电源模型

目标

把在工作范围内呈线性的能量收集器建模为开路电压串联源内阻，并了解它所能给出的最大功率。
把振动的压电元件（piezoelectric element）建模为与其夹持电容（clamped capacitance）并联的电流源，并求出从中取得最大功率的电阻。
了解摩擦电发电机（triboelectric generator）的优值（figure of merit）比较的是什么。

理论

线性源

在其工作范围内呈线性的电源，从负载看去相当于开路电压（open-circuit voltage） $V_\mathrm{oc}$ 串联源内阻 $R_s$ ，即其戴维南等效电路（Thevenin equivalent）[Alexander & Sadiku 2017, Ch. 4]。负载电阻等于源内阻时，它输出的功率最大 [Alexander & Sadiku 2017, Sec. 4.8 (Maximum Power Transfer)]：

P_\mathrm{max} = \frac{V_\mathrm{oc}^{2}}{4 R_s}

$P_\mathrm{max}$: 最大可用功率
$R_s$: 源内阻（source resistance）
$V_\mathrm{oc}$: 电源开路电压（open-circuit voltage）

线性源的最大功率✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

内阻为 R_s 的线性（戴维南）源 V_oc

备注

在匹配负载

R_L = R_s

上获得

出处

Alexander & Sadiku 2017, Sec. 4.8 (Maximum Power Transfer)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

src.Pmax · equations.yaml 条目

这就是电源的可用功率。接在其后的变换器取走其中的一部分，其多少取决于变换器输入端呈现的特性；匹配模块求出这一比例。

振动的压电元件

装在作正弦振动的结构上的压电元件输出与结构速度成正比的电流。计入其两端的夹持电容 $C_0$ ，它就是与 $C_0$ 并联的电流源 $I_p \sin \omega t$ [Guyomar et al. 2005]，前提是电气侧取走的能量不改变振动幅值。不接任何电路时，全部电流都对 $C_0$ 充放电，电压向正负两个方向摆动的幅度各为

V_p = \frac{I_p}{\omega C_0}

$V_p$: 开路电压幅值
$C_0$: 夹持电容（clamped capacitance）
$I_p$: 压电电流幅值
$\omega$: 振动角频率

振动压电元件的开路电压幅值✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

压电元件等效为电流源 I_p sin(ωt) 与其夹持电容 C_0 并联；振动幅值与电负载无关（弱耦合）

备注

不接任何负载时，全部电流都对

C_0

充放电

出处

Guyomar et al. 2005, the element's electromechanical model; derived here

推导

sympy 逐步推导

公式 id

piezo.Vp · equations.yaml 条目

它的内阻抗是电容，而不是电阻。并接在元件两端的电阻与 $C_0$ 分流，当其阻值等于振动频率下该电容的电抗时，取得的功率最大：

R = \frac{1}{\omega C_0}

$R$: 负载电阻
$C_0$: 夹持电容（clamped capacitance）
$\omega$: 振动角频率

从振动压电元件获取最大功率的电阻负载✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

压电元件等效为电流源 I_p sin(ωt) 与其夹持电容 C_0 并联；振动幅值与电负载无关（弱耦合）

备注

振动频率下夹持电容的电抗

出处

Guyomar et al. 2005, the element's electromechanical model; derived here

推导

sympy 逐步推导

公式 id

piezo.R_opt · equations.yaml 条目

P = \frac{I_p^{2}}{4 \omega C_0}

$P$: 功率
$C_0$: 夹持电容（clamped capacitance）
$I_p$: 压电电流幅值
$\omega$: 振动角频率

最佳电阻负载获得的功率✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

压电元件等效为电流源 I_p sin(ωt) 与其夹持电容 C_0 并联；振动幅值与电负载无关（弱耦合）

备注

并联在元件两端的电阻

R

获得的功率为

I_p^2 R/(2(1 + (\omega R C_0)^2))

，在

R = 1/(\omega C_0)

时最大

出处

Guyomar et al. 2005, the element's electromechanical model; derived here

推导

sympy 逐步推导

公式 id

piezo.P_R · equations.yaml 条目

最佳电阻取决于频率：按一种振动选定的电阻，在另一种振动下就会失配。负载取得的能量来自振动，因此，只有当每个周期收集的能量相对于结构自身机械损耗消耗的能量很小，或者运动由外部强制施加时，该模型才成立。否则，能量收集会降低振动幅值；在尖锐的谐振附近，电负载还可能使谐振本身偏移；该模型忽略了这两种效应，因而高估了功率。

储能元件需要直流电压，因此压电元件通常经整流器工作。接到最佳直流电压上的全波整流桥（full-wave bridge）取得的功率小于最佳电阻（标准接口电路的最大功率）；SECE 和 SSHI 这两种非线性接口电路（SECE、SSHI 与 MPPT）取得的功率更大。

摩擦电发电机

Zi 等提出，用运动一个周期所能输出的最大能量，即其最大能量输出循环（cycles for maximized energy output）的能量，除以面积和位移，来比较摩擦纳米发电机（triboelectric nanogenerator）。其性能优值等于由设计决定的结构优值（structural figure of merit）乘以由材料决定的表面电荷密度（surface charge density）的平方 [Zi et al. 2015]。它按每个周期的能量评价发电机，而不是按某个特定负载恰好取得的功率。

