浏览器内仿真器的工作原理

目标

理解开关变换器为何在每个开关区间内都是线性电路，以及对其作精确逐步计算的含义。
针对快时间常数（time constant），比较精确步进与简单的积分方法（integration rule）。
了解仿真器如何求得周期稳态（periodic steady state），以及与从零初始状态开始的运行相比，这样做节省了什么。

理论

每个区间内的线性电路

在两个开关事件（event）之间，仿真器中的每个开关管和二极管要么导通、要么关断，剩下的是一个线性电路：电阻、电感、电容和恒定电源。其状态，即电感电流和电容电压，在每个区间内服从带恒定电源的线性微分方程，状态空间平均法（state-space averaging）也正是从这一描述出发的 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 7]。对于经电阻充电的电容，无论步长多长，一步内的解都是精确的：

v_1 = v_\infty + \left(v_0 - v_\infty\right) e^{- \frac{\Delta t}{\tau}}

$v_1$: 该步之后的电压
$\Delta t$: 时间步长（time step）
$\tau$: 时间常数（time constant）
$v_0$: 该步开始时的电压
$v_\infty$: 所趋近的电压

一阶电路的一个精确时间步✓ 经 8 项测试验证

假设、约定与出处

假设

电路为线性，且其电源在该步内保持恒定
单极点（一阶）阶跃响应

备注

每一步把相对于

v_\infty

的偏差乘以

e^{-\Delta t/\tau}

，无论步长多长，该值都在 0 与 1 之间：这一步是精确的，偏差不会增大。电感电流遵循同样的规律，时间常数为 L/R

出处

Alexander & Sadiku 2017, Ch. 7 (First-Order Circuits: the complete response); derived here

推导

sympy 逐步推导

公式 id

sim.exact_step · equations.yaml 条目

具有多个状态的电路用其方程矩阵的指数一次计算所有状态，仿真器用缩放与平方法（scaling and squaring）计算这一矩阵指数 [Higham 2005]。区间内除舍入外不作任何近似，因此步长不会限制一步所得状态的精度。尽管如此，仿真器仍采用较短的子步（sub-step），即周期的两千分之一或更短，因为它必须找出事件：在一个长步长内，二极管可能导通后又关断而不被察觉（计算方法）。

快时间常数下的简单方法

通用积分器则以小步长来近似求解。最简单的方法是前向欧拉法（forward Euler），它用每一步起点处的斜率计算该步，并在每一步都把衰减模态的偏差乘以一个固定的放大因子 [Hairer & Wanner 1996]：

g_\mathrm{FE} = 1 - \frac{\Delta t}{\tau}

$g_\mathrm{FE}$: 前向欧拉法的每步放大因子
$\Delta t$: 时间步长（time step）
$\tau$: 时间常数（time constant）

前向欧拉法对衰减模态的每步放大因子✓ 经 8 项测试验证

假设、约定与出处

假设

单独一个衰减模态：其变化率等于偏差除以 tau 的负值（试验方程）
每一步的时间步长相同

备注

该方法取每步起点的斜率。只有步长短于

2\tau

时，其放大因子才保持在 -1 与 1 之间；步长更长时，每一步都把偏差乘以一个绝对值大于 1 的数并翻转其符号，因此解无界增长。于是，电路中最快的时间常数（例如小电阻后面的小节点电容）限制了整个电路的步长

出处

Hairer & Wanner 1996, Sec. IV.2 (Stability Analysis for Explicit RK Methods: explicit Euler); derived here

推导

sympy 逐步推导

公式 id

num.gain_fe · equations.yaml 条目

步长超过时间常数的两倍时，放大因子的绝对值大于 1，解无界增长。变换器中既有快时间常数，例如开关节点处小电阻后面的小电容，也有输出滤波器的慢时间常数：这样的方法必须以短于最快时间常数的步长，计算最慢时间常数所需的那么多个周期。SPICE 用隐式（implicit）方法避免发散，无论步长多大，隐式方法都不会让衰减模态增长（见 ngspice 页面）。

事件

当某个开关改变状态时，区间结束：在栅极信号的边沿，以及二极管电流降到零或其电压使其导通时。仿真器利用同一精确解在步内找出该时刻，因此下一个区间从正确的状态开始（计算方法）。

周期稳态

在 CCM 下，若滤波器会振铃，变换器输出从零初始状态开始，按滤波器的包络时间常数趋于稳定（包络时间常数），要使启动误差降到其一小部分，需要许多个周期（稳定所需周期数）。仿真器则直接寻找这样一个周期起始状态：一个周期把它映射回其自身。这就是周期稳态，即从一个周期的初始状态到下一个周期初始状态的映射（map）的不动点（fixed point）。牛顿法（Newton’s method）利用该映射的导数，即周期结束时的状态如何依赖于周期开始时的状态，经几次迭代就能求出它 [Aprille & Trick 1972]。对变换器而言，该导数是各步矩阵的乘积，并在每个发生时刻取决于状态的事件（例如二极管电流降到零）处修正（计算方法）。若开关时刻和各区间的顺序都不取决于状态，例如电流始终大于零、开关管两端没有电容的降压变换器，则该映射是仿射（affine）的，即矩阵乘以状态再加一个常数；此时若稳态唯一，一次牛顿迭代即可到达稳态。

