D \left(1 - M\right)}{M}$$

    ✓ 复现的公式 buck.dcm.D2（pytest 用 sympy 验证两者相等）

14. 导通区间结束时的电感峰值电流。

    $$i_\mathrm{pk} = \frac{D T_s \left(V_g - M V_g\right)}{L}$$

15. 电荷平衡：电感平均电流（高为 $i_\mathrm{pk}$、底为 $(D + D_2)T_s$ 的三角形）等于负载电流 $V/R$。

    $$\frac{T_s D^{2} \left(V_g - M V_g\right)}{2 L M} = \frac{M V_g}{R}$$

16. 代入 $L = K R T_s/2$，取关于 $M$ 的二次方程的正根。

    $$M = \frac{D \left(- D + \sqrt{4 K + D^{2}}\right)}{2 K} = \frac{2}{1 + \sqrt{1 + \frac{4 K}{D^{2}}}}$$

    ✓ 复现的公式 buck.dcm.M（pytest 用 sympy 验证两者相等）

17. DCM 升压变换器，伏秒平衡：$V_g$ 持续 $D T_s$，$V_g - V$ 持续 $D_2 T_s$。

    $$D V_g + D_2 \left(V_g - M V_g\right) = 0$$

18. 解出 $D_2$。

    $$D_2 = \frac{D}{-1 + M}$$

19. 输出端的电荷平衡：二极管平均电流（高为 $i_\mathrm{pk}$、底为 $D_2 T_s$ 的三角形）等于负载电流。

    $$\frac{T_s V_g D^{2}}{2 L \left(-1 + M\right)} = \frac{M V_g}{R}$$

20. 代入 $L = K R T_s/2$，保留 $M > 1$ 的根。

    $$M = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{K + 4 D^{2}}}{2 \sqrt{K}} = \frac{1 + \sqrt{1 + \frac{4 D^{2}}{K}}}{2}$$

    ✓ 复现的公式 boost.dcm.M（pytest 用 sympy 验证两者相等）

21. DCM 升降压变换器，以负输出 $V = M V_g$ 表示的伏秒平衡：$V_g$ 持续 $D T_s$，$V$ 持续 $D_2 T_s$。

    $$D V_g + D_2 V_g M = 0$$

22. 解出 $D_2$。

    $$D_2 = - \frac{D}{M}$$

23. 电荷平衡：二极管平均电流等于负载电流 $|V|/R$。

    $$- \frac{T_s V_g D^{2}}{2 L M} = - \frac{V_g M}{R}$$

24. 代入 $L = K R T_s/2$ 并求解（$M < 0$）。

    $$M = - \frac{D}{\sqrt{K}}$$

    ✓ 复现的公式 buckboost.dcm.M（pytest 用 sympy 验证两者相等）

推导脚本：python/pe_core/derive/dcm.py

反激变换器：DCM 电压变换比、临界、应力、无损电阻（loss-free resistor）

反激变换器在开关管导通期间将能量储存在励磁电感 $L_M$ 中，在开关管关断期间经二极管将其释放到输出。对于 1:$n$ 变压器（$n = N_s/N_p$），二次侧电压除以 $n$ 后反射到一次侧，二次侧电流等于折算到一次侧的励磁电流除以 $n$。

1. 导通区间：$V_g$ 加在 $L_M$ 两端，因此励磁电流从零（DCM）上升到 $i_\mathrm{pk}$。

   $$i_\mathrm{pk} = \frac{D T_s V_g}{L_M}$$

2. $L_M$ 的伏秒平衡：$V_g$ 持续 $D T_s$，随后反射的输出电压 $-V/n$ 持续 $D_2 T_s$。

   $$D V_g - \frac{D_2 V}{n} = 0$$

3. 解出 $D_2$。

   $$D_2 = \frac{D V_g n}{V}$$

4. 电荷平衡：二次侧电流从 $i_\mathrm{pk}/n$ 开始，在 $D_2 T_s$ 内降到零；其平均值等于负载电流 $V/R$。

   $$\frac{T_s D^{2} V_g^{2}}{2 L_M V} = \frac{V}{R}$$

5. 代入 $L_M = K R T_s/2$，解出 $V/V_g$；$n$ 被消去。

   $$M = \frac{D}{\sqrt{K}}$$

   ✓ 复现的公式 flyback.dcm.M（pytest 用 sympy 验证两者相等）

6. 代入 DCM 输出电压后的 DCM 去磁（demagnetizing）区间。

   $$D_2 = n \sqrt{K}$$

7. 当去磁区间占满周期的其余部分，即 $D + D_2 = 1$ 时，达到临界。

   $$K_\mathrm{crit} = \frac{\left(-1 + D\right)^{2}}{n^{2}} = \frac{\left(1 - D\right)^{2}}{n^{2}}$$

   ✓ 复现的公式 Kcrit.flyback（pytest 用 sympy 验证两者相等）

8. 输出保持在 $V$（电池或稳压母线），二极管压降为 $V_D$：去磁期间反射电压为 $-(V + V_D)/n$。

   $$D V_g + \frac{D_2 \left(- V - V_D\right)}{n} = 0$$

9. 令 $D + D_2 = 1$，得到变换器进入 CCM 时的输入电压；高于该电压时，CCM 伏秒平衡使 $V_g$ 保持在这一数值。

   $$V_{g,\mathrm{crit}} = \frac{V + V_D - D \left(V + V_D\right)}{D n} = \frac{\left(V + V_D\right) \left(1 - D\right)}{n D}$$

   ✓ 复现的公式 flyback.V_crit（pytest 用 sympy 验证两者相等）

10. 二极管导通期间，一次绕组上的反射电压 $(V + V_D)/n$ 叠加在 $V_g$ 上，因此开关管关断时的电压为两者之和（漏感尖峰再叠加在此之上）。

    $$V_\mathrm{DS} = V_g + \frac{V + V_D}{n}$$

    ✓ 复现的公式 flyback.Vds_off（pytest 用 sympy 验证两者相等）

11. 输入被固定在 $V_{g,\mathrm{crit}}$ 时，开关管关断电压可以化简。

    $$V_\mathrm{DS} = \frac{V + V_D}{n D}$$

    ✓ 复现的公式 flyback.Vds_clamped（pytest 用 sympy 验证两者相等）

12. 开关管导通期间，二次绕组电压 $n V_g$ 与输出电压叠加，共同加在反偏的二极管两端。

    $$V_R = V + n V_g$$

    ✓ 复现的公式 flyback.diode.VR（pytest 用 sympy 验证两者相等）

13. CCM 电荷平衡：二极管导通期间，即 $(1 - D) T_s$ 内，二次侧流过 $I_M/n$（小纹波）；其平均值等于负载电流 $V/R$。

    $$\frac{I_M \left(1 - D\right)}{n} = \frac{V}{R}$$

14. 解出 $I_M$。

    $$I_M = - \frac{V n}{R \left(-1 + D\right)} = \frac{n V}{\left(1 - D\right) R}$$

    ✓ 复现的公式 flyback.IM（pytest 用 sympy 验证两者相等）

15. 导通区间：$V_g$ 加在 $L_M$ 两端，持续 $D T_s$，因此励磁电流的上升量为 $\Delta i_M$（纹波峰峰值的一半）的两倍。

    $$2 \Delta i_M = \frac{D T_s V_g}{L_M}$$

16. 解出 $\Delta i_M$。

    $$\Delta i_M = \frac{V_g D T_s}{2 L_M}$$

    ✓ 复现的公式 flyback.ripple.iM（pytest 用 sympy 验证两者相等）

17. 开关管导通期间二极管关断，因此负载电流 $V/R$ 完全由电容提供，持续 $D T_s$，电容电压的下降量为 $\Delta v$（纹波峰峰值的一半）的两倍。

    $$2 \Delta v = \frac{D T_s V}{C R}$$

18. 解出 $\Delta v$。

    $$\Delta v = \frac{V D T_s}{2 R C}$$

    ✓ 复现的公式 flyback.ripple.v（pytest 用 sympy 验证两者相等）

19. 代入 $T_s = 1/f_s$ 后的 DCM 励磁电流峰值。

    $$I_\mathrm{pk} = \frac{V_g D}{L_M f_s}$$

    ✓ 复现的公式 flyback.Ipk.dcm（pytest 用 sympy 验证两者相等）

20. 每个导通区间结束时 $L_M$ 中储存的能量（DCM 下每个周期全部传递出去）。

    $$E = \frac{D^{2} T_s^{2} V_g^{2}}{2 L_M}$$

21. 功率 = 每周期能量 × 开关频率；它取决于 $V_g$、$D$、$L_M$、$f_s$，而与负载无关。

    $$P = \frac{V_g^{2} D^{2}}{2 L_M f_s}$$

    ✓ 复现的公式 dcm.P_in（pytest 用 sympy 验证两者相等）

22. 由于 $P = V_g^2/R_\mathrm{in}$，输入端表现为一个不耗散任何功率的电阻（无损电阻）。

    $$R_\mathrm{in} = \frac{2 L_M f_s}{D^{2}}$$

    ✓ 复现的公式 lfr.R_in（pytest 用 sympy 验证两者相等）

推导脚本：python/pe_core/derive/flyback.py

反激变换器钳位：反射电压（reflected voltage）、钳位损耗、输出上限

反激变换器的开关管关断时，励磁电流转移到二次侧，但漏感 $L_\mathrm{lk}$ 中的电流除了跨接在一次绕组两端的钳位电路外无处可去。钳位电路将一次绕组电压钳位在 $V_\mathrm{clamp}$，直到该电流降到零。

1. 输出二极管导通期间，二次绕组上的电压为输出电压加二极管压降。

   $$v_s = V + V_D$$

2. 理想 1:$n$ 变压器将二次侧电压除以 $n$ 折算到一次侧。

   $$V_\mathrm{OR} = \frac{V + V_D}{n}$$

   ✓ 复现的公式 flyback.V_OR（pytest 用 sympy 验证两者相等）

3. 开关管位于输入与一次绕组之间，钳位电路导通期间将一次绕组电压钳位在 $V_\mathrm{clamp}$。

   $$V_\mathrm{DS} = V_g + V_\mathrm{clamp}$$

   ✓ 复现的公式 clamp.Vds（pytest 用 sympy 验证两者相等）

4. 输出二极管导通期间励磁电感两端电压保持为 $V_\mathrm{OR}$，因此漏感两端电压为 $V_\mathrm{clamp} - V_\mathrm{OR}$，其电流从 $I_\mathrm{pk}$ 线性下降。

   $$i_\mathrm{lk} = I_\mathrm{pk} - \frac{t \left(V_\mathrm{clamp} - V_\mathrm{OR}\right)}{L_\mathrm{lk}}$$

