控制基础

目标

• 建立脉宽调制器（pulse-width modulator, PWM）的模型，并计算其小信号增益（small-signal gain）。
• 计算电压模式（voltage-mode）反馈环路在给定频率下的环路增益（loop gain）。
• 定量分析反馈对扰动（disturbance）的抑制，并识别反馈在何处不再起作用。

理论

PWM 调制器

电压模式控制器将控制电压（control voltage）$V_\mathrm{ctrl}$ 与峰值幅值为 $V_M$ 的锯齿波（sawtooth ramp）比较。锯齿波低于控制电压时开关管导通，因此占空比（duty ratio）与控制电压成正比：

$$D = \frac{V_\mathrm{ctrl}}{V_M}$$

$D$

占空比（duty ratio）

$V_M$

PWM 斜坡幅值

$V_\mathrm{ctrl}$

PWM 控制电压

PWM 比较器决定的占空比✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 斜坡从 0 升至 V_M 的后沿（trailing-edge）PWM

备注

因此小信号调制器增益为 $1/V_M$

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 7 (AC Equivalent Circuit Modeling)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

pwm.d · equations.yaml 条目

因此，调制器从控制电压到占空比的小信号增益为 $1/V_M$ [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 7]。

环路增益

在电压模式环路中，输出电压由增益为 $H$ 的传感器（通常是电阻分压器）测量，并与参考电压（reference）比较。二者之差由补偿器（compensator）$G_c$ 放大，再由调制器转换为占空比，变换器的控制-输出传递函数（control-to-output transfer function）$G_{vd}$ 使环路闭合。沿环路一周各增益的乘积就是环路增益 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 9]：

$$T = \frac{G_c G_{vd} H}{V_M}$$

$T$

环路增益（loop gain）

$G_c$

补偿器增益（compensator gain）

$G_{vd}$

控制-输出增益

$H$

传感器（分压器）增益

$V_M$

PWM 斜坡幅值

电压模式反馈环路的环路增益✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• CCM 工作点附近的小信号（线性化）模型

备注

为同一频率下的幅值；各因子的相位相加

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 9 (Controller Design)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

loop.T · equations.yaml 条目

在每个频率下，各幅值相乘，各相位相加。对降压（buck）变换器，$G_{vd}$ 就是小信号页面中的传递函数；对升压（boost）和升降压（buck-boost）变换器，它还包含右半平面（RHP）零点（zero）。

反馈带来什么

来自输入电压或负载、进入环路的扰动，到达输出时减小到原来的 $1 + T$ 分之一 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 9]：

$$S = \frac{1}{1 + T}$$

$S$

扰动（disturbance）的残余比例

$T$

环路增益（loop gain）

反馈对扰动的抑制✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• CCM 工作点附近的小信号（线性化）模型
• 环路增益按实数幅值处理（在远低于穿越频率时有效）

备注

在 $T \gg 1$ 的频率上，扰动大致减小到原来的 $T$ 分之一

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 9 (Controller Design)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

loop.suppression · equations.yaml 条目

在环路增益大的频段（低频），扰动被抑制的倍数约等于环路增益，输出跟随参考电压除以 $H$ 所得的值：它取决于传感器和参考电压，而不取决于变换器的增益。在环路增益远小于 1 的频段，即穿越频率（crossover frequency）以上，反馈不起作用。在穿越频率附近，环路增益是复数；相位裕度（phase margin）小时，$1 + T$ 的幅值降到 1 以下，该频段的扰动不但不被抑制，反而被放大 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 9]。

例题

在直流（dc）下计算的电压模式降压变换器环路示例：

电压模式环路示例

符号	数值	求法
$V_g$ 输入电压	24 V	已知
$V_M$ PWM 斜坡幅值	2 V	已知
$V_\mathrm{ctrl}$ PWM 控制电压	1 V	已知
$G_c$ 补偿器增益（compensator gain）	10	已知
$H$ 传感器（分压器）增益	0.2	已知
$D$ 占空比（duty ratio）	0.5	PWM 比较器决定的占空比
$G_{vd}$ 控制-输出增益	24 V	降压变换器控制-输出直流增益，CCM
$T$ 环路增益（loop gain）	24	电压模式反馈环路的环路增益
$S$ 扰动（disturbance）的残余比例	0.04	反馈对扰动的抑制