例题

一个电容以十纳秒的时间常数向某一电压充电，以五十纳秒为步长计算：

精确步进示例

符号	数值	求法
$v_0$ 该步开始时的电压	0 V	已知
$v_\infty$ 所趋近的电压	10 V	已知
$\tau$ 时间常数（time constant）	10 ns	已知
$\Delta t$ 时间步长（time step）	50 ns	已知
$v_1$ 该步之后的电压	9.93 V	一阶电路的一个精确时间步
$g_\mathrm{FE}$ 前向欧拉法的每步放大因子	−4	前向欧拉法对衰减模态的每步放大因子

在长达五个时间常数的一步中，精确步进使电容电压从 0 V 变为 9.93 V。同样步长下，前向欧拉法的放大因子为 −4：它的第一步落在终值电压的另一侧，与终值的距离是起始时的四倍，此后每一步都再重复一次。

动手试试

▶ 在公式浏览器中打开：前向欧拉法对衰减模态的每步放大因子
预设取自例题 sim-exact-step

扫描步长：只有步长小于时间常数的两倍时，前向欧拉法放大因子的绝对值才不超过 1。

▶ 在公式浏览器中打开：一阶电路的一个精确时间步
预设取自例题 sim-exact-step

无论步长多长，精确步进都趋近终值电压。用降压变换器示例打开仿真器：其稳态是直接计算出来的，无需经过启动过程。

▶ 在仿真器中打开：降压
预设取自例题 buck-basic

实验练习

用函数发生器输出的方波经电阻给电容充电，并捕获电容电压。在半个周期开始时和一个时间常数之后读取其值，与精确步进的结果比较。然后取间隔为两倍时间常数的采样点，从第一个采样点开始手工应用前向欧拉法：第一步就已越过终值电压，而电路本身并不会这样。

易错点

稳态不是启动过程。存在稳态时，仿真器给出的是稳态；实验台上的启动或负载阶跃会经历仿真器不显示的瞬态过程。只有找不到稳态时，它才绘制从零初始状态开始的启动过程。
仅靠小步长并不能使显式（explicit）方法稳定。对于不振铃而衰减的模态，步长必须短于最快时间常数的两倍，即使该模态快到对结果无关紧要也是如此（前向欧拉法的放大因子）。轻阻尼的振铃则需要短得多的步长，而无阻尼的振铃在任何步长下都会增长 [Hairer & Wanner 1996, Sec. IV.2]。
图中绘制的是采样点。比子步更窄的峰值可能出现在报告的数值中，却不出现在图中。

测验

仿真器为什么能精确计算每个开关区间？
1. 因为它采用非常小的步长
2. 因为它在浏览器中运行 SPICE
3. 在一个区间内，电路是带恒定电源的线性电路，因此其解是可以计算的指数函数
4. 因为变换器中没有电容
答案与解析
正确答案：C 区间内每个开关管和二极管都处于导通或关断状态；电路矩阵的指数给出任意步长上的精确解。
一个电容以 10 ns 的时间常数从 0 V 向 10 V 充电。经过一个 10 ns 的精确步后，它的电压是多少？
1. 约 6.3 V
2. 约 3.7 V
3. 10 V
4. 5 V
答案与解析
正确答案：A 与 10 V 的偏差在一个时间常数内衰减为原来的 1/e：10 V × (1 - 1/e) 约为 6.3 V。
用前向欧拉法以 50 ns 的步长计算时间常数为 10 ns 的模态。每一步把其偏差乘以多少？
1. 约 0.007
2. 1
3. -4
4. -1
答案与解析
正确答案：C 1 减去步长与时间常数之比，即 1 - 5：偏差的大小每一步都变为原来的四倍，并改变符号。
对于不振铃而衰减的模态，前向欧拉法的步长最大为多少时才能使其不增长？
1. 时间常数的一半
2. 时间常数
3. 任意步长
4. 时间常数的两倍
答案与解析
正确答案：D 放大因子，即 1 减去步长与时间常数之比，只有在步长不超过时间常数的两倍时，其绝对值才不超过 1；振铃的模态需要更短的步长。
仿真器如何求得周期稳态？
1. 用牛顿法求解这样一个周期起始状态：一个周期把它映射回其自身
2. 从零初始状态开始仿真，直到不再有任何变化
3. 采用平均模型
4. 从 ngspice 中读取
答案与解析
正确答案：A 稳态是从一个周期起点到下一个周期起点的映射的不动点；牛顿法利用该映射的导数求出它。
对于电流始终大于零、开关管两端没有电容的降压变换器，原则上需要几次牛顿迭代？
1. 数百次
2. 一次，因为此时周期映射是仿射的：矩阵乘以状态，再加上一个常数
3. 与包络时间常数的个数相同
4. 不需要
答案与解析
正确答案：B 开关时刻和各区间的顺序都不取决于状态，而仿射方程若解唯一，牛顿法一次迭代就能解出。二极管电流降到零，或开关管两端的电容需要先完成电压摆动，都会使某个时刻取决于状态，这时就需要几次迭代。

本站例题、预设和练习中的数值均为合成值：为教学而凑整的数值，并非来自任何实际设计的数据。