5. 电流经过这段时间降到零，这段时间不能超过关断时间。

   $$t_r = \frac{L_\mathrm{lk} I_\mathrm{pk}}{V_\mathrm{clamp} - V_\mathrm{OR}}$$

   ✓ 复现的公式 clamp.t_reset（pytest 用 sympy 验证两者相等）

6. 钳位电路吸收其电压与这一下降电流之积对应的能量：大于漏感能量 $\tfrac12 L_\mathrm{lk} I_\mathrm{pk}^2$，因为在此期间反射电压仍在推动电流。

   $$E_\mathrm{clamp} = \frac{L_\mathrm{lk} V_\mathrm{clamp} I_\mathrm{pk}^{2}}{2 \left(V_\mathrm{clamp} - V_\mathrm{OR}\right)}$$

7. 每个开关周期一次。

   $$P_\mathrm{clamp} = \frac{L_\mathrm{lk} V_\mathrm{clamp} f_s I_\mathrm{pk}^{2}}{2 \left(V_\mathrm{clamp} - V_\mathrm{OR}\right)} = \frac{L_\mathrm{lk} I_\mathrm{pk}^{2} f_s V_\mathrm{clamp}}{2 \left(V_\mathrm{clamp} - V_\mathrm{OR}\right)}$$

   ✓ 复现的公式 clamp.P（pytest 用 sympy 验证两者相等）

8. 在 RCD 钳位电路中，电容保持 $V_\mathrm{clamp}$，电阻耗散钳位功率。

   $$\frac{V_\mathrm{clamp}^{2}}{R_\mathrm{clamp}} = \frac{L_\mathrm{lk} V_\mathrm{clamp} f_s I_\mathrm{pk}^{2}}{2 \left(V_\mathrm{clamp} - V_\mathrm{OR}\right)}$$

9. 大于 $V_\mathrm{OR}$ 的根。

   $$V_\mathrm{clamp} = \frac{V_\mathrm{OR} + \sqrt{V_\mathrm{OR}^{2} + 2 R_\mathrm{clamp} L_\mathrm{lk} I_\mathrm{pk}^{2} f_s}}{2}$$

   ✓ 复现的公式 clamp.rcd.V（pytest 用 sympy 验证两者相等）

10. 负载断开且无稳压控制时，输出持续充电，其反射电压不断升高，直至达到钳位电压；此后钳位电路吸收全部输入功率。这适用于电压与该功率无关的钳位器件（TVS）；RCD 钳位电路的电压随该功率升高。

    $$\frac{V_D + V_\mathrm{o,max}}{n} = V_\mathrm{clamp}$$

11. 解出输出电压。

    $$V_\mathrm{o,max} = n V_\mathrm{clamp} - V_D$$

    ✓ 复现的公式 flyback.V_ceiling（pytest 用 sympy 验证两者相等）

推导脚本：python/pe_core/derive/clamp.py

缓冲电路（snubber）：由振铃求得的寄生参数、阻尼电阻与损耗

开关边沿使节点的寄生电感和寄生电容产生振铃。它们的数值无法从布局中读出，但可由两次测得的振铃频率求出：一次在原电路上测量，一次在并入一个已知电容后测量。

1. 原电路中，节点以其电感与电容的谐振频率振铃：

   $$f_{r0} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{C_\mathrm{par}} \sqrt{L_\mathrm{par}}}$$

2. 在节点上并联一个已知电容，电容随之增大，而电感不变：

   $$f_{r1} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L_\mathrm{par}} \sqrt{C_\mathrm{add} + C_\mathrm{par}}}$$

3. 在两频率之比 $x = f_{r0}/f_{r1}$ 中，电感被消去：

   $$x^{2} = \frac{C_\mathrm{add} + C_\mathrm{par}}{C_\mathrm{par}}$$

4. 解出节点电容：

   $$C_\mathrm{par} = \frac{C_\mathrm{add} f_{r1}^{2}}{f_{r0}^{2} - f_{r1}^{2}} = \frac{C_\mathrm{add}}{\left(\frac{f_{r0}}{f_{r1}}\right)^{2} - 1}$$

   ✓ 复现的公式 snub.C_par（pytest 用 sympy 验证两者相等）

5. 再由第一个谐振频率得到电感：

   $$L_\mathrm{par} = \frac{1}{4 \pi^{2} f_{r0}^{2} C_\mathrm{par}}$$

   ✓ 复现的公式 snub.L_par（pytest 用 sympy 验证两者相等）

6. AN11160 取寄生电感、缓冲电阻与缓冲电容串联回路的阻尼比，不计节点自身的电容。该回路的固有频率满足

   $$1 + s C_\mathrm{snub} R_\mathrm{snub} + C_\mathrm{snub} L_\mathrm{par} s^{2} = 0$$

7. 除以 $L_\mathrm{par} C_\mathrm{snub}$ 并写成 $s^2 + 2\zeta\omega_0 s + \omega_0^2 = 0$ 的形式，其中 $\omega_0 = 1/\sqrt{L_\mathrm{par} C_\mathrm{snub}}$，其阻尼比为

   $$\zeta = \frac{R_\mathrm{snub} \sqrt{C_\mathrm{snub}}}{2 \sqrt{L_\mathrm{par}}}$$

8. 解出电阻：

   $$R_\mathrm{snub} = 2 \zeta \sqrt{\frac{L_\mathrm{par}}{C_\mathrm{snub}}}$$

   ✓ 复现的公式 snub.R（pytest 用 sympy 验证两者相等）

9. 在一个边沿，节点电压跳变 $V_\mathrm{snub}$，缓冲电容经电阻充电，$i = (V_\mathrm{snub}/R)\,e^{-t/(R C_\mathrm{snub})}$；电阻吸收的能量与 $R$ 无关：

   $$E_R = \frac{C_\mathrm{snub} V_\mathrm{snub}^{2}}{2}$$

10. 下一个边沿，电容经电阻和正在开通的开关管放电，失去其储存的能量，即又损失同样多，因此每个周期损失

    $$2 E_R = C_\mathrm{snub} V_\mathrm{snub}^{2}$$

11. 每秒 $f_s$ 个周期：

    $$P = C_\mathrm{snub} V_\mathrm{snub}^{2} f_s$$

    ✓ 复现的公式 snub.P（pytest 用 sympy 验证两者相等）

12. AN11160 依据给电容充电、且寄生电感中流过电流 $I_\mathrm{ring}$ 的那个边沿来确定电阻的额定功率。电源提供电容的电荷 $C_\mathrm{snub} V_\mathrm{snub}$，电压为 $V_\mathrm{snub}$：

    $$E_s = C_\mathrm{snub} V_\mathrm{snub}^{2}$$

13. 电容保留其中一半能量，电感释放其全部储能 $L_\mathrm{par} I_\mathrm{ring}^2/2$；其余能量由电阻吸收，与其阻值无关：

    $$W_R = \frac{C_\mathrm{snub} V_\mathrm{snub}^{2}}{2} + \frac{L_\mathrm{par} I_\mathrm{ring}^{2}}{2}$$

14. 每个周期一次：

    $$P_{R,\mathrm{snub}} = \frac{f_s \left(C_\mathrm{snub} V_\mathrm{snub}^{2} + L_\mathrm{par} I_\mathrm{ring}^{2}\right)}{2}$$

    ✓ 复现的公式 snub.P_R（pytest 用 sympy 验证两者相等）

推导脚本：python/pe_core/derive/snubbers.py

拓扑细节：直流电流、纹波、开关应力、利用率（utilization）

由输出电容的电荷平衡得到各变换器的电感直流电流。导通区间内电感电压恒定，因此电流线性变化，变化量为 $\Delta i_L$（纹波峰峰值的一半）的两倍；同理，由电容每周期的电荷得到电压纹波 $\Delta v$。开关管利用率 $U$ 将负载功率与开关管峰值电压和电流有效值之积相比较。