例题

一个压电元件，先开路，再接最佳电阻：

压电源示例

符号	数值	求法
$I_p$ 压电电流幅值	100 µA	已知
$\omega$ 振动角频率	1 krad/s	已知
$C_0$ 夹持电容（clamped capacitance）	50 nF	已知
$V_p$ 开路电压幅值	2 V	振动压电元件的开路电压幅值
$R$ 负载电阻	20 kΩ	从振动压电元件获取最大功率的电阻负载
${P}_{\mathrm{R}}$ 功率	50 µW	最佳电阻负载获得的功率

该元件在 1 krad/s 下输出 100 µA 的电流，与 50 nF 的电容并联。开路时，其电压向正负两个方向各摆动 2 V。最佳电阻为 20 kΩ，它取得 50 µW。

动手试试

▶ 在公式浏览器中打开：从振动压电元件获取最大功率的电阻负载
预设取自例题 piezo-source

扫描振动频率：频率升高时最佳电阻减小，因此固定电阻只与一种振动匹配。

▶ 在公式浏览器中打开：线性源的最大功率
预设取自例题 match-basic

扫描线性源的源内阻：源内阻减半，可用功率加倍。

实验练习

把元件装在以恒定正弦幅值驱动的振动台（shaker）上。用输入电阻远大于最佳电阻的探头测量其开路电压幅值，并记下探头的输入电容，它会叠加到 $C_0$ 上（探头）。然后用十进制电阻箱（decade resistance box）给元件加载，记录每个阻值下的电压幅值，并计算每个电阻取得的功率。找出取得功率最大的电阻，将其与振动频率下元件电容的电抗比较；该电容用 LCR 测试仪在远离结构谐振的频率下测量：在谐振附近，运动会叠加到测得的电容上，而远离谐振时，对于弱耦合的元件，这一叠加很小。在另一个频率下重复，观察最佳电阻的移动。

易错点

探头会给高阻抗电源加载。其输入电阻和输入电容与电源并联；在相信读数之前，先将它们与最佳电阻（最佳电阻）及 $C_0$ 比较。
最佳电阻只在一个频率下成立。它是振动频率下 $C_0$ 的电抗，随频率而变。
接到直流电压上的整流桥取得的功率小于最佳电阻（标准接口电路的最大功率）。
该模型不计负载对振动的阻尼。若负载取走的能量相对于结构自身损耗消耗的能量并不小，振动幅值就会降低，此时该模型高估功率。

测验

一个线性源的开路电压为 20 V，源内阻为 50 ohm。它最多能给出多少功率？
1. 8 W
2. 2 W
3. 4 W
4. 0.5 W
答案与解析
正确答案：B 开路电压的平方除以源内阻的四倍：400 除以 200 得 2 W，由 50 ohm 的负载取得。
该电源向哪种负载输出的功率最大？
1. 短路，它吸取的电流最大
2. 开路，它的电压最高
3. 与源内阻相等的电阻，即 50 ohm
4. 源内阻两倍的电阻
答案与解析
正确答案：C 接匹配负载时，开路电压的一半降在负载上，另一半降在源内阻上；短路或开路都完全取不到功率。
一个压电元件在 2000 rad/s 下输出幅值为 50 uA 的电流，与 25 nF 的夹持电容并联。其开路电压幅值是多少？
1. 1 V
2. 0.5 V
3. 2 V
4. 4 V
答案与解析
正确答案：A 不接任何电路时，全部电流都对该电容充放电：50e-6 除以（2000 乘以 25e-9），即 1 V。
最佳电阻从该元件取得多少功率？
1. 25 uW
2. 50 uW
3. 6.25 uW
4. 12.5 uW
答案与解析
正确答案：D 最佳电阻等于该电容的电抗，1/(2000 乘以 25e-9) = 20 kohm，它取得的功率为电流幅值的平方除以 omega C_0 的四倍：2.5e-9 除以 2e-4，即 12.5 uW。
振动频率加倍，电流幅值不变。最佳电阻如何变化？
1. 加倍
2. 减半
3. 不变
4. 降为四分之一
答案与解析
正确答案：B 它是夹持电容的电抗，即 omega C_0 的倒数，omega 加倍时它减半。
为什么示波器探头会改变高阻抗电源的读数？
1. 其输入电阻和输入电容与电源并联，分走一部分电流
2. 它给每个读数都加上一个直流失调
3. 它改变振动频率
4. 不会：探头不吸取电流
答案与解析
正确答案：A 探头本身就是负载。对于最佳电阻很大的电源，探头的输入电阻和输入电容不可忽略。
Zi 等的性能优值把哪两项相乘来评价摩擦纳米发电机？
1. 开路电压乘以短路电流
2. 送入固定电阻的功率乘以面积
3. 电容乘以频率
4. 由设计决定的结构优值，乘以表面电荷密度的平方
答案与解析
正确答案：D 它评价一个周期所能输出的能量，按单位面积和单位位移计：由设计部分和材料部分组成，材料部分即表面电荷密度的平方。

本站例题、预设和练习中的数值均为合成值：为教学而凑整的数值，并非来自任何实际设计的数据。

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振动的压电元件

摩擦电发电机

例题

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