平均模型

目标

建立变换器的平均直流模型（averaged dc model），并在其中加入电感的绕组电阻（winding resistance）。
预测该电阻如何限制升压（boost）变换器的电压变换比（conversion ratio）和效率（efficiency）。
把 DCM 下的开关网络描述为无损电阻（loss-free resistor, LFR），并计算其输入电阻。

理论

从开关电路到直流模型

采用小纹波近似（small-ripple approximation），在一个开关周期（switching period）内对每个电路方程求平均（averaging），开关动作就消失了：平均后的电感电压方程和电容电流方程就是一个直流电路的方程。在这个电路中，开关网络相当于一个理想的直流变压器（dc transformer），其匝比（turns ratio）就是电压变换比。它把功率从输入无损地传递到输出，而每一种损耗机理都表现为它周围的一个普通电阻或压降 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 3]。于是，一个模型就能给出输出电压、各电流和效率。

含电感绕组电阻的升压变换器

在升压变换器中加入电感的绕组电阻 $R_L$ 。伏秒平衡（volt-second balance）方程在两个区间中都增加了 $R_L$ 上的压降，而电荷平衡（charge balance）不变；联立求解两者得到 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 3]：

M = \frac{1}{\left(1 - D\right) \left(1 + \frac{R_L}{\left(1 - D\right)^{2} R}\right)}

$M$: 电压变换比（conversion ratio）
$D$: 占空比（duty ratio）
$R$: 负载电阻
$R_L$: 电感绕组电阻

计入电感绕组电阻的升压变换器电压变换比，CCM✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

连续导通模式（CCM）
周期稳态
小纹波近似（small-ripple approximation）
电感绕组电阻 R_L；其余元件均为理想元件
电阻负载 R

备注

第二个因子使电压变换比在

D

较高时急剧下降：

M

存在最大值，而不是无限增大

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 3 (Steady-State Equivalent Circuit Modeling, Losses, and Efficiency)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

boost.ccm.M_RL · equations.yaml 条目

理想升压变换比乘上了一个随 $D$ 趋近 1 而趋于零的因子：电感流过的是输入电流，而输入电流随 $D$ 增大而比输出电流增长得快得多，因此 $R_L$ 上的损耗最终会占去全部新增的输入功率。电压变换比不会无限增大，而是达到最大值后下降。效率由同一模型得出：

\eta = \frac{1}{1 + \frac{R_L}{\left(1 - D\right)^{2} R}}

$\eta$: 效率（efficiency）
$D$: 占空比（duty ratio）
$R$: 负载电阻
$R_L$: 电感绕组电阻

计入电感绕组电阻的升压变换器效率，CCM✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

连续导通模式（CCM）
周期稳态
小纹波近似（small-ripple approximation）
电感绕组电阻 R_L；其余元件均为理想元件
电阻负载 R

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 3 (Steady-State Equivalent Circuit Modeling, Losses, and Efficiency)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

boost.ccm.eta_RL · equations.yaml 条目

$R_L$ 要与 $(1 - D)^2 R$ 比较，后者是经直流变压器反射到电感一侧的负载电阻（reflected load resistance）。 $D$ 较高时，这一反射电阻很小，因此即使很小的绕组电阻也会降低效率。推导见推导页面。

DCM：无损电阻

在 DCM 下，电感电流在每个周期都从零开始。于是，导通区间（on-interval）内储存的能量，以及由此从输入吸取的功率，只取决于输入电压、占空比（duty ratio）、电感量和开关频率（switching frequency）。对升降压（buck-boost）变换器和反激（flyback）变换器，用励磁电感（magnetizing inductance） $L_M$ 表示为：

P = \frac{V_g^{2} D^{2}}{2 L_M f_s}

$P$: 功率
$D$: 占空比（duty ratio）
$L_M$: 励磁电感（magnetizing inductance），折算到一次侧
$V_g$: 输入电压
$f_s$: 开关频率