1. 降压变换器，电荷平衡：两个区间内电容电流均为 $I_L - V/R$（小纹波）。

   $$\langle i_C \rangle = I_L - \frac{V}{R}$$

2. 令平均值为零。

   $$I_L = \frac{V}{R}$$

   ✓ 复现的公式 buck.IL（pytest 用 sympy 验证两者相等）

3. 降压变换器的输出纹波：电容流过电感电流中的三角波交流分量。其正半部分持续 $T_s/2$，峰值为 $\Delta i_L$，因此输送电荷 $q$。

   $$q = \frac{\Delta i_L T_s}{4}$$

4. 该电荷使电容电压从最小值升到最大值，即升高 $2\Delta v$。

   $$2 C \Delta v = \frac{\Delta i_L T_s}{4}$$

5. 解出 $\Delta v$。

   $$\Delta v = \frac{\Delta i_L T_s}{8 C}$$

   ✓ 复现的公式 buck.ripple.v（pytest 用 sympy 验证两者相等）

6. 升压变换器，电荷平衡：开关管导通期间为 $-V/R$，二极管导通期间为 $I_L - V/R$。

   $$\left(1 - D\right) \left(I_L - \frac{V}{R}\right) - \frac{D V}{R} = 0$$

7. 解出 $I_L$。

   $$I_L = - \frac{V}{R \left(-1 + D\right)} = \frac{V}{\left(1 - D\right) R}$$

   ✓ 复现的公式 boost.IL（pytest 用 sympy 验证两者相等）

8. 升压变换器的电流纹波：电感电压为 $V_g$，持续 $D T_s$，因此电流上升 $V_g D T_s/L$，即 $2\Delta i_L$。

   $$2 \Delta i_L = \frac{D T_s V_g}{L}$$

9. 解出 $\Delta i_L$。

   $$\Delta i_L = \frac{V_g D T_s}{2 L}$$

   ✓ 复现的公式 boost.ripple.iL（pytest 用 sympy 验证两者相等）

10. 升压变换器的电压纹波：开关管导通期间，负载电流 $V/R$ 仅由电容提供，持续 $D T_s$，因此电容电压下降 $2\Delta v$。

    $$2 \Delta v = \frac{D T_s V}{C R}$$

11. 解出 $\Delta v$。

    $$\Delta v = \frac{V D T_s}{2 R C}$$

    ✓ 复现的公式 boost.ripple.v（pytest 用 sympy 验证两者相等）

12. 以输出电压的大小 $V$ 表示的升降压变换器：开关管导通期间电感电压为 $V_g$，二极管导通期间为 $-V$。

    $$D V_g - V \left(1 - D\right) = 0$$

13. 解出 $V$。

    $$V = - \frac{D V_g}{-1 + D} = \frac{D V_g}{1 - D}$$

    ✓ 复现的公式 buckboost.V（pytest 用 sympy 验证两者相等）

14. 电荷平衡与升压变换器相同：开关管导通期间电容向负载供电，二极管导通期间电容接收 $I_L$。

    $$I_L = - \frac{V}{R \left(-1 + D\right)} = \frac{V}{\left(1 - D\right) R}$$

    ✓ 复现的公式 buckboost.IL（pytest 用 sympy 验证两者相等）

15. 与升压变换器相同，电感电压为 $V_g$，持续 $D T_s$。

    $$\Delta i_L = \frac{V_g D T_s}{2 L}$$

    ✓ 复现的公式 buckboost.ripple.iL（pytest 用 sympy 验证两者相等）

16. 与升压变换器相同，在 $D T_s$ 内仅由电容向负载供电。

    $$\Delta v = \frac{V D T_s}{2 R C}$$

    ✓ 复现的公式 buckboost.ripple.v（pytest 用 sympy 验证两者相等）

17. 降压变换器：二极管导通期间，开关节点处于地电位（理想二极管）；位于输入与该节点之间的开关管阻断 $V_g$。

    $$V_\mathrm{DS} = V_g$$

    ✓ 复现的公式 buck.Vds（pytest 用 sympy 验证两者相等）

18. 升压变换器：二极管导通期间，开关节点接到输出；该节点与地之间的开关管阻断 $V$。

    $$V_\mathrm{DS} = V$$

    ✓ 复现的公式 boost.Vds（pytest 用 sympy 验证两者相等）

19. 二极管导通期间，开关管的另一端处于输出电位 $-V$；开关管阻断 $V_g - (-V)$。

    $$V_\mathrm{DS} = V_g + V$$

    ✓ 复现的公式 buckboost.Vds（pytest 用 sympy 验证两者相等）

20. 正激变换器，复位区间：复位绕组（$N_r$ 匝）以相反极性接到 $V_g$，因此一次绕组（$N_p$ 匝）上的电压为 $-V_g N_p/N_r$。

    $$v_\mathrm{pri} = - \frac{V_g}{n_r}$$

21. 开关管阻断输入电压与一次绕组电压之差。

    $$V_\mathrm{DS} = \frac{V_g \left(1 + n_r\right)}{n_r} = V_g \left(1 + \frac{1}{n_r}\right)$$

    ✓ 复现的公式 forward.Vds（pytest 用 sympy 验证两者相等）

22. 正激变换器的输出电感：开关管导通期间，二次侧施加 $n V_g$，因此电感电压为 $n V_g - V$，持续 $D T_s$。

    $$2 \Delta i_L = \frac{D T_s \left(- V + V_g n\right)}{L}$$

23. 解出 $\Delta i_L$。

    $$\Delta i_L = \frac{\left(n V_g - V\right) D T_s}{2 L}$$

    ✓ 复现的公式 forward.ripple.iL（pytest 用 sympy 验证两者相等）

24. 开关管利用率：负载功率 $P = V I$ 除以开关管峰值电压与其电流有效值之积。小纹波下，开关管电流是高为 $I_Q$、持续 $D T_s$ 的平顶脉冲，其有效值为 $I_Q \sqrt{D}$。

25. 降压变换器：$V = D V_g$，开关管阻断 $V_g$，流过电感电流 $I$。

    $$U = \sqrt{D}$$

26. 化简。

    $$U = \sqrt{D}$$

    ✓ 复现的公式 util.buck（pytest 用 sympy 验证两者相等）

27. 升压变换器：开关管阻断 $V$，流过电感电流 $I/(1 - D)$。

    $$U = \frac{1 - D}{\sqrt{D}}$$

28. 化简。

    $$U = \frac{1 - D}{\sqrt{D}}$$

    ✓ 复现的公式 util.boost（pytest 用 sympy 验证两者相等）

29. 升降压变换器：$V = D V_g/(1 - D)$，开关管阻断 $V_g + V$，流过 $I/(1 - D)$。

    $$U = \frac{V_g \sqrt{D}}{V_g + \frac{D V_g}{1 - D}}$$

30. 化简。

    $$U = \left(1 - D\right) \sqrt{D}$$

    ✓ 复现的公式 util.buckboost（pytest 用 sympy 验证两者相等）

31. 反激变换器：$V = n D V_g/(1 - D)$，开关管阻断 $V_g + V/n$，流过折算到一次侧的励磁电流 $n I/(1 - D)$；匝比消去，结果与升降压变换器相同。

    $$U = \sqrt{D} \left(1 - D\right)$$

32. 正激变换器：$V = n D V_g$，开关管阻断 $V_g(1 + 1/n_r)$，流过反射的电感电流 $n I$（忽略励磁电流）。

    $$U = \frac{\sqrt{D}}{1 + \frac{1}{n_r}}$$

33. 化简。

    $$U = \frac{n_r \sqrt{D}}{1 + n_r} = \frac{\sqrt{D}}{1 + \frac{1}{n_r}}$$

    ✓ 复现的公式 util.forward（pytest 用 sympy 验证两者相等）

推导脚本：python/pe_core/derive/topologies.py

小信号传递函数（small-signal transfer functions），CCM

取平均消除了开关纹波；在工作点附近对平均方程施加扰动（$d = D + \hat d$，$v = V + \hat v$，$i = I + \hat i$）并略去二阶乘积项，得到线性方程，对其作拉普拉斯变换即得 $\hat v/\hat d$。下面各变换器最终都化为标准二阶形式：增益为 $G_{d0}$，极点位于 $\omega_0$、品质因数为 $Q$，升压和升降压变换器还有一个位于右半平面的零点 $\omega_z$。

1. 降压变换器，线性化平均方程（$\hat v_g = 0$）：电感电压为 $d\,v_g - v$，电容电流为 $i - v/R$。

   $$\left( \hat i s L = - \hat v + \hat d V_g, \ s \hat v C = \hat i - \frac{\hat v}{R}\right)$$

2. 解出 $\hat v/\hat d$。

   $$G_{vd}(s) = \frac{R V_g}{R + s L + C L R s^{2}}$$

3. 直流增益：$s = 0$ 处的值。

   $$G_{d0} = V_g$$

   ✓ 复现的公式 buck.ss.Gd0（pytest 用 sympy 验证两者相等）

4. 极点：$\omega_0 = 1/\sqrt{a_2}$，由 $s^2$ 项的系数 $a_2$ 得到。

   $$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L C}}$$

   ✓ 复现的公式 buck.ss.w0（pytest 用 sympy 验证两者相等）

5. $Q = \sqrt{a_2}/a_1$，由 $s$ 项的系数 $a_1$ 得到。

   $$Q = R \sqrt{\frac{C}{L}}$$

   ✓ 复现的公式 buck.ss.Q（pytest 用 sympy 验证两者相等）

6. 升压变换器：平均电感电压为 $v_g - d' v$，电容电流为 $d' i - v/R$（$d' = 1 - d$）。按 $d' = D' - \hat d$ 施加扰动并线性化：

   $$\left( \hat i s L = \hat d V - \hat v D', \ s \hat v C = \hat i D' - \hat d I - \frac{\hat v}{R}\right)$$

7. 由稳态得到工作点，记 $D' = 1 - D$：$V = V_g/D'$，$I = V/(D' R)$。

   $$\left( V = \frac{V_g}{D'}, \ I = \frac{V_g}{D'^{2} R}\right)$$

8. 解出 $\hat v/\hat d$。

   $$G_{vd}(s) = \frac{V_g \left(- s L + R D'^{2}\right)}{D'^{2} \left(s L + R D'^{2} + C L R s^{2}\right)}$$

9. 直流增益（结果中已代回 $D' = 1 - D$）。

   $$G_{d0} = \frac{V_g}{\left(1 - D\right)^{2}}$$

   ✓ 复现的公式 boost.ss.Gd0（pytest 用 sympy 验证两者相等）

10. 极点频率。

    $$\omega_0 = \frac{1 - D}{\sqrt{L C}}$$

    ✓ 复现的公式 boost.ss.w0（pytest 用 sympy 验证两者相等）

11. 品质因数。

    $$Q = \left(1 - D\right) R \sqrt{\frac{C}{L}}$$

    ✓ 复现的公式 boost.ss.Q（pytest 用 sympy 验证两者相等）

12. 分子在正实数 $s$ 处为零：右半平面零点。

    $$\omega_z = \frac{\left(1 - D\right)^{2} R}{L}$$

    ✓ 复现的公式 boost.ss.wz（pytest 用 sympy 验证两者相等）

13. 升降压变换器：平均电感电压为 $d\,v_g + d' v$，电容电流为 $-d' i - v/R$，输出 $v$ 为负。线性化：

    $$\left( \hat i s L = \hat d \left(V_g - V\right) + \hat v D', \ s \hat v C = \hat d I - \hat i D' - \frac{\hat v}{R}\right)$$

14. 工作点，记 $D' = 1 - D$：$V = -D V_g/D'$，$I = D V_g/(D'^2 R)$。

    $$\left( V = \frac{V_g \left(-1 + D'\right)}{D'}, \ I = \frac{V_g \left(1 - D'\right)}{D'^{2} R}\right)$$

15. 解出 $\hat v/\hat d$。

    $$G_{vd}(s) = \frac{V_g \left(- s L \left(-1 + D'\right) - R D'^{2}\right)}{D'^{2} \left(s L + R D'^{2} + C L R s^{2}\right)}$$

