开关变换原理

目标

• 解释理想开关变换器为何不像线性稳压器（linear regulator）那样消耗功率。
• 由占空比（duty ratio）$D$ 计算开关节点（switch node）波形的直流分量（dc component）。
• 说明输出滤波器必须起什么作用，以及小纹波近似（small-ripple approximation）作了什么假设。

理论

为什么采用开关方式？

线性稳压器降低电压的方法，是让一个流过全部负载电流的晶体管承受输入与输出之间的电压差；这一电压差与负载电流之积以热的形式损耗掉。理想开关没有任何损耗：导通时其两端电压为零，关断时流过它的电流为零，因此两者之积，即它消耗的功率，在两种状态下都为零 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 1 (Introduction)]。理想电感和电容只储存和释放能量，不消耗任何能量。因此，仅由理想开关和电抗元件（reactive element）构成的变换器可以无损地变换功率。

开关节点及其直流分量

将一个单刀双掷开关（single-pole double-throw switch）接到输入电源上。开关处于位置 1 时，开关节点电压为输入电压 $V_g$；处于位置 2 时，开关节点接地。开关每个开关周期（switching period）重复一次这一过程，开关周期为

$$T_s = \frac{1}{f_s}$$

$T_s$

开关周期

$f_s$

开关频率

开关周期✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 定义

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 2 (Principles of Steady-State Converter Analysis)

公式 id

def.Ts · equations.yaml 条目

每个周期中开关处于位置 1 的时间比例 $D$ 称为占空比 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 2]。因此，开关节点电压 $v_s(t)$ 是一个矩形波（rectangular wave）。它在一个周期内的平均值，即其直流分量，为

$$\langle v_s \rangle = D V_g$$

$\langle v_s \rangle$

开关节点平均电压

$D$

占空比（duty ratio）

$V_g$

输入电压

开关节点电压的直流分量（降压变换器）✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 理想（无损）开关器件与无源元件
• 周期稳态

备注

开关节点电压处于 $V_g$ 的时间为 $D T_s$，周期其余时间为 $0$；LC 滤波器让这一平均值通过

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 2 (Principles of Steady-State Converter Analysis)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

sw.v_avg · equations.yaml 条目

降压变换器的开关节点（switch node）电压 $v_s(t)$：每个周期中，$V_g$ 持续 $DT_s$，其余时间为零。其平均值为 $DV_g$，由 $L$-$C$ 滤波器传递到输出。 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 2]

滤波：保留平均值，滤除谐波

傅里叶级数（Fourier series）把 $v_s(t)$ 分解为上述直流分量与位于开关频率（switching frequency）$f_s$ 整数倍处的谐波（harmonics）之和。转折频率（corner frequency）远低于 $f_s$ 的 L-C 低通滤波器（low-pass filter）让直流分量通过，并使谐波大幅衰减（attenuation），因此输出电压基本上就是开关节点的直流分量 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 2]。于是，占空比这一时间量决定了一个直流电压。

电压变换比

变换器可以用其电压变换比（conversion ratio）$M(D)$ 来概括，即直流输出电压与直流输入电压之比：

$$V = M V_g$$

$V$

输出电压

$M$

电压变换比（conversion ratio）

$V_g$

输入电压

由电压变换比求输出电压✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 定义

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 2 (Principles of Steady-State Converter Analysis)

公式 id

def.V · equations.yaml 条目

对开关节点滤波，就得到降压（buck）变换器：其输出就是开关节点电压的平均值，由此得到降压变换器的电压变换比。同样的开关、电感和电容按其他方式连接，会得到其他变换比，例如升压变换器和升降压变换器的变换比。三者都在伏秒平衡（volt-second balance）页面中推导。

小纹波近似

实际滤波器会在输出上留下少量开关纹波。滤波器设计得当时，纹波与直流值相比很小，在稳态分析（steady-state analysis）中可以用直流值 $V$ 代替输出电压：这就是小纹波近似 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 2]。采用这一近似后，电感两端的电压在每个子区间（subinterval）内恒定，因此电感电流沿直线上升和下降；这些直线的斜率决定电流纹波。这一近似只可用于几乎恒定的量，绝不可用于正要计算的纹波本身。

例题

一个示例降压变换器，其开关节点经一级 L-C 滤波后接电阻负载：

降压变换器示例

符号	数值	求法
$V_g$ 输入电压	24 V	已知
$D$ 占空比（duty ratio）	0.5	已知
$f_s$ 开关频率	100 kHz	已知
$T_s$ 开关周期	10 µs	开关周期
$\langle v_s \rangle$ 开关节点平均电压	12 V	开关节点电压的直流分量（降压变换器）
$M$ 电压变换比（conversion ratio）	0.5	降压（buck）变换器的电压变换比，CCM
$V$ 输出电压	12 V	由电压变换比求输出电压
$\Delta i_L$ 电感电流纹波，峰峰值的一半	300 mA	降压变换器电感电流纹波（峰峰值的一半），CCM

