匹配

目标

• 求出恒定电压（constant voltage）和无损电阻（loss-free resistor）各取得线性源可用功率的比例。
• 理解为什么接在电源与电池之间的变换器能让电源工作在其最佳电压。
• 了解固定占空比的 DCM 变换器是无损电阻，以及电源幅值变化时它的表现。

理论

恒定电压

直接接到线性源上的电池，或保持在固定电压 $V_c$ 的母线，所吸取的电流就是两个电压之差经 $R_s$ 驱动的电流。它取得的功率等于该电流乘以其自身的电压 [Alexander & Sadiku 2017, Sec. 4.8 (Maximum Power Transfer)]：

$$P = \frac{V_c \left(V_\mathrm{oc} - V_c\right)}{R_s}$$

$P$

功率

$R_s$

源内阻（source resistance）

$V_c$

恒压负载电压

$V_\mathrm{oc}$

电源开路电压（open-circuit voltage）

线性源输出到恒压负载的功率✓ 经 8 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 内阻为 R_s 的线性（戴维南）源 V_oc

备注

源电流 $(V_\mathrm{oc} - V_c)/R_s$ 乘以恒压负载电压；$V_c > V_\mathrm{oc}$ 时为负，此时恒压负载向源回馈能量

出处

Alexander & Sadiku 2017, Sec. 4.8 (Maximum Power Transfer); derived here

推导

sympy 逐步推导

公式 id

src.cv_power · equations.yaml 条目

以占可用功率（线性源的最大功率）的比例表示：

$$\eta_\mathrm{ext} = \frac{4 V_c \left(V_\mathrm{oc} - V_c\right)}{V_\mathrm{oc}^{2}}$$

$\eta_\mathrm{ext}$

可用功率中被提取的比例

$V_c$

恒压负载电压

$V_\mathrm{oc}$

电源开路电压（open-circuit voltage）

恒压负载的功率提取比✓ 经 8 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 内阻为 R_s 的线性（戴维南）源 V_oc

备注

输入恒压负载的功率占 $P_\mathrm{max}$ 的比例；仅在 $V_c = V_\mathrm{oc}/2$ 时等于 1

出处

Alexander & Sadiku 2017, Sec. 4.8 (Maximum Power Transfer); derived here

推导

sympy 逐步推导

公式 id

src.cv_extraction · equations.yaml 条目

只有在开路电压的一半处，它才取得全部可用功率。电池电压由其荷电状态决定，而不是由电源决定；能量收集器的幅值又会变化：直接连接时，两者很少恰好在这一点相遇。

中间接入变换器

接在电源与电池之间的变换器把两者的电压隔开：其输入可以处在电源给出功率最大的电压，而其输出保持在电池电压。Ottman 等在压电元件与电池之间接入一个工作在 DCM 的降压变换器（step-down converter），使其以功率最大的占空比工作，并报告该变换器使收集的功率提高了“约 325%”（原文“by approximately 325%”）[Ottman et al. 2003]。

无损电阻

在固定占空比的 DCM 下，升降压（buck-boost）变换器或反激（flyback）变换器吸取的平均输入电流与其输入电压成正比：其输入端是一个电阻，即无损电阻，它把功率传递出去，而不是将其耗散 [Singer 1990]、[Erickson & Maksimović 2020, Ch. 15 (AC and DC Equivalent Circuit Modeling of the Discontinuous Conduction Mode)]。接线性源时，该电阻与源内阻对电源电压分压：

$$V_g = \frac{V_\mathrm{oc} R_\mathrm{in}}{R_s + R_\mathrm{in}}$$

$V_g$

输入电压

$R_\mathrm{in}$

等效输入电阻（emulated resistance）

$R_s$

源内阻（source resistance）

$V_\mathrm{oc}$

电源开路电压（open-circuit voltage）

由线性源供电的无损电阻的母线电压✓ 经 8 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 内阻为 R_s 的线性（戴维南）源 V_oc
• 断续导通模式（DCM）
• 周期稳态

备注

输入呈电阻特性的变换器与源内阻一起对源电压分压

出处

Alexander & Sadiku 2017, Sec. 4.8 (Maximum Power Transfer); derived here

推导

sympy 逐步推导

公式 id

lfr.Vg · equations.yaml 条目

而变换器在任何电源幅值下取得的可用功率比例都相同 [Alexander & Sadiku 2017, Sec. 4.8 (Maximum Power Transfer)]：

$$\eta_\mathrm{ext} = \frac{4 R_s R_\mathrm{in}}{\left(R_s + R_\mathrm{in}\right)^{2}}$$

$\eta_\mathrm{ext}$

可用功率中被提取的比例

$R_\mathrm{in}$

等效输入电阻（emulated resistance）

$R_s$

源内阻（source resistance）

无损电阻的功率提取比✓ 经 8 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 内阻为 R_s 的线性（戴维南）源 V_oc
• 断续导通模式（DCM）
• 周期稳态

备注

输入无损电阻的功率占 $P_\mathrm{max}$ 的比例；与源的幅值无关，$R_\mathrm{in} = R_s$ 时为 1

出处

Alexander & Sadiku 2017, Sec. 4.8 (Maximum Power Transfer); derived here

推导

sympy 逐步推导

公式 id

lfr.eta · equations.yaml 条目

输入电阻等于源内阻时，变换器取得全部可用功率；偏向任何一侧时，该比例都下降得很慢。因此，只要变换器保持在 DCM（DCM 反激变换器），固定的占空比就能在线性源幅值变化时使其保持在最大功率点（maximum power point），无需任何测量。