16. 直流增益为负（反相输出）；其大小为：

    $$G_{d0} = \frac{V_g}{\left(1 - D\right)^{2}}$$

    ✓ 复现的公式 buckboost.ss.Gd0（pytest 用 sympy 验证两者相等）

17. 极点频率。

    $$\omega_0 = \frac{1 - D}{\sqrt{L C}}$$

    ✓ 复现的公式 buckboost.ss.w0（pytest 用 sympy 验证两者相等）

18. 品质因数。

    $$Q = \left(1 - D\right) R \sqrt{\frac{C}{L}}$$

    ✓ 复现的公式 buckboost.ss.Q（pytest 用 sympy 验证两者相等）

19. 右半平面零点。

    $$\omega_z = \frac{R \left(-1 + D\right)^{2}}{D L} = \frac{\left(1 - D\right)^{2} R}{D L}$$

    ✓ 复现的公式 buckboost.ss.wz（pytest 用 sympy 验证两者相等）

推导脚本：python/pe_core/derive/small_signal.py

PWM 调制器（modulator）与环路增益（loop gain）

电压模式控制器将控制电压与周期性锯齿波比较，以确定占空比。沿环路绕行一周，补偿器、调制器、功率级和传感器的增益相乘；这一乘积即环路增益 $T$，它决定环路抑制扰动的强弱。

1. 锯齿波从 $0$ 上升到 $V_M$，历时 $T_s$；锯齿波越过 $V_\mathrm{ctrl}$ 时开关管关断。

   $$\frac{V_M t_\mathrm{off}}{T_s} = V_\mathrm{ctrl}$$

2. 导通时间占比为 $D = t_\mathrm{off}/T_s$。

   $$D = \frac{V_\mathrm{ctrl}}{V_M}$$

   ✓ 复现的公式 pwm.d（pytest 用 sympy 验证两者相等）

3. 沿环路：补偿器输出驱动调制器（增益 $1/V_M$），功率级将 $\hat d$ 转换为 $\hat v$（增益 $G_{vd}$），传感器反馈 $H \hat v$。

4. 环路增益是沿环路各增益的乘积。

   $$T = \frac{G_c G_{vd} H}{V_M}$$

   ✓ 复现的公式 loop.T（pytest 用 sympy 验证两者相等）

5. 输出扰动 $\hat v_\mathrm{dist}$ 叠加在受控输出上；控制器根据误差 $\hat v_\mathrm{ref} - H\hat v$ 动作。

   $$\hat v = \hat v_\mathrm{dist} + \frac{G_c G_{vd} \left(\hat v_\mathrm{ref} - \hat v H\right)}{V_M}$$

6. 到达输出端的扰动减小到原来的 $1 + T$ 分之一。

   $$S = \frac{1}{1 + T}$$

   ✓ 复现的公式 loop.suppression（pytest 用 sympy 验证两者相等）

推导脚本：python/pe_core/derive/control.py

储能、损耗与振铃

电感或电容储存的能量是送入它的功率 $v i$ 的积分。每个开关周期重复发生的损耗等于每周期损失的能量乘以 $f_s$；导通损耗是瞬时功率的周期平均值。

1. 送入电感的能量：$p = v i$，其中 $v = L\,di/dt$，因此 $dE = L i\,di$。从零积分到关断电流。

   $$E_\mathrm{lk} = \int\limits_{0}^{I_\mathrm{pk}} i L_\mathrm{lk}\, di$$

2. 计算该积分。

   $$E_\mathrm{lk} = \frac{L_\mathrm{lk} I_\mathrm{pk}^{2}}{2}$$

   ✓ 复现的公式 flyback.leak.E（pytest 用 sympy 验证两者相等）

3. 若每个周期都将这部分能量移除（钳位或耗散），平均功率为 $E_\mathrm{lk} f_s$。

   $$P_\mathrm{lk} = E_\mathrm{lk} f_s$$

   ✓ 复现的公式 flyback.leak.P（pytest 用 sympy 验证两者相等）

4. 充电到 $V_\mathrm{sw}$ 的开关节点电容储存的能量：$dE = v\,dq = C v\,dv$。

   $$E_C = \int\limits_{0}^{V_\mathrm{sw}} v C_\mathrm{node}\, dv$$

5. 硬开通每个周期都使其经开关管沟道放电：$P = E_C f_s$。

   $$P = \frac{C_\mathrm{node} V_\mathrm{sw}^{2} f_s}{2}$$

   ✓ 复现的公式 loss.sw.cap（pytest 用 sympy 验证两者相等）

6. 导通损耗是瞬时功率 $i(t)^2 R_x$ 的周期平均值。

   $$P = \frac{\int\limits_{0}^{T_s} R_x i^{2}{\left(t \right)}\, dt}{T_s}$$

7. 按定义，电流有效值（rms）是 $i(t)^2$ 周期平均值的平方根。

   $$I_\mathrm{rms}^{2} = \frac{\int\limits_{0}^{T_s} i^{2}{\left(t \right)}\, dt}{T_s}$$

8. $R_x$ 为常数，因此可移到平均运算之外。

   $$P = I_\mathrm{rms}^{2} R_x$$

   ✓ 复现的公式 loss.cond（pytest 用 sympy 验证两者相等）

9. 导通的二极管建模为正向电压截距加动态电阻，$v_D = V_F + r_d i$，因此 $p = V_F i + r_d i^2$。

   $$P = \frac{\int\limits_{0}^{T_s} \left(V_F i{\left(t \right)} + r_d i^{2}{\left(t \right)}\right)\, dt}{T_s}$$

10. $i$ 的平均值为 $I_\mathrm{avg}$，$i^2$ 的平均值为 $I_\mathrm{rms}^2$。

    $$P = V_F I_\mathrm{avg} + r_d I_\mathrm{rms}^{2}$$

    ✓ 复现的公式 loss.diode（pytest 用 sympy 验证两者相等）

11. 每个周期，驱动器所取的栅极电荷 $Q_g$ 来自其 $V_\mathrm{GS}$ 电源；从电源取得的能量为 $V_\mathrm{GS}\,dq$ 的积分。

    $$E_G = \int\limits_{0}^{Q_g} V_\mathrm{GS}\, dq$$

12. 这些能量最终全部在驱动器与栅极的电阻中转化为热量；再乘以 $f_s$。

    $$P = Q_g V_\mathrm{GS} f_s$$

    ✓ 复现的公式 loss.gate（pytest 用 sympy 验证两者相等）

13. 无阻尼 L-C 回路满足 $L C\,d^2v/dt^2 + v = 0$；其特征方程为 $L C s^2 + 1 = 0$。

    $$1 + C_\mathrm{node} L_M s^{2} = 0$$

14. 其根为 $\pm j\omega_0$。

    $$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{C_\mathrm{node}} \sqrt{L_M}}$$

15. $f = \omega_0/(2\pi)$。

    $$f_\mathrm{ring} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L_M C_\mathrm{node}}}$$

    ✓ 复现的公式 dcm.ring.f（pytest 用 sympy 验证两者相等）

推导脚本：python/pe_core/derive/energy.py

磁路（magnetic circuits）：电感系数、磁通密度与磁芯几何常数

磁路的特性类似电阻电路：磁动势 $N i$ 驱动磁通 $\Phi$ 流过磁阻 $\mathcal{R} = l/(\mu A)$。若有效截面积 $A_e$ 上的磁通密度均匀，则 $B = \Phi/A_e$。

1. 磁芯磁阻（相对磁导率 $\mu_i$）。

   $$\mathcal{R}_c = \frac{l_e}{A_e \mu_0 \mu_i}$$

2. 气隙磁阻（忽略边缘磁通：气隙面积等于 $A_e$）。

   $$\mathcal{R}_g = \frac{l_g}{A_e \mu_0}$$

3. 两者串联。

   $$\mathcal{R} = \frac{l_g}{A_e \mu_0} + \frac{l_e}{A_e \mu_0 \mu_i}$$

4. 磁链 $\lambda = N\Phi = N (N i/\mathcal{R})$，因此 $L = \lambda/i = N^2/\mathcal{R}$。

   $$L = \frac{N^{2}}{\mathcal{R}}$$

5. 电感系数是每匝平方的电感，$A_L = L/N^2 = 1/\mathcal{R}$。

   $$A_L = \frac{1}{\mathcal{R}}$$

6. 代入两个磁阻。

   $$A_L = \frac{A_e \mu_0 \mu_i}{l_e + l_g \mu_i} = \frac{\mu_0 A_e}{l_g + \frac{l_e}{\mu_i}}$$

   ✓ 复现的公式 mag.AL_gap（pytest 用 sympy 验证两者相等）

7. 因此 $L = A_L N^2$。

   $$L = A_L N^{2}$$

   ✓ 复现的公式 mag.L_from_AL（pytest 用 sympy 验证两者相等）

8. 磁链与电感：$\lambda = N\Phi = L i$，因此 $\Phi = L i/N$。

   $$\lambda = N \Phi$$

9. 在峰值电流处，$B_\mathrm{pk} = \Phi_\mathrm{pk}/A_e = L I_\mathrm{pk}/(N A_e)$。

   $$B_\mathrm{pk} = \frac{L I_\mathrm{pk}}{N A_e}$$

   ✓ 复现的公式 mag.B_pk（pytest 用 sympy 验证两者相等）

10. 磁通密度随电流变化，$B = L i/(N A_e)$。围绕直流电流的 $\pm\Delta i_L$ 纹波使磁通密度围绕其直流值变化 $\pm L\,\Delta i_L/(N A_e)$：该幅值即 $B_\mathrm{ac}$。

    $$B_\mathrm{ac} = \frac{L \Delta i_L}{N A_e}$$

    ✓ 复现的公式 mag.B_ac（pytest 用 sympy 验证两者相等）

11. 令 $B_\mathrm{pk}$ 等于限值 $B_\mathrm{max}$ 并解出匝数，得到不超过该限值的最少匝数。

    $$N = \frac{L I_\mathrm{pk}}{B_\mathrm{max} A_e}$$

    ✓ 复现的公式 mag.N_Bmax（pytest 用 sympy 验证两者相等）

12. $N$ 确定后，电感 $L = N^2/(\mathcal{R}_c + \mathcal{R}_g)$ 决定气隙磁阻，从而决定气隙长度。

    $$l_g = \frac{\mu_0 A_e N^{2}}{L} - \frac{l_e}{\mu_i}$$

    ✓ 复现的公式 mag.gap_length（pytest 用 sympy 验证两者相等）

13. 选择磁芯。绕组 $N$ 匝、铜截面积为 $A_w$ 的导线只能按比例 $K_u$ 填充窗口 $W_A$：

    $$K_u W_A = A_w N$$

14. 在极限情况下，其电阻（$N$ 匝，平均匝长 MLT）等于铜损预算 $R_\mathrm{dc,max}$：

    $$R_\mathrm{dc,max} = \frac{\mathrm{MLT} N \rho_w}{A_w}$$

15. 窗口决定导线截面积，$A_w = K_u W_A/N$，因此电阻随匝数的平方增大：

    $$R_\mathrm{dc,max} = \frac{\mathrm{MLT} \rho_w N^{2}}{K_u W_A}$$

16. 磁通限值决定匝数，$N = L I_\mathrm{pk}/(B_\mathrm{max} A_e)$：

    $$R_\mathrm{dc,max} = \frac{\mathrm{MLT} \rho_w I_\mathrm{pk}^{2} L^{2}}{A_e^{2} B_\mathrm{max}^{2} K_u W_A}$$