调制器把控制电压转换为 0.5 的占空比。直流下的环路增益为 24，因此缓慢的扰动到达输出时，其影响是无反馈时的 0.04 倍。

动手试试

▶ 在公式浏览器中打开：反馈对扰动的抑制
预设取自例题 control-basic

以对数坐标在几个数量级（decade）的范围内扫描（sweep）环路增益：环路增益较大时，它每增大十倍，抑制就再增强十倍。

实验练习

用注入（injection）法测量闭环（closed-loop）变换器的环路增益。在反馈通路中、输出与检测分压器之间串入一个小电阻，并通过隔离变压器（isolation transformer）在其两端注入一个小的正弦（sinusoidal）信号。用频率响应分析仪（frequency response analyzer, FRA）测得的电阻两侧信号之比，就是环路增益 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 9]。求出穿越频率和相位裕度，然后将输出对输入电压阶跃（step）的响应与环路在低频下的抑制作用比较。

易错点

• 调制器增益取决于锯齿波幅值。若控制器的锯齿波幅值与输入电压成比例变化，降压变换器的环路增益就与输入电压无关，因为降压变换器的直流增益（dc gain）等于输入电压（降压变换器控制-输出直流增益，CCM）。
• 偏离直流时要使用复数环路增益。上面的实数形式只在 $T$ 为实数处精确成立。在其他频率下，应除以复数和 $1 + T$ 的幅值；环路增益较大时，两者非常接近。
• 饱和（saturated）的调制器会使环路断开。控制电压一旦超出锯齿波的范围，占空比就被限幅，环路增益急剧下降；本页的公式不再适用。

延伸阅读

• 图书章节 Controller Design (Ch. 9) — R. W. Erickson, D. Maksimović · 访问于 2026-09-23
  环路增益、穿越频率、相位裕度，以及 PD/PI 补偿器的设计。
• 图书章节 AC Equivalent Circuit Modeling (Ch. 7) — R. W. Erickson, D. Maksimović · 访问于 2026-09-23
  变换器方程的平均、扰动与线性化，以及 PWM 调制器的小信号模型。
• 课程 Converter Control — University of Colorado Boulder (Coursera) · 访问于 2026-09-23
  平均小信号模型、变换器传递函数与反馈环路设计。

测验

1. 一个 PWM 调制器使用峰值幅值为 $2\,\mathrm{V}$ 的锯齿波。控制电压为 $0.6\,\mathrm{V}$ 时，占空比是多少？

   1. 0.12
   2. 0.3
   3. 0.6
   4. 3.3
   答案与解析

   正确答案：B 锯齿波低于控制电压时开关管导通，因此占空比等于控制电压除以锯齿波幅值。

2. 在某一频率下，一个电压模式环路的 $G_c = 5$，$G_{vd} = 12\,\mathrm{V}$，$H = 0.25$，$V_M = 1.5\,\mathrm{V}$。该频率下环路增益的幅值是多少？

   1. 2.5
   2. 10
   3. 40
   4. 60
   答案与解析

   正确答案：B 沿环路一周各幅值相乘，调制器贡献 $1/V_M$：5 乘以 12 再乘以 0.25，然后除以 1.5。

3. 直流下测得环路增益为 19。与无反馈时相比，缓慢的输入电压扰动在输出端的影响还剩下几分之几？

   1. 19
   2. 20
   3. 1/19
   4. 1/20
   答案与解析

   正确答案：D 扰动被 $1 + T$ 除，即被 20 除；它到达输出端时，影响只有无反馈时的二十分之一。

4. 在远高于穿越频率的频段，反馈对扰动的抑制有多大？

   1. 几乎没有抑制，因为环路增益远小于 1
   2. 抑制的倍数等于直流环路增益
   3. 抑制的程度由相位裕度决定
   4. 完全抑制
   答案与解析

   正确答案：A 在环路增益幅值远小于 1 的频段，$1 + T$ 接近 1，因此扰动就像没有反馈一样通过。

5. 一个环路的相位裕度很小。穿越频率附近的扰动会怎样？

   1. 受到更强的抑制
   2. 不受影响
   3. 可能被放大，因为 $1 + T$ 的幅值降到 1 以下
   4. 被移到开关频率处
   答案与解析

   正确答案：C 在穿越频率附近，环路增益的幅值约为 1；若相位接近 $-180^\circ$，复数和 $1 + T$ 就会变小，除以它会放大扰动。

6. 为什么让 PWM 锯齿波幅值随输入电压成比例变化，能使降压变换器的环路增益在整个输入电压范围内保持不变？

   1. 因为它使占空比保持不变
   2. 因为降压变换器的控制-输出增益与输入电压成正比，并被锯齿波幅值所除
   3. 因为它改变了开关频率
   4. 因为它消除了右半平面零点
   答案与解析

   正确答案：B 降压变换器的直流增益 $G_{d0}$ 等于 $V_g$，调制器贡献 $1/V_M$。若 $V_M$ 与 $V_g$ 成正比，二者之积以及环路增益就不再取决于 $V_g$。