在每个 10 µs 的周期中，开关节点有占比 0.5 的时间处于 24 V，因此其直流分量，以及随之而定的输出电压，为 12 V。电感电流在其直流值上下仍带有 300 mA（峰峰值的一半）的三角波纹波，输出电容会将其进一步平滑。

动手试试

▶ 在公式浏览器中打开：开关节点电压的直流分量（降压变换器）
预设取自例题 buck-basic

▶ 在仿真器中打开：降压
预设取自例题 buck-basic

将 $D$ 从 0 扫描（sweep）到 1：无论开关频率是多少，直流分量都与之成正比地增大。

实验练习

不需要功率级（power stage）。将函数发生器（function generator）输出的逻辑电平方波送入一个 R-C 低通滤波器，其转折频率远低于方波频率。改变占空比，同时用万用表的直流挡测量滤波器输出，并把每个读数与方波高电平乘以占空比所得的值比较。然后用示波器观察同一节点：提高频率或增大滤波器的时间常数（time constant）时，残余纹波减小，而直流读数不变。

易错点

• 平均值跟随的是开关节点，而不是栅极信号。二极管正向压降（forward drop）、开关管电阻和死区时间会在周期的部分时段内改变开关节点电压，因此直流输出会偏离指令占空比（commanded duty ratio）所决定的理想值。平均模型（averaged model）页面把这些损耗加入模型 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 3]。
• DCM 中开关节点并非在整个关断区间（off-interval）内都保持为零。电感电流降到零后，二极管停止导通（conduction），开关节点围绕输出电压振铃（ringing），因此输出最终高于 $D V_g$；参见 CCM 与 DCM [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 5]。

延伸阅读

• 图书章节 Principles of Steady-State Converter Analysis (Ch. 2) — R. W. Erickson, D. Maksimović · 访问于 2026-09-23
  伏秒平衡、电荷平衡、小纹波近似以及电感/电容纹波的标准推导。
• 课程 Introduction to Power Electronics — University of Colorado Boulder (Coursera) · 访问于 2026-09-23
  CU Boulder 专项课程的第一门课：稳态分析、损耗与效率。
• 应用笔记 Basic Calculation of a Buck Converter's Power Stage (SLVA477) — B. Hauke, Texas Instruments · 访问于 2026-09-23
  简明的 CCM 设计计算清单：占空比、电感纹波、电容。

测验

1. 理想开关要么完全导通，要么完全关断。它消耗多少功率？

   1. 仅在关断期间为零
   2. 导通期间为输入电压乘以负载电流
   3. 两种状态下都为零，因为其电压或电流总有一个为零
   4. 取决于占空比
   答案与解析

   正确答案：C 功率等于电压乘以电流。导通的理想开关两端没有电压，关断的理想开关中没有电流，因此两种状态下乘积都为零。

2. 开关节点电压在 $12\,\mathrm{V}$ 和 $0\,\mathrm{V}$ 之间交替变化，$D = 0.25$。其直流分量是多少？

   1. $3\,\mathrm{V}$
   2. $6\,\mathrm{V}$
   3. $9\,\mathrm{V}$
   4. $12\,\mathrm{V}$
   答案与解析

   正确答案：A 直流分量是一个周期内的平均值：高电平乘以处于高电平的时间占周期的比例，即 $12\,\mathrm{V}$ 的四分之一。

3. 为什么输出 L-C 滤波器的转折频率必须远低于开关频率？

   1. 使电感电流永远不降到零
   2. 使滤波器让直流分量通过，并衰减开关谐波
   3. 使占空比与负载无关
   4. 降低开关管的导通损耗
   答案与解析

   正确答案：B 开关节点波形是直流分量加上位于 $f_s$ 整数倍处的谐波。转折频率远低于 $f_s$ 的低通滤波器保留直流分量，并使谐波大幅衰减。

4. 小纹波近似假设了什么？

   1. 电感电流纹波为零
   2. 占空比很小
   3. 开关频率低于滤波器的转折频率
   4. 一个几乎恒定的量（例如输出电压）上的开关纹波足够小，可以用该量的直流值代替它
   答案与解析

   正确答案：D 在计算其他量（例如电感两端的电压）时，它用直流值代替纹波很小的波形。它绝不用于正要计算的纹波：电感电流纹波正是由这一近似使之恒定的斜率得出的。

5. 一个 CCM 降压变换器以固定占空比工作。将开关频率加倍，直流输出电压如何变化？

   1. 加倍
   2. 减半
   3. 不变
   4. 降为零
   答案与解析

   正确答案：C 在 CCM 下，直流输出等于开关节点的直流分量 $D V_g$，与 $f_s$ 无关。将 $f_s$ 加倍，减半的是周期和电流纹波，而不是平均值。

6. 输入电压远高于输出电压时，线性稳压器为什么会浪费功率？

   1. 它的开关速度太慢
   2. 它的调整管在承受输入输出电压差的同时流过全部负载电流
   3. 它的输出电容有串联电阻
   4. 它的占空比受到限制
   答案与解析

   正确答案：B 调整管与负载串联，因此它既流过负载电流，又承受这一电压差；两者之积以热的形式耗散掉。