17. 将磁芯尺寸归到等式一侧，即定义了磁芯几何常数；另一侧只取决于设计指标。

    $$K_g = \frac{W_A A_e^{2}}{\mathrm{MLT}}$$

18. 磁芯要同时满足磁通限值、窗口和电阻预算，其 $K_g$ 至少应为：

    $$K_g = \frac{\rho_w L^{2} I_\mathrm{pk}^{2}}{B_\mathrm{max}^{2} R_\mathrm{dc,max} K_u}$$

    ✓ 复现的公式 mag.Kg_req（pytest 用 sympy 验证两者相等）

19. 法拉第定律：$v = N A_e\,dB/dt$，因此导通时间内 $B$ 的变化量是 $v/(N A_e)$ 的积分。

    $$\Delta B = \int\limits_{0}^{t_\mathrm{on}} \frac{V_w}{A_e N}\, dt$$

20. 绕组电压 $V_w$ 恒定时，摆幅与伏秒积 $V_w t_\mathrm{on}$ 成正比。

    $$\Delta B = \frac{V_w t_\mathrm{on}}{N A_e}$$

    ✓ 复现的公式 mag.dB_faraday（pytest 用 sympy 验证两者相等）

推导脚本：python/pe_core/derive/magnetics.py

绕组（windings）：电阻、集肤深度（skin depth）、薄层、漏感（leakage）与短路

绕组是分层绕制的长导体。其电阻由长度和截面积决定；高频时电流集中到导体表层；绕组之间的磁场储存能量，这部分能量表现为漏感。

1. 绕组是一根导体，共 $N$ 匝，平均匝长为 MLT：

   $$l_w = \mathrm{MLT} N$$

2. 其直流电阻等于电阻率乘以长度再除以导体截面积。

   $$R_\mathrm{dc} = \frac{\rho_w N \mathrm{MLT}}{A_w}$$

   ✓ 复现的公式 wind.dcr（pytest 用 sympy 验证两者相等）

3. 在良导体（电导率 $1/\rho_w$）中，正弦电流密度满足 $d^2 J/dx^2 = j\omega\mu_0 J/\rho_w$，因此按 $e^{-k x}$ 变化，其中

   $$k^{2} = \frac{2 \pi i f \mu_0}{\rho_w}$$

4. 实部为正的根：

   $$k = \frac{\sqrt{\pi} \sqrt{f} \sqrt{\mu_0}}{\sqrt{\rho_w}} + \frac{i \sqrt{\pi} \sqrt{f} \sqrt{\mu_0}}{\sqrt{\rho_w}}$$

5. 幅值每经过一个集肤深度减小到原来的 $e$ 分之一，集肤深度即 $k$ 实部的倒数。

   $$\delta = \sqrt{\frac{\rho_w}{\pi \mu_0 f}}$$

   ✓ 复现的公式 wind.skin_depth（pytest 用 sympy 验证两者相等）

6. $M_\ell$ 层、每层厚 $\varphi$ 个集肤深度时的 Dowell 交流电阻系数（`wind.dowell`）：

   $$F_R = \varphi \left(\frac{\sin{\left(2 \varphi \right)} + \sinh{\left(2 \varphi \right)}}{- \cos{\left(2 \varphi \right)} + \cosh{\left(2 \varphi \right)}} + \frac{\left(- \frac{2}{3} + \frac{2 M_\ell^{2}}{3}\right) \left(- \sin{\left(\varphi \right)} + \sinh{\left(\varphi \right)}\right)}{\cos{\left(\varphi \right)} + \cosh{\left(\varphi \right)}}\right)$$

7. 对于薄层，将双曲函数和三角函数按 $\varphi$ 的幂展开：直到 $\varphi^3$ 的各项相互抵消，超出部分的首项为四阶。

   $$F_R = 1 - \frac{\varphi^{4}}{45} + \frac{M_\ell^{2} \varphi^{4}}{9} = 1 + \frac{\left(5 M_\ell^{2} - 1\right) \varphi^{4}}{45}$$

   ✓ 复现的公式 wind.dowell_low（pytest 用 sympy 验证两者相等）

8. 频率给定时集肤深度固定，因此厚 $\varphi$ 个集肤深度的层，其直流电阻为 $R_\delta/\varphi$，$R_\delta$ 为厚一个集肤深度的层的直流电阻。流过电流 $I$ 时，其损耗为

   $$P = \frac{F_R R_\delta I^{2}}{\varphi}$$

9. 相对于厚一个集肤深度、以直流形式流过同一电流的层的损耗 $R_\delta I^2$：

   $$P/P_\delta = \frac{F_R}{\varphi}$$

   ✓ 复现的公式 wind.loss_rel（pytest 用 sympy 验证两者相等）

10. 代入薄层的级数展开：

    $$P/P_\delta = \frac{1 - \frac{\varphi^{4}}{45} + \frac{M_\ell^{2} \varphi^{4}}{9}}{\varphi}$$

11. 其导数为零处取最小值：

    $$\varphi_\mathrm{opt} = \left(\frac{15}{5 M_\ell^{2} - 1}\right)^{\frac{1}{4}}$$

    ✓ 复现的公式 wind.phi_opt（pytest 用 sympy 验证两者相等）

12. 在该处，交流电阻系数对任意层数都相同：

    $$F_R = \frac{4}{3}$$

13. 窗口内的磁场沿宽度 $b_w$ 方向，因此 $H = \mathcal{F}/b_w$，其中 $\mathcal{F}$ 为该高度处所包围的磁动势；它在匝长 MLT 上储存的能量为

    $$E = \frac{\mathrm{MLT} \mu_0 \int \mathcal{F}^{2}\, dy}{2 b_w}$$

14. 先一次绕组、后二次绕组：磁动势在一次绕组中线性上升到 $N I$，在间距中保持不变，在二次绕组中降回零。

    $$\mathcal{F} = I N$$

15. 由 $L_\mathrm{lk} = 2E/I^2$，每个绕组按其高度的三分之一计入，间距则全部计入。

    $$L_\mathrm{lk} = \frac{\mathrm{MLT} \mu_0 N^{2} \left(h_p + h_s + 3 h_g\right)}{3 b_w} = \frac{\mu_0 N^{2} \mathrm{MLT} \left(\frac{h_p}{3} + h_g + \frac{h_s}{3}\right)}{b_w}$$

    ✓ 复现的公式 xfmr.leakage.ps（pytest 用 sympy 验证两者相等）

16. 一次绕组分成两半置于二次绕组两侧：磁动势在前一半中上升到 $N I/2$，穿过二次绕组时从 $N I/2$ 变为 $-N I/2$，在后一半中回到零。

    $$\mathcal{F} = \frac{I N}{2}$$

17. 峰值磁动势减半，因此能量和漏感都降到约四分之一；两处间距都要计入。

    $$L_\mathrm{lk} = \frac{\mathrm{MLT} \mu_0 N^{2} \left(h_p + h_s + 6 h_g\right)}{12 b_w} = \frac{\mu_0 N^{2} \mathrm{MLT} \left(\frac{h_p}{3} + 2 h_g + \frac{h_s}{3}\right)}{4 b_w}$$

    ✓ 复现的公式 xfmr.leakage.psp（pytest 用 sympy 验证两者相等）

18. 两个耦合绕组，各有自感，两者之间的互感为 $L_{12}$：

    $$v_1 = \frac{di_1}{dt} L_{11} + \frac{di_2}{dt} L_{12}$$

19. 以及绕组 2 上：

    $$v_2 = \frac{di_1}{dt} L_{12} + \frac{di_2}{dt} L_{22}$$

20. 将绕组 2 短路使 $v_2 = 0$，因此其电流与绕组 1 的电流反向变化：

    $$\frac{di_2}{dt} = - \frac{\frac{di_1}{dt} L_{12}}{L_{22}}$$

21. 此时从绕组 1 看进去的电感为 $v_1/(di_1/dt)$：

    $$L_\mathrm{sc} = L_{11} - \frac{L_{12}^{2}}{L_{22}}$$

22. 用耦合系数 $k = L_{12}/\sqrt{L_{11} L_{22}}$（`xfmr.k`）表示：

    $$L_\mathrm{sc} = L_{11} \left(1 - k^{2}\right)$$

    ✓ 复现的公式 xfmr.L_sc（pytest 用 sympy 验证两者相等）

23. 在变压器模型中（1:$n$，励磁电感 $L_M$ 与各漏感均折算到一次侧），绕组电感为

    $$L_{11} = L_M + L_{\ell 1}$$

24. 互感为

    $$L_{12} = L_M n$$

25. 以及绕组 2 的电感（其漏感 $L_{\ell 2} = n^2 L_{\ell 2}'$）：

    $$L_{22} = n^{2} \left(L_M + L_{\ell 2}'\right)$$

26. 代入后匝比消去：一次侧漏感，与二次侧漏感和 $L_M$ 的并联相串联。

    $$L_\mathrm{sc} = L_{\ell 1} + \frac{L_{\ell 2}' L_M}{L_{\ell 2}' + L_M}$$

    ✓ 复现的公式 xfmr.L_sc_T（pytest 用 sympy 验证两者相等）

27. 绕组 2 开路时其中无电流（$di_2/dt = 0$），两电压之比为

    $$V_2/V_1 = \frac{L_{12}}{L_{11}}$$

28. 在变压器模型中：略低于匝比，因为一次侧漏感分担了一部分电压。

    $$V_2/V_1 = \frac{n L_M}{L_{\ell 1} + L_M}$$

    ✓ 复现的公式 xfmr.V_oc（pytest 用 sympy 验证两者相等）

推导脚本：python/pe_core/derive/windings.py

测量：在自谐振附近读出的电感量

绕组是并联了匝间电容的电感。阻抗测量仪将测得的电抗除以 $\omega$，并将结果显示为电感。

1. 电感与电容并联：

   $$Z = \frac{1}{i C_p \omega - \frac{i}{L \omega}}$$

2. 它是纯电抗，

   $$Z = - \frac{i L \omega}{-1 + C_p L \omega^{2}}$$

3. 因此仪表读出的电感为 $Z/(j\omega)$：

   $$L_\mathrm{app} = - \frac{L}{-1 + C_p L \omega^{2}}$$

4. 用自谐振频率（`passive.f_srf`）表示，得 $\omega^2 L C_p = (f/f_\mathrm{srf})^2$：

   $$f_\mathrm{srf} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{C_p} \sqrt{L}}$$