DCM 升降压或反激变换器吸取的功率✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

理想（无损）开关器件与无源元件
断续导通模式（DCM）
周期稳态

备注

每个周期储存一次能量

\tfrac12 L_M I_\mathrm{pk}^2

，与负载无关

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 15 (AC and DC Equivalent Circuit Modeling of the Discontinuous Conduction Mode); Singer 1990

推导

sympy 逐步推导

公式 id

dcm.P_in · equations.yaml 条目

因此，平均输入电流与输入电压成正比，输入端口的表现如同一个电阻 [Singer 1990]、[Erickson & Maksimović 2020, Ch. 15]：

R_\mathrm{in} = \frac{2 L_M f_s}{D^{2}}

$R_\mathrm{in}$: 等效输入电阻（emulated resistance）
$D$: 占空比（duty ratio）
$L_M$: 励磁电感（magnetizing inductance），折算到一次侧
$f_s$: 开关频率

DCM 升降压或反激变换器的输入电阻（无损电阻）✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

理想（无损）开关器件与无源元件
断续导通模式（DCM）
周期稳态

备注

平均输入电流与

V_g

成正比；功率传递出去，而不是耗散掉

出处

Singer 1990; Erickson & Maksimović 2020, Ch. 15 (AC and DC Equivalent Circuit Modeling of the Discontinuous Conduction Mode)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

lfr.R_in · equations.yaml 条目

这个电阻并不耗散它吸收的功率，而是把这些功率传递到输出。因此，平均后的 DCM 开关网络被建模为无损电阻；能量收集接口正是利用这一性质，对电源呈现电阻性负载。源匹配工具（source matcher）将反激变换器的无损电阻与线性源（linear source）相匹配。

例题

含绕组电阻的升压变换器示例：

升压变换器示例

符号	数值	求法
$V_g$ 输入电压	12 V	已知
$D$ 占空比（duty ratio）	0.5	已知
$R$ 负载电阻	20 Ω	已知
$R_L$ 电感绕组电阻	200 mΩ	已知
${M}_{\mathrm{ideal}}$ 电压变换比（conversion ratio）	2	升压（boost）变换器的电压变换比，CCM
$M$ 电压变换比（conversion ratio）	1.92	计入电感绕组电阻的升压变换器电压变换比，CCM
$\eta$ 效率（efficiency）	0.962	计入电感绕组电阻的升压变换器效率，CCM
$V$ 输出电压	23.1 V	由电压变换比求输出电压

200 mΩ 的绕组电阻只有负载电阻的百分之一，却使变换比从 2 降到 1.92，效率降到 0.962，因为在这一占空比下，它要与负载电阻的四分之一比较。

从输入端看 DCM 升降压变换器示例：

DCM 升降压变换器示例

符号	数值	求法
$V_g$ 输入电压	10 V	已知
$D$ 占空比（duty ratio）	0.5	已知
$L_M$ 励磁电感（magnetizing inductance），折算到一次侧	100 µH	已知
$f_s$ 开关频率	100 kHz	已知
$P$ 功率	1.25 W	DCM 升降压或反激变换器吸取的功率
$R_\mathrm{in}$ 等效输入电阻（emulated resistance）	80 Ω	DCM 升降压或反激变换器的输入电阻（无损电阻）

动手试试

▶ 在公式浏览器中打开：计入电感绕组电阻的升压变换器电压变换比，CCM
预设取自例题 boost-basic

▶ 在仿真器中打开：升压
预设取自例题 boost-basic

将 $D$ 从 0 扫描（sweep）到 1：变换比先达到峰值，然后急剧下降。增大 $R_L$ ，观察峰值降低并移向更低的占空比。

实验练习

在一个由限流实验室电源（current-limited bench supply）供电的小功率升压变换器上，先用四线测量（four-wire measurement）方法测出电感的直流电阻。然后在固定的电阻负载下，以开环（open loop）方式逐步增大占空比，同时用万用表测量输入功率和输出功率。画出电压变换比和效率随 $D$ 变化的曲线，并代入实测的 $R_L$ ，与上面两个公式比较。开关管和二极管还会带来额外损耗，因此实测效率会低于预测值。

