伏秒平衡与电荷平衡

目标

• 表述电感伏秒平衡（volt-second balance）和电容电荷平衡（charge balance），并解释它们为何在稳态（steady state）下成立。
• 用这两个条件求连续导通模式（continuous conduction mode, CCM）下变换器的直流电压变换比（conversion ratio）。
• 识别平衡条件不适用的情形。

理论

伏秒平衡

在周期稳态下，每个波形都逐个开关周期（switching period）重复，因此电感电流在每个周期结束时回到其起始值。电感电压在一个周期内的积分等于 $L$ 乘以这一电流净变化量，而该净变化量为零：一个周期内电感电压的平均值为零，即 $\langle v_L \rangle = 0$ [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 2]。这就是电感伏秒平衡。

CCM 下的降压变换器。电感电压 $v_L$ 在开关管导通时为 $V_g - V$，关断时为 $-V$。稳态（steady state）下，两块阴影所示的伏秒（volt-second）面积相等，因此 $i_L$ 在每个周期结束时回到起始值。$\Delta i_L$ 为纹波（ripple）峰峰值的一半。 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 2]

采用小纹波近似（small-ripple approximation）时，电感电压在导通区间（on-interval）$D T_s$ 内取一个恒定值，在关断区间（off-interval）$(1 - D) T_s$ 内取另一个恒定值。平衡条件用前者确定后者：

$$v_{L,\mathrm{off}} = - \frac{D v_{L,\mathrm{on}}}{1 - D}$$

$v_{L,\mathrm{off}}$

开关管关断时的电感电压

$D$

占空比（duty ratio）

$v_{L,\mathrm{on}}$

开关管导通时的电感电压

伏秒平衡：关断区间的电感电压✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 周期稳态
• 小纹波近似（small-ripple approximation）

备注

$\langle v_L \rangle = 0$ 的两区间形式

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 2 (Principles of Steady-State Converter Analysis)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

vsb.v_off · equations.yaml 条目

开关管导通期间施加的正伏秒积，必须由其关断期间的负伏秒积抵消。

平均值不为零时

在一个周期内，电感电流的变化量等于电感电压的平均值乘以周期，再除以电感量：

$$\Delta i = \frac{\langle v_L \rangle T_s}{L}$$

$\Delta i$

电感电流变化量

$L$

电感

$T_s$

开关周期

$\langle v_L \rangle$

一个周期内电感电压的平均值

一个周期内电感电流的变化量✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 线性（未饱和）磁性材料

备注

周期稳态下为零（伏秒平衡）；平均值不为零时，电流逐周期变化，例如在启动过程中或负载阶跃之后

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 2 (Principles of Steady-State Converter Analysis); derived here

推导

sympy 逐步推导

公式 id

vsb.drift · equations.yaml 条目

在启动（start-up）、负载阶跃或输入电压阶跃等瞬态（transient）过程中，这一变化使变换器逐个周期地趋向新的稳态。平均值无法达到零的电路根本没有稳态：在 CCM 下向固定输出电压供电的变换器，若占空比（duty ratio）高于使其平衡的占空比，电感电流每个周期都增加相同的量，无限增长 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 2]。若占空比低于该值，电流则会在周期内降到零，变换器稳定在 DCM，其中的空闲区间使平均值为零 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 5]。

电荷平衡

同样的论证也适用于电容：电容电压在每个周期结束时回到其起始值，因此流入电容的净电荷为零，电容电流的平均值也为零，即 $\langle i_C \rangle = 0$。这就是电容电荷平衡 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 2]。写成两个区间的形式：

$$i_{C,\mathrm{off}} = - \frac{D i_{C,\mathrm{on}}}{1 - D}$$

$i_{C,\mathrm{off}}$

开关管关断时的电容电流

$D$

占空比（duty ratio）

$i_{C,\mathrm{on}}$

开关管导通时的电容电流

电荷平衡：关断区间的电容电流✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 周期稳态
• 小纹波近似（small-ripple approximation）

备注

$\langle i_C \rangle = 0$ 的两区间形式

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 2 (Principles of Steady-State Converter Analysis)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

csb.i_off · equations.yaml 条目

伏秒平衡给出变换器的电压关系；电荷平衡给出其直流电流。

降压变换器

开关管导通时，电感接在 $V_g$ 与输出之间，因此其电压为 $V_g - V$。二极管导通（conduction）时，电感的输入端接地，其电压为 $-V$。使这两个电压满足平衡条件，即得到降压（buck）变换器的电压变换比 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 2]：

$$M = D$$

$M$

电压变换比（conversion ratio）

$D$

占空比（duty ratio）

降压（buck）变换器的电压变换比，CCM✓ 经 8 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 理想（无损）开关器件与无源元件
• 连续导通模式（CCM）
• 周期稳态
• 小纹波近似（small-ripple approximation）