5. 代入 $\omega = 2\pi f$：

   $$L_\mathrm{app} = - \frac{L f_\mathrm{srf}^{2}}{f^{2} - f_\mathrm{srf}^{2}} = \frac{L}{1 - \left(\frac{f}{f_\mathrm{srf}}\right)^{2}}$$

   ✓ 复现的公式 meas.L_app（pytest 用 sympy 验证两者相等）

推导脚本：python/pe_core/derive/measurement.py

线性源（linear sources）：最大功率、恒压提取（constant-voltage extraction）与无损电阻

线性能量源用其戴维南等效电路建模：开路电压 $V_\mathrm{oc}$ 串联源内阻 $R_s$。其可用功率有多少到达变换器，取决于变换器输入端呈现的特性。

1. 送入负载电阻 $R_L$ 的功率。

   $$P_L = \frac{R_L V_\mathrm{oc}^{2}}{\left(R_L + R_s\right)^{2}}$$

2. 由 $dP_L/dR_L = 0$ 得到匹配负载。

   $$R_L = R_s$$

3. 代入 $R_L = R_s$。

   $$P_\mathrm{max} = \frac{V_\mathrm{oc}^{2}}{4 R_s}$$

   ✓ 复现的公式 src.Pmax（pytest 用 sympy 验证两者相等）

4. 电压为 $V_c$ 的恒压负载（例如输入被固定在某一电压的变换器）汲取电流 $I = (V_\mathrm{oc} - V_c)/R_s$。

   $$I = \frac{V_\mathrm{oc} - V_c}{R_s}$$

5. 其吸收的功率：当 $V_c > V_\mathrm{oc}$ 时为负，此时负载将能量回馈给源。

   $$P = \frac{V_c \left(V_\mathrm{oc} - V_c\right)}{R_s}$$

   ✓ 复现的公式 src.cv_power（pytest 用 sympy 验证两者相等）

6. 以 $P_\mathrm{max}$ 归一化。

   $$\eta_\mathrm{ext} = \frac{4 V_c \left(V_\mathrm{oc} - V_c\right)}{V_\mathrm{oc}^{2}}$$

   ✓ 复现的公式 src.cv_extraction（pytest 用 sympy 验证两者相等）

7. 工作在 DCM 的变换器汲取的平均输入电流与其输入电压成正比：其输入端相当于电阻 $R_\mathrm{in}$，即无损电阻，它取代 $R_L$ 的位置。

8. 源内阻与 $R_\mathrm{in}$ 对源电压分压。

   $$V_g = \frac{V_\mathrm{oc} R_\mathrm{in}}{R_s + R_\mathrm{in}}$$

   ✓ 复现的公式 lfr.Vg（pytest 用 sympy 验证两者相等）

9. 在 $P_L$ 中令 $R_L = R_\mathrm{in}$，并以 $P_\mathrm{max}$ 归一化：源电压被消去。

   $$\eta_\mathrm{ext} = \frac{4 R_s R_\mathrm{in}}{\left(R_s + R_\mathrm{in}\right)^{2}}$$

   ✓ 复现的公式 lfr.eta（pytest 用 sympy 验证两者相等）

10. 无损电阻吸取的功率等于一个电阻在其输入电压下消耗的功率。

    $$P = \frac{V_g^{2}}{R_\mathrm{in}}$$

11. 解出 $V_g$：功率越大，所需输入电压越高。

    $$V_g = \sqrt{P R_\mathrm{in}}$$

    ✓ 复现的公式 lfr.Vg_power（pytest 用 sympy 验证两者相等）

12. DCM 反激变换器的输入电阻为 $R_\mathrm{in} = 2 L_M f_s / D^2$（在反激变换器部分推导）。

    $$R_\mathrm{in} = \frac{2 L_M f_s}{D^{2}}$$

13. 解出 $L_M$：即呈现所需 $R_\mathrm{in}$ 的电感，例如为与源匹配而取 $R_s$。

    $$L_M = \frac{R_\mathrm{in} D^{2}}{2 f_s}$$

    ✓ 复现的公式 lfr.L_M（pytest 用 sympy 验证两者相等）

14. 包络相对母线变化缓慢时，无损电阻每一时刻吸取 $\eta_\mathrm{ext} V_\mathrm{oc}^2/(4 R_s)$；取 $V_\mathrm{oc}(t) = \hat{V}_\mathrm{oc} \sin(\pi t / T_\mathrm{env})$，即包络的一个半波（整流后的正弦波重复这一半波）。

    $$P = \frac{\eta_\mathrm{ext} \hat{V}_\mathrm{oc}^{2} \sin^{2}{\left(\frac{\pi t}{T_\mathrm{env}} \right)}}{4 R_s}$$

15. 在半波内取平均：正弦波平方的平均值为其峰值平方的一半。

    $$\bar{P} = \frac{\eta_\mathrm{ext} \hat{V}_\mathrm{oc}^{2}}{8 R_s}$$

    ✓ 复现的公式 lfr.P_env（pytest 用 sympy 验证两者相等）

推导脚本：python/pe_core/derive/harvesting.py

压电源（piezoelectric source）：负载与接口电路

在幅值恒定的稳态正弦振动下，压电元件等效为电流源 $I_p \sin \omega t$ 与其夹持电容 $C_0$ 并联。负载或接口电路取得多少能量，取决于每个半周期内该电流的电荷流向何处。

1. 未接任何电路时，全部电流为 $C_0$ 充电：$v = \frac{1}{C_0}\int I_p \sin \omega t \, dt$。

   $$v = - \frac{I_p \cos{\left(\omega t \right)}}{C_0 \omega}$$

2. 其幅值。

   $$V_p = \frac{I_p}{\omega C_0}$$

   ✓ 复现的公式 piezo.Vp（pytest 用 sympy 验证两者相等）

3. 并接在元件两端的电阻 $R$ 与 $C_0$ 分流：其电压幅值为 $I_p |R \parallel 1/(j\omega C_0)|$，电阻吸收的功率为该幅值平方的一半除以 $R$。

   $$P = \frac{R I_p^{2}}{2 \left(1 + C_0^{2} R^{2} \omega^{2}\right)}$$

4. $dP/dR = 0$。

   $$R = \frac{1}{\omega C_0}$$

   ✓ 复现的公式 piezo.R_opt（pytest 用 sympy 验证两者相等）

5. 将其代入。

   $$P = \frac{I_p^{2}}{4 \omega C_0}$$

   ✓ 复现的公式 piezo.P_R（pytest 用 sympy 验证两者相等）

6. 源在每个半周期内，即位移的两个极值之间，输送 $2 I_p/\omega$ 的电荷。

   $$q = \frac{2 I_p}{\omega}$$

7. 经全波整流桥接到 $V_\mathrm{DC}$ 时，元件电压须从 $-V_\mathrm{DC}$ 摆到 $V_\mathrm{DC}$，整流桥才导通，这需要 $2 C_0 V_\mathrm{DC}$ 的电荷；其余电荷流入 $V_\mathrm{DC}$。

   $$E_{1/2} = V_\mathrm{DC} \left(- 2 C_0 V_\mathrm{DC} + \frac{2 I_p}{\omega}\right)$$

8. 折算到单位时间：每 $\pi/\omega$ 一个这样的半周期。

   $$P = \frac{2 I_p V_\mathrm{DC}}{\pi} - \frac{2 C_0 \omega V_\mathrm{DC}^{2}}{\pi} = \frac{2 V_\mathrm{DC} \left(I_p - \omega C_0 V_\mathrm{DC}\right)}{\pi}$$

   ✓ 复现的公式 piezo.P_std（pytest 用 sympy 验证两者相等）

9. $dP/dV_\mathrm{DC} = 0$：开路电压幅值的一半。

   $$V_\mathrm{DC} = \frac{I_p}{2 C_0 \omega}$$

10. 将其代入。

    $$P_\mathrm{std,max} = \frac{I_p^{2}}{2 \pi \omega C_0}$$

    ✓ 复现的公式 piezo.P_std_max（pytest 用 sympy 验证两者相等）

11. SECE 在两个极值之间使元件开路，因此其电压从零升到 $2 I_p/(\omega C_0)$；在极值处取走全部 $\tfrac12 C_0 v^2$，与负载无关。

    $$E_{1/2} = \frac{2 I_p^{2}}{C_0 \omega^{2}}$$

12. 折算到单位时间。

    $$P = \frac{2 I_p^{2}}{\pi \omega C_0}$$

    ✓ 复现的公式 piezo.P_sece（pytest 用 sympy 验证两者相等）

13. 并联 SSHI 在每个极值处将元件电压从 $\mp V_\mathrm{DC}$ 翻转到 $\pm\gamma V_\mathrm{DC}$，因此摆向另一侧电源轨只需 $(1 - \gamma) C_0 V_\mathrm{DC}$ 的电荷。

    $$E_{1/2} = V_\mathrm{DC} \left(- C_0 V_\mathrm{DC} \left(1 - \gamma\right) + \frac{2 I_p}{\omega}\right)$$