例题

一个线性源，分别接电池和无损电阻：

源匹配示例

符号	数值	求法
$V_\mathrm{oc}$ 电源开路电压（open-circuit voltage）	10 V	已知
$R_s$ 源内阻（source resistance）	25 Ω	已知
$V_c$ 恒压负载电压	3 V	已知
$R_\mathrm{in}$ 等效输入电阻（emulated resistance）	50 Ω	已知
$P_\mathrm{max}$ 最大可用功率	1 W	线性源的最大功率
${P}_{\mathrm{cv}}$ 功率	840 mW	线性源输出到恒压负载的功率
${\eta_\mathrm{ext}}_{\mathrm{cv}}$ 可用功率中被提取的比例	0.84	恒压负载的功率提取比
$V_g$ 输入电压	6.67 V	由线性源供电的无损电阻的母线电压
${\eta_\mathrm{ext}}_{\mathrm{lfr}}$ 可用功率中被提取的比例	0.889	无损电阻的功率提取比

该电源最多能给出 1 W。直接与之相连、电压为 3 V 的电池取得 840 mW，比例为 0.84。50 Ω 的无损电阻把输入保持在 6.67 V，取得的比例为 0.889，并且在任何电源幅值下都保持这一比例。

动手试试

▶ 在公式浏览器中打开：恒压负载的功率提取比
预设取自例题 match-basic

扫描恒压负载所保持的电压：该比例在开路电压的一半处达到峰值，在两端降为零。

▶ 在公式浏览器中打开：无损电阻的功率提取比
预设取自例题 match-basic

扫描输入电阻：输入电阻为源内阻的两倍或一半时，仍能取得可用功率的九分之八。

实验练习

用实验室电源和一个串联功率电阻构成线性源。接入工作在恒压模式的电子负载（electronic load）来代替电池，将其电压从零逐步升到实验室电源的电压，并记录每一步的电流。画出功率随电压变化的曲线，找出峰值所在，并与实验室电源电压的一半比较。然后把负载换成占空比固定、工作在 DCM 的变换器，在两个实验室电源电压下测量其输入电压和输入电流：两者之比，即输入电阻，保持不变。

易错点

• 直接接到电源上的电池工作在电池电压，而不是电源的最佳电压（恒压负载的功率提取比）。
• 无损电阻只在 DCM 下成立（无损电阻）；强电源可能把变换器推入 CCM（DCM 反激变换器）。
• 开路电压的一半只是线性源的最佳点。非线性电源有其自身的最佳点（MPPT）。
• 幅值变化时，固定电阻能保持其比例，固定电压则不能（无损电阻的功率提取比）。

延伸阅读

• 图书章节 AC and DC Equivalent Circuit Modeling of the Discontinuous Conduction Mode (Ch. 15) — R. W. Erickson, D. Maksimović · 访问于 2026-09-23
  DCM 平均开关模型，其输入表现为无损电阻。
• 论文 Optimized piezoelectric energy harvesting circuit using step-down converter in discontinuous conduction mode — G. K. Ottman, H. F. Hofmann, G. A. Lesieutre · 访问于 2026-09-24
  位于压电元件与电池之间、工作在 DCM 下的降压变换器，以收集能量最多的占空比运行。

测验

1. 一个 10 V、源内阻为 25 ohm 的线性源给保持在 5 V 的电池充电，电池直接与之相连。电池取得可用功率的多大比例？

   1. 一半
   2. 全部
   3. 四分之一
   4. 四分之三
   答案与解析

   正确答案：B 电池电压为开路电压的一半，恒定电压在此处取得全部可用功率：0.2 A 乘以 5 V 为 1 W，而可用功率为 100 除以 100，也是 1 W。

2. 同一电源改为给保持在 2 V 的电池充电。电池取得多大比例？

   1. 0.2
   2. 0.8
   3. 0.64
   4. 0.36
   答案与解析

   正确答案：C 2 乘以 8 的四倍，除以 10 的平方：64 除以 100。电池吸取 8 V 除以 25 ohm，即 0.32 A，电压为 2 V：在可用的 1 W 中取得 0.64 W。

3. 一个相当于 100 ohm 无损电阻的变换器从同一 25 ohm 电源吸取功率。它取得多大比例？

   1. 0.64
   2. 0.8
   3. 0.25
   4. 1
   答案与解析

   正确答案：A 25 乘以 100 的四倍，除以 125 的平方：10000 除以 15625，即 0.64。

4. 电源的开路电压加倍。无损电阻取得的比例如何变化？

   1. 加倍
   2. 减半
   3. 降为四分之一
   4. 不变
   答案与解析

   正确答案：D 两个电阻对任何电源电压都按同一比例分压：该比例只取决于电阻。

5. 10 V 电源加倍到 20 V，而电池仍为 5 V。此时电池取得多大比例？

   1. 全部
   2. 0.75
   3. 0.5
   4. 0.25
   答案与解析

   正确答案：B 5 乘以 15 的四倍，除以 20 的平方：300 除以 400。该比例取决于电池电压相对于电源电压的大小，因此电池电压固定时，只要电源幅值变化，该比例就随之变化。

6. 哪种变换器的输入是无损电阻？

   1. CCM 下的降压变换器
   2. 任何占空比固定的变换器
   3. 占空比固定、工作在 DCM 的升降压变换器或反激变换器
   4. 占空比固定、工作在 CCM 的升压变换器
   答案与解析

   正确答案：C 在固定占空比的 DCM 下，升降压变换器或反激变换器吸取的平均输入电流与其输入电压成正比，并把功率传递出去。