约定

$M = V/V_g$

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 2 (Principles of Steady-State Converter Analysis)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

buck.ccm.M · equations.yaml 条目

升压变换器

升压（boost）变换器把电感放在输入侧。开关管导通时，电感两端电压为 $V_g$；二极管导通时，电感两端电压为 $V_g - V$。要使两者平衡，$V$ 必须大于 $V_g$：

$$M = \frac{1}{1 - D}$$

$M$

电压变换比（conversion ratio）

$D$

占空比（duty ratio）

升压（boost）变换器的电压变换比，CCM✓ 经 8 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 理想（无损）开关器件与无源元件
• 连续导通模式（CCM）
• 周期稳态
• 小纹波近似（small-ripple approximation）

约定

$M = V/V_g$

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 2 (Principles of Steady-State Converter Analysis)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

boost.ccm.M · equations.yaml 条目

升降压变换器

升降压（buck-boost）变换器在开关管导通期间把电感接到 $V_g$，在二极管导通期间把电感接到输出。其输出反相，因此变换比为负；变换比的绝对值在 $D < 0.5$ 时小于 1，在 $D > 0.5$ 时大于 1：

$$M = - \frac{D}{1 - D}$$

$M$

电压变换比（conversion ratio）

$D$

占空比（duty ratio）

升降压（buck-boost）变换器的电压变换比，CCM✓ 经 8 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 理想（无损）开关器件与无源元件
• 连续导通模式（CCM）
• 周期稳态
• 小纹波近似（small-ripple approximation）

约定

$M = V/V_g$；输出反相，故 $M < 0$

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 2 (Principles of Steady-State Converter Analysis)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

buckboost.ccm.M · equations.yaml 条目

三个变换比的 sympy 逐步推导都在推导页面中。

例题

两个区间值的平衡：一个电感在导通区间内承受给定的电压，一个电容在导通区间内流入给定的电流。

平衡示例

符号	数值	求法
$D$ 占空比（duty ratio）	0.25	已知
$v_{L,\mathrm{on}}$ 开关管导通时的电感电压	12 V	已知
$i_{C,\mathrm{on}}$ 开关管导通时的电容电流	1 A	已知
$v_{L,\mathrm{off}}$ 开关管关断时的电感电压	−4 V	伏秒平衡：关断区间的电感电压
$i_{C,\mathrm{off}}$ 开关管关断时的电容电流	−333 mA	电荷平衡：关断区间的电容电流

$D$ = 0.25 时，关断区间的长度是导通区间的三倍，因此关断区间电压的大小是导通区间电压的三分之一，符号相反。

对占空比相同的升压和升降压变换器示例应用同样的平衡：

升压变换器示例

符号	数值	求法
$V_g$ 输入电压	12 V	已知
$D$ 占空比（duty ratio）	0.5	已知
${M}_{\mathrm{ideal}}$ 电压变换比（conversion ratio）	2	升压（boost）变换器的电压变换比，CCM

升降压变换器示例

符号	数值	求法
$V_g$ 输入电压	12 V	已知
$D$ 占空比（duty ratio）	0.5	已知
$M$ 电压变换比（conversion ratio）	−1	升降压（buck-boost）变换器的电压变换比，CCM

动手试试

▶ 在公式浏览器中打开：升压（boost）变换器的电压变换比，CCM
预设取自例题 boost-basic

▶ 在仿真器中打开：升压
预设取自例题 boost-basic

将 $D$ 向 1 扫描（sweep），观察理想升压变换器的电压变换比无限增大。平均模型（averaged model）页面说明了实际升压变换器为什么不能沿这条曲线变化。

以无法达到平衡的占空比向固定输出供电的降压变换器没有稳态：仿真器显示其电流的失控增长、造成这一增长的电感电压平均值，以及能够使其平衡的占空比。

▶ 在仿真器中打开：降压
预设取自例题 sim-buck-fixed

实验练习

在低压变换器评估板（evaluation board）上，用差分探头（differential probe），或用两个探头加示波器的减法运算，测量电感电压。在稳态下，读出两个平台（plateau）电压以及导通时间和关断时间，检查两块伏秒面积是否大小相等、符号相反。然后使负载阶跃变化，在瞬态过程中再次观察：电感电流变化期间，两块面积不再相等。