14. 折算到单位时间。

    $$P = \frac{2 I_p V_\mathrm{DC}}{\pi} - \frac{C_0 \omega V_\mathrm{DC}^{2}}{\pi} + \frac{C_0 \gamma \omega V_\mathrm{DC}^{2}}{\pi} = \frac{2 V_\mathrm{DC} \left(I_p - \frac{\omega C_0 V_\mathrm{DC} \left(1 - \gamma\right)}{2}\right)}{\pi}$$

    ✓ 复现的公式 piezo.P_sshi（pytest 用 sympy 验证两者相等）

15. $dP/dV_\mathrm{DC} = 0$。

    $$V_\mathrm{DC} = \frac{I_p}{C_0 \omega \left(1 - \gamma\right)}$$

16. 将其代入。

    $$P_\mathrm{SSHI,max} = \frac{I_p^{2}}{\pi \omega C_0 \left(1 - \gamma\right)}$$

    ✓ 复现的公式 piezo.P_sshi_max（pytest 用 sympy 验证两者相等）

推导脚本：python/pe_core/derive/piezo.py

电流输出型分流监控器

电流输出型高侧监控器将分流电阻两端的小电压转换为电流，再由输出电阻将该电流转换回以地为参考的电压。

1. 分流电阻两端的欧姆定律：这一电压既是信号，也是分流电阻从被测电路中占去的电压。

   $$V_\mathrm{SENSE} = I_\mathrm{SENSE} R_\mathrm{SENSE}$$

   ✓ 复现的公式 sense.burden（pytest 用 sympy 验证两者相等）

2. 理想放大器迫使 $R_\mathrm{IN}$ 两端出现相同的电压，因此流过 $R_\mathrm{IN}$ 的电流为 $V_\mathrm{SENSE}/R_\mathrm{IN}$。

   $$I_\mathrm{OUT} = \frac{V_\mathrm{SENSE}}{R_\mathrm{IN}}$$

3. 该电流经 $R_\mathrm{OUT}$ 流出：$V_\mathrm{OUT} = I_\mathrm{OUT} R_\mathrm{OUT}$。

   $$V_\mathrm{OUT} = \frac{I_\mathrm{SENSE} R_\mathrm{SENSE} R_\mathrm{OUT}}{R_\mathrm{IN}}$$

   ✓ 复现的公式 sense.current_out_monitor（pytest 用 sympy 验证两者相等）

4. 电压输出型放大器将检测电压乘以固定增益 $G$，再加上 REF 引脚上的电压，该电压决定电流为零时的输出。

   $$V_\mathrm{OUT} = G I_\mathrm{SENSE} R_\mathrm{SENSE} + V_\mathrm{REF}$$

   ✓ 复现的公式 sense.voltage_out_monitor（pytest 用 sympy 验证两者相等）

5. 输入失调电压直接叠加在检测电压上，因此两种放大器的输出所读出的电流均为

   $$I_\mathrm{meas} = \frac{V_\mathrm{OS} + I_\mathrm{SENSE} R_\mathrm{SENSE}}{R_\mathrm{SENSE}}$$

6. 无论电流多大，读数都比实际电流大出失调电压除以检测电阻的值。

   $$I_\mathrm{OS,eq} = \frac{V_\mathrm{OS}}{R_\mathrm{SENSE}}$$

   ✓ 复现的公式 sense.offset_current（pytest 用 sympy 验证两者相等）

7. 没有开尔文连接时，检测连接点位于焊盘和焊点之外，其电阻 $R_\mathrm{pad}$ 流过同一电流；按 $R_\mathrm{SENSE}$ 换算的读数为

   $$I_\mathrm{meas} = \frac{I_\mathrm{SENSE} \left(R_\mathrm{SENSE} + R_\mathrm{pad}\right)}{R_\mathrm{SENSE}}$$

8. 其相对误差：与电流无关，分流电阻越小，误差越大。

   $$\varepsilon_\mathrm{pad} = \frac{R_\mathrm{pad}}{R_\mathrm{SENSE}}$$

   ✓ 复现的公式 sense.pad_error（pytest 用 sympy 验证两者相等）

9. 两者同时存在时，放大器检测到 $I_\mathrm{SENSE} (R_\mathrm{SENSE} + R_\mathrm{pad}) + V_\mathrm{OS}$，并将其读作流过 $R_\mathrm{SENSE}$ 的电流。输出等于输出方程在该电流下的值；使输出升高的失调符号给出输出上限，另一符号给出下限。

   $$I_\mathrm{meas} = \frac{V_\mathrm{OS} + I_\mathrm{SENSE} \left(R_\mathrm{SENSE} + R_\mathrm{pad}\right)}{R_\mathrm{SENSE}} = \frac{I_\mathrm{SENSE} \left(R_\mathrm{SENSE} + R_\mathrm{pad}\right)}{R_\mathrm{SENSE}} + \frac{V_\mathrm{OS}}{R_\mathrm{SENSE}}$$

   ✓ 复现的公式 sense.reading（pytest 用 sympy 验证两者相等）

10. 其相对误差为两者之和，无交叉项：失调所占部分按 $1/I_\mathrm{SENSE}$ 减小，焊盘所占部分不变。

    $$\varepsilon_I = \frac{V_\mathrm{OS} + I_\mathrm{SENSE} R_\mathrm{pad}}{I_\mathrm{SENSE} R_\mathrm{SENSE}} = \frac{V_\mathrm{OS}}{I_\mathrm{SENSE} R_\mathrm{SENSE}} + \frac{R_\mathrm{pad}}{R_\mathrm{SENSE}}$$

    ✓ 复现的公式 sense.rel_error（pytest 用 sympy 验证两者相等）

11. 电流输出型放大器在节点 A 将其电流 $I_\mathrm{OUT}$ 注入 $R_\mathrm{OUT}$。其后接 R-C 滤波器：$R_f$ 接在节点 A 与节点 B 之间，$C_f$ 接在节点 B 与地之间，节点 B 上无其他负载。节点 A 的电流平衡（拉普拉斯域）：

    $$I_\mathrm{OUT} = \frac{V_A - V_B}{R_f} + \frac{V_A}{R_\mathrm{OUT}}$$

12. 以及节点 B：

    $$\frac{V_A - V_B}{R_f} = V_B s C_f$$

13. 解出电容电压，得到单个极点；直流时输出仍为 $I_\mathrm{OUT} R_\mathrm{OUT}$：

    $$\frac{V_B}{I_\mathrm{OUT}} = \frac{R_\mathrm{OUT}}{1 + s C_f R_\mathrm{OUT} + s C_f R_f}$$

14. 该极点的时间常数为 $C_f (R_\mathrm{OUT} + R_f)$：从电容看进去是 $R_\mathrm{OUT}$ 与 $R_f$ 串联。$R_\mathrm{OUT}$ 是其所接电流源的戴维南电阻。

    $$R_\mathrm{filt} = R_\mathrm{OUT} + R_f$$

    ✓ 复现的公式 sense.filter_R（pytest 用 sympy 验证两者相等）

推导脚本：python/pe_core/derive/sensing.py

实验台：边沿、栅极驱动、上升时间、浪涌电流、发热与电池端子

由电感和电容的伏安关系、一阶电路的阶跃响应、栅极电阻上的欧姆定律、串联热路以及 Rint 电池模型得到的结果，以实验台上使用的形式给出。

1. 电感两端的电压与其电流的变化率成正比：

   $$v = L_\mathrm{loop} \frac{d}{d t} i{\left(t \right)}$$

2. 变化量为 $\Delta I$、在边沿 $t_\mathrm{edge}$ 内线性变化的电流，其变化率恒定：

   $$\frac{d}{d t} i{\left(t \right)} = \frac{\Delta I}{t_\mathrm{edge}}$$

3. 因此在整个边沿期间，回路电感上产生的电压为

   $$V_\mathrm{spike} = \frac{L_\mathrm{loop} \Delta I}{t_\mathrm{edge}}$$

   ✓ 复现的公式 layout.v_spike（pytest 用 sympy 验证两者相等）

4. 关断边沿之后，回路电感与开关节点电容构成串联 L-C 并产生振铃，其频率为

   $$f_\mathrm{ring} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{C_\mathrm{node}} \sqrt{L_\mathrm{loop}}}$$

5. 因此由振铃频率可得回路电感：

   $$L_\mathrm{loop} = \frac{1}{4 \pi^{2} f_\mathrm{ring}^{2} C_\mathrm{node}}$$

   ✓ 复现的公式 layout.L_ring（pytest 用 sympy 验证两者相等）

6. 漏极电压跳变期间，栅极保持在平台电压 $V_\mathrm{pl}$。驱动器将其输出切换到 $V_\mathrm{GS}$（开通）或 0（关断），与栅极之间隔着栅极回路电阻 $R_G$，因此根据欧姆定律，此期间栅极电流恒定：

7. 开通时

   $$I_G = \frac{V_\mathrm{GS} - V_\mathrm{pl}}{R_G}$$

   ✓ 复现的公式 gate.I_on（pytest 用 sympy 验证两者相等）

8. 以及关断时

   $$I_G = \frac{V_\mathrm{pl}}{R_G}$$

   ✓ 复现的公式 gate.I_off（pytest 用 sympy 验证两者相等）

9. 恒定电流以恒定速率输送电荷：

   $$q = I_G t$$

10. 因此平台期（栅极在此期间吸收栅漏电荷 $Q_\mathrm{GD}$）的持续时间为

    $$t_\mathrm{pl} = \frac{Q_\mathrm{GD}}{I_G}$$

    ✓ 复现的公式 gate.t_pl（pytest 用 sympy 验证两者相等）

11. 电容的电荷等于电容量乘以电压，因此提供电荷 $Q_\mathrm{boot}$ 会使其电压降低

    $$\Delta V_\mathrm{boot} = \frac{Q_\mathrm{boot}}{C_\mathrm{boot}}$$

12. 要使电压跌落不超过 $\Delta V_\mathrm{boot}$，电容至少应为

    $$C_\mathrm{boot} = \frac{Q_\mathrm{boot}}{\Delta V_\mathrm{boot}}$$

    ✓ 复现的公式 boot.C（pytest 用 sympy 验证两者相等）

13. 单极点系统对单位阶跃的响应为

    $$y = 1 - e^{- \frac{t}{\tau}}$$

14. 它到达终值的 10 % 和 90 % 的时刻为

    $$\left( t_{10} = \tau \ln{\left(\frac{10}{9} \right)}, \ t_{90} = \tau \ln{\left(10 \right)}\right)$$