易错点

越过最大值后，占空比越大，输出越低。在变换比的峰值之后，提高 $D$ 反而使 $V$ 降低。假定相反关系的反馈环路，其增益在该处改变符号。
$R_L$ 只是直流绕组电阻。磁芯损耗、交流绕组损耗（ac winding loss）和开关损耗都不在这个模型中；每一种都会增加各自的损耗元件 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 3]。
无损电阻只在 DCM 下成立。一旦电流不再在每个周期回到零，输入电流就不再与输入电压成正比。

测验

在 CCM 变换器的平均直流模型中，开关网络变成了什么？
1. 一个等于负载电阻的电阻
2. 一个匝比等于电压变换比的理想直流变压器
3. 短路
4. 一个等于电感电流的电流源
答案与解析
正确答案：B 在一个周期内平均后，开关把功率从输入无损地传递到输出，把电压乘以 $M(D)$ 、把电流乘以其倒数，就像一个在直流下也能工作的理想变压器。
在含电感绕组电阻的升压变换器中， $D$ 趋近 1 时，电压变换比如何变化？
1. 像理想情况一样无限增大
2. 稳定在一个恒定值
3. 达到最大值后降向零
4. 振荡
答案与解析
正确答案：C 理想变换比乘上了一个随 $D$ 趋近 1 而降到零的因子：电感电流增长得太快，绕组电阻上的损耗占去了全部新增的输入功率。
一个升压变换器工作在 $D = 0.5$ ， $R_L = 0.1\,\Omega$ ， $R = 10\,\Omega$ 。若只有 $R_L$ 产生损耗，其效率是多少？
1. 约 99 %
2. 约 96 %
3. 约 90 %
4. 约 80 %
答案与解析
正确答案：B $R_L$ 要与 $(1 - D)^2 R$ 比较，即 $10\,\Omega$ 的四分之一。效率为 $1/(1 + 0.1/2.5)$ ，约为 0.96。
为什么同样的绕组电阻在高占空比下工作的升压变换器中造成更大的效率损失？
1. 绕组发热，电阻增大
2. 开关频率升高
3. 它要与 $(1 - D)^2 R$ 比较，即反射到电感一侧的负载电阻，而后者随 $D$ 增大而减小
4. 输出电压降低
答案与解析
正确答案：C 经过直流变压器，负载在电感一侧表现为 $(1 - D)^2 R$ ，与 $R_L$ 串联。效率就是到达这个反射电阻的功率所占的比例。
在 DCM 下，升降压变换器的输入端口在一个周期内平均后表现如何？
1. 像一个电阻，但它吸收的功率被传递到输出，而不是耗散掉
2. 像一个恒流负载
3. 像一个恒压源
4. 像开路
答案与解析
正确答案：A 每个周期都从零电流开始，因此平均输入电流与输入电压成正比：这是一个电阻。能量储存在电感中并传递到输出，而不是耗散掉，因此是无损电阻。
一个 DCM 升降压变换器的 $L_M = 50\,\mu\mathrm{H}$ ， $f_s = 100\,\mathrm{kHz}$ ， $D = 0.5$ 。其输入电阻是多少？
1. $20\,\Omega$
2. $40\,\Omega$
3. $80\,\Omega$
4. $160\,\Omega$
答案与解析
正确答案：B 输入电阻为 $2 L_M f_s/D^2$ ： $50\,\mu\mathrm{H}$ 与 $100\,\mathrm{kHz}$ 之积的两倍为 $10\,\Omega$ ，再除以 0.25。

本站例题、预设和练习中的数值均为合成值：为教学而凑整的数值，并非来自任何实际设计的数据。

平均模型

目标

理论

从开关电路到直流模型

含电感绕组电阻的升压变换器

DCM：无损电阻

例题

动手试试

实验练习

易错点

延伸阅读

测验