易错点

• 平衡只在稳态下成立。在启动、负载阶跃和输入电压阶跃期间，电感电压的平均值不为零；正是这个非零平均值改变了电感电流 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 2]。
• 不要把小纹波近似用于正要计算的纹波，也不要用于产生该纹波的波形。降压变换器的输出电压纹波由电感电流纹波引起，因此计算该纹波时不能把电感电流当作恒定值 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 2]。
• 损耗会改变平衡方程。绕组电阻（winding resistance）和半导体器件的压降会给各区间的电压增加一些项，并降低变换比；见平均模型页面。

延伸阅读

• 图书章节 Principles of Steady-State Converter Analysis (Ch. 2) — R. W. Erickson, D. Maksimović · 访问于 2026-09-23
  伏秒平衡、电荷平衡、小纹波近似以及电感/电容纹波的标准推导。
• 课程 Introduction to Power Electronics — University of Colorado Boulder (Coursera) · 访问于 2026-09-23
  CU Boulder 专项课程的第一门课：稳态分析、损耗与效率。
• 应用笔记 Understanding Boost Power Stages in Switchmode Power Supplies (SLVA061) — E. Rogers, Texas Instruments · 访问于 2026-09-23
  对应的升压版本：CCM 和 DCM 下的稳态与小信号分析。

测验

1. 为什么在周期稳态下，电感电压在一个周期内的平均值为零？

   1. 因为电感没有电阻
   2. 因为电感电流在每个周期结束时回到起始值，所以 $v_L$ 在一个周期内的积分为零
   3. 因为开关是理想的
   4. 因为输出电容很大
   答案与解析

   正确答案：B 电感电压在一个周期内的积分等于 $L$ 乘以该周期内电感电流的变化量。在周期稳态下，电流回到起始值，因此积分和平均值都为零。这不需要任何理想化假设。

2. 电感在导通区间承受 $+10\,\mathrm{V}$，$D = 0.2$。稳态下它在关断区间必须承受多大的电压？

   1. $-10\,\mathrm{V}$
   2. $-2.5\,\mathrm{V}$
   3. $+2.5\,\mathrm{V}$
   4. $-40\,\mathrm{V}$
   答案与解析

   正确答案：B $10\,\mathrm{V}$ 持续 $0.2\,T_s$ 所产生的正伏秒积，必须在 $0.8\,T_s$ 的关断区间内抵消，这需要大小为其四分之一、符号相反的电压。

3. 哪个条件给出变换器中的直流电流，例如升压变换器的电感直流电流？

   1. 电感伏秒平衡
   2. 仅靠小纹波近似
   3. 电容电荷平衡
   4. 沿开关所在回路的基尔霍夫电压定律
   答案与解析

   正确答案：C 伏秒平衡联系的是电压；输出电容上的电荷平衡联系的是各区间内流入该电容的电流，因此能用负载电流确定电感直流电流。

4. 一个理想 CCM 升压变换器由 $5\,\mathrm{V}$ 输入供电，工作在 $D = 0.75$。其输出电压是多少？

   1. $6.7\,\mathrm{V}$
   2. $15\,\mathrm{V}$
   3. $20\,\mathrm{V}$
   4. $3.75\,\mathrm{V}$
   答案与解析

   正确答案：C 升压变换比为 $1/(1 - D)$，在此占空比下为 4，因此输出是输入的四倍。

5. 占空比在什么范围内时，理想 CCM 升降压变换器输出电压的绝对值大于输入电压？

   1. $D > 0.5$
   2. $D < 0.5$
   3. 任意 $D$
   4. 任何 $D$ 都不行：它只能降压
   答案与解析

   正确答案：A 变换比的绝对值为 $D/(1 - D)$，它恰好在 $D$ 大于 $1 - D$ 时超过 1，即 $D > 0.5$ 时。

6. 负载阶跃期间，电感电压在一个开关周期内的平均值不为零。这说明了什么？

   1. 变换器进入了 DCM
   2. 小纹波近似不成立
   3. 电感正在饱和
   4. 电感电流在逐个周期地变化
   答案与解析

   正确答案：D 电感电压的平均值不为零，意味着电感电流在该周期内有净变化。伏秒平衡只在稳态下成立；在瞬态过程中，正是这种不平衡使电流变化到新值。