15. 因此其 10-90 % 上升时间为

    $$t_\mathrm{rise} = 2 \tau \ln{\left(3 \right)}$$

16. 其 -3 dB 带宽为同一极点的转折频率：

    $$f_\mathrm{BW} = \frac{1}{2 \pi \tau}$$

17. 消去 $\tau$：

    $$t_\mathrm{rise} = \frac{\ln{\left(3 \right)}}{\pi f_\mathrm{BW}} = \frac{\ln{\left(9 \right)}}{2 \pi f_\mathrm{BW}}$$

    ✓ 复现的公式 probe.t_rise（pytest 用 sympy 验证两者相等）

18. 探头尖端与接地线构成的回路电感和探头输入电容组成串联 L-C；无损耗时其电流 $i$ 满足

    $$L_\mathrm{gnd} \frac{d^{2}}{d t^{2}} i{\left(t \right)} + \frac{i{\left(t \right)}}{C_\mathrm{probe}} = 0$$

19. 其解的振铃角频率为

    $$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{C_\mathrm{probe}} \sqrt{L_\mathrm{gnd}}}$$

20. 即频率为

    $$f_\mathrm{probe} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L_\mathrm{gnd} C_\mathrm{probe}}}$$

    ✓ 复现的公式 probe.f_ring（pytest 用 sympy 验证两者相等）

21. 未充电的电容经串联电阻接入阶跃电压 $V_g$，其充电电流为

    $$i = \frac{V_g e^{- \frac{t}{C_\mathrm{in} R_\mathrm{ser}}}}{R_\mathrm{ser}}$$

22. 该电流在阶跃瞬间最大，此时电容两端电压为零：

    $$I_\mathrm{inrush} = \frac{V_g}{R_\mathrm{ser}}$$

    ✓ 复现的公式 inrush.I_pk（pytest 用 sympy 验证两者相等）

23. 其平方在整个脉冲上的积分为

    $$I^2 t = \frac{V_g^{2} C_\mathrm{in}}{2 R_\mathrm{ser}}$$

    ✓ 复现的公式 inrush.I2t（pytest 用 sympy 验证两者相等）

24. 电容电流等于电容量乘以其电压的变化率：

    $$i = C_\mathrm{in} \frac{d}{d t} v{\left(t \right)}$$

25. 因此电压从零线性上升到 $V_g$、历时 $t_\mathrm{ramp}$ 时，电流恒定：

    $$I_\mathrm{ramp} = \frac{C_\mathrm{in} V_g}{t_\mathrm{ramp}}$$

    ✓ 复现的公式 inrush.I_ramp（pytest 用 sympy 验证两者相等）

26. 热阻是热流路径中某一段上每瓦流经功率对应的温差。器件的全部功率依次从结流到外壳、从外壳流到散热器、再从散热器流到环境时，

    $$\left( T_J - T_C = P_D \theta_\mathrm{JC}, \ T_C - T_S = P_D \theta_\mathrm{CS}, \ T_S - T_A = P_D \theta_\mathrm{SA}\right)$$

27. 各段温升从环境温度起逐级相加：

    $$T_J = T_A + P_D \left(\theta_\mathrm{JC} + \theta_\mathrm{CS} + \theta_\mathrm{SA}\right)$$

    ✓ 复现的公式 therm.Tj（pytest 用 sympy 验证两者相等）

28. Rint 模型为开路电压串联内阻；充电电流经内阻流入正极端子（`bat.rint`）：

    $$I_b = \frac{V - V_b}{R_b}$$

29. 因此端电压为

    $$V = V_b + I_b R_b$$

    ✓ 复现的公式 bat.v_term（pytest 用 sympy 验证两者相等）

推导脚本：python/pe_core/derive/bench.py

仿真：逐个时间步长（time step）计算电路，以及稳定所需的时间

仿真器按时间步长逐步计算电路的状态。在一个时间步长内，开关变换器是电源恒定的线性电路；一阶电路的例子表明，这样的电路可以逐步精确计算。常用的积分方法在一个衰减模态上比较，即试验方程（test equation），每种方法在每一步都将偏差乘以一个固定因子。随后由输出滤波器振铃的包络得出：从零初始状态开始的仿真需要多少个开关周期，其最后几个周期才能呈现稳态。

1. 在一个时间步长内，电路是线性的，电源恒定。于是经电阻充电的电容趋近电压 $v_\infty$，其速率等于剩余差值除以时间常数 $\tau$：

   $$\frac{d}{d t} v{\left(t \right)} = \frac{v_\infty - v{\left(t \right)}}{\tau}$$

2. 以该步起点的电压 $v_0$ 为初值求解：

   $$v{\left(t \right)} = v_\infty + \left(v_0 - v_\infty\right) e^{- \frac{t}{\tau}}$$

3. 在该步终点，$t = \Delta t$。此处未作任何近似，因此步长可以与整个区间一样长：

   $$v_1 = v_\infty + \left(v_0 - v_\infty\right) e^{- \frac{\Delta t}{\tau}}$$

   ✓ 复现的公式 sim.exact_step（pytest 用 sympy 验证两者相等）

4. 单独取一个衰减模态来比较常用方法：即电路偏离其趋向值的偏差 $x$，其变化率为 $-x/\tau$（试验方程）。某种方法将其从 $x_0$ 计算到 $x_1$，历经 $\Delta t$，则每一步都将其乘以因子 $g = x_1/x_0$：

   $$\frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = - \frac{x{\left(t \right)}}{\tau}$$

5. 前向欧拉法（forward Euler）取该步起点的斜率：

   $$x_1 = x_0 - \frac{x_0 \Delta t}{\tau}$$

6. 其每步的因子：

   $$g_\mathrm{FE} = 1 - \frac{\Delta t}{\tau}$$

   ✓ 复现的公式 num.gain_fe（pytest 用 sympy 验证两者相等）

7. 梯形法（trapezoidal rule）取该步两端斜率的平均值，因此 $x_1$ 出现在等式两边：

   $$x_1 = x_0 + \frac{\Delta t \left(- \frac{x_0}{\tau} - \frac{x_1}{\tau}\right)}{2}$$

8. 解出 $x_1$，再除以 $x_0$：

   $$g_\mathrm{TR} = - \frac{\Delta t - 2 \tau}{\Delta t + 2 \tau} = \frac{1 - \frac{\Delta t}{2 \tau}}{1 + \frac{\Delta t}{2 \tau}}$$

   ✓ 复现的公式 num.gain_tr（pytest 用 sympy 验证两者相等）

9. 后向欧拉法（backward Euler）取该步终点的斜率：

   $$x_1 = x_0 - \frac{x_1 \Delta t}{\tau}$$

10. 其每步的因子：

    $$g_\mathrm{BE} = \frac{\tau}{\Delta t + \tau} = \frac{1}{1 + \frac{\Delta t}{\tau}}$$

    ✓ 复现的公式 num.gain_be（pytest 用 sympy 验证两者相等）

11. 步长远大于 $\tau$ 时，即对于刚性（stiff）模态，精确因子 $e^{-\Delta t/\tau}$ 接近零。前向欧拉法的因子无限增大；梯形法的因子趋于 $-1$，因此该模态大小不变而每步变号；后向欧拉法的因子则与精确因子一样趋于零：

    $$\left( \lim_{\Delta t \to \infty}\left(- \frac{\Delta t - 2 \tau}{\Delta t + 2 \tau}\right) = -1, \ \lim_{\Delta t \to \infty}\left(\frac{\tau}{\Delta t + \tau}\right) = 0\right)$$

12. 后向欧拉法用该步终点的斜率计算电感电流，即电感两端电压 $v_{L,1}$ 除以电感：

    $$i_1 = i_0 + \frac{v_{L,1} \Delta t}{L}$$

13. 二极管关断之前，其电流已越过零点，到达 $-I_\mathrm{os}$。若没有其他支路承接该电流，下一步结束时电流必须为零：

    $$0 = - I_\mathrm{os} + \frac{v_{L,1} \Delta t}{L}$$

14. 解出该步中电感两端的电压：

    $$v_\mathrm{jump} = \frac{L I_\mathrm{os}}{\Delta t}$$

    ✓ 复现的公式 sim.step_jump（pytest 用 sympy 验证两者相等）

15. 取一个由理想元件构成的降压变换器。电源置零时（电压源视为短路），滤波器的电感、电容与负载电阻并联。该并联 RLC 电路的固有响应按 $e^{st}$ 变化，$s$ 为其特征方程的根：

    $$\frac{1}{C L} + \frac{s}{C R} + s^{2} = 0$$

16. 滤波器振铃时，两根为一对共轭复数。它们的公共实部即两根之和的一半，为 $-\alpha$；$\alpha$ 是振铃包络的衰减率，即奈培频率（neper frequency）：

    $$\alpha = \frac{1}{2 C R}$$

17. 包络按 $e^{-\alpha t}$ 衰减，时间常数为 $1/\alpha$，与电感无关（理想元件）：

    $$\tau_\mathrm{env} = 2 R C$$

    ✓ 复现的公式 filter.tau_env（pytest 用 sympy 验证两者相等）

18. 从零初始状态开始的仿真，初始误差与稳态值本身一样大。经过 $N$ 个开关周期后，误差衰减为初始值的 $\varepsilon_r$ 倍：

    $$\varepsilon_r = e^{- \frac{N T_s}{\tau_\mathrm{env}}}$$

19. 解出 $N$：

    $$N_\mathrm{set} = - \frac{\tau_\mathrm{env} \ln{\left(\varepsilon_r \right)}}{T_s} = \frac{\tau_\mathrm{env} \ln{\left(\frac{1}{\varepsilon_r} \right)}}{T_s}$$

    ✓ 复现的公式 sim.periods_settle（pytest 用 sympy 验证两者相等）

推导脚本：python/pe_core/derive/numerics.py