M3 · 找出升压变换器的右半平面零点

目标

• 用自己的话解释：升压（boost）变换器的占空比发生阶跃时，其输出为何先向反方向变化。
• 计算升压变换器示例的右半平面（right-half-plane, RHP）零点和二重极点（double pole）。
• 找出零点如何随负载和占空比移动，以及哪个工作点限制反馈环路的穿越频率（crossover frequency）。

开始之前

• 阅读右半平面（RHP）零点和小信号模型。
• 公式给出的是以 rad/s 为单位的角频率。除以 $2\pi$ 即得以赫兹为单位的频率。

步骤

1. 物理图景

阅读这一过程：$D$ 阶跃后，二极管的导通时间缩短，在电感电流来得及增大之前，就使流入输出的平均电流降低。用两句话把它写下来。然后说明降压（buck）变换器为何没有这样的零点：它的电感在两个区间内都向输出供电 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8]。

2. 示例的零点和极点

升压变换器示例的参数为 $V_g$ = 12 V、$D$ = 0.5、$L$ = 100 µH、$C$ = 10 µF 和 $R$ = 20 Ω。求出它的零点（升压变换器的 RHP 零点）和二重极点（升压变换器的二重极点），并将两者填入下方。

3. 零点的移动

在公式浏览器中打开零点公式，将 $R$ 向负载加重的方向扫描，然后把 $R$ 恢复原值，再扫描 $D$：

▶ 在公式浏览器中打开：升压变换器：右半平面（RHP）零点
预设取自例题 boost-basic

4. 升降压变换器

升降压（buck-boost）变换器也有同类零点（升降压变换器的 RHP 零点）。对占空比相同的升降压变换器示例求出该零点，填入下方。

5. 限制环路的工作点

在一定的负载和输入电压范围内，零点在负载最重、占空比最大，即输入电压最低时最低。环路的穿越频率必须远低于这个最低的零点 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8]。说明对该示例而言这是工作范围的哪个角点，以及为什么按标称工作点设计会高估可用的穿越频率。

验收标准

• 用两句话说明 $D$ 的阶跃为何先使升压变换器的输出降低，以及降压变换器为何没有这样的零点。
• 升压变换器示例的 RHP 零点 $\omega_z$。
  你的数值（rad/s）核对
  显示例题中的值

  50 krad/s（出自 boost-basic：升压变换器示例）

• 其二重极点 $\omega_0$。
  你的数值（rad/s）核对
  显示例题中的值

  15.81 krad/s（出自 boost-basic：升压变换器示例）

• 在公式浏览器中：$R$ 减半时 $\omega_z$ 减半，$D$ 增大时它降低。
• 升降压变换器示例的 RHP 零点。
  你的数值（rad/s）核对
  显示例题中的值

  50 krad/s（出自 buckboost-basic：升降压变换器示例）

• 决定最低零点的工作点，以及穿越频率为何必须远低于该零点。

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易错点

• $\omega_z$ 的单位是 rad/s。若把它当作赫兹，穿越频率的上限就会被定为应有值的六倍多。
• 零点随工作点移动。最坏情况不是标称工作点，而是最低输入电压下的最重负载。
• 补偿器（compensator）无法抵消 RHP 零点。那需要一个位于右半平面的极点，而这样的极点是不稳定的 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8]。

延伸阅读

• 图书章节 Converter Transfer Functions (Ch. 8) — R. W. Erickson, D. Maksimović · 访问于 2026-09-23
  控制-输出传递函数的伯德图，包括升压和升降压变换器的右半平面零点。
• 课程 Converter Control — University of Colorado Boulder (Coursera) · 访问于 2026-09-23
  平均小信号模型、变换器传递函数与反馈环路设计。

测验

1. 升压变换器的占空比阶跃增大后，输出电压紧接着会怎样？

   1. 立即上升
   2. 先短暂下跌，再上升到新值
   3. 保持不变，直到电感饱和
   4. 以开关频率振荡
   答案与解析

   正确答案：B 在电感电流增大之前，二极管在每个周期中导通的时间变短，因此流入输出的平均电流先减小。这就是右半平面零点的作用。

2. 一个升压变换器，$D$ = 0.5，$R$ = 40 ohm，$L$ = 200 µH。它的 RHP 零点 $(1-D)^2 R / L$ 是多少？

   1. 50 krad/s
   2. 200 krad/s
   3. 100 krad/s
   4. 12.5 krad/s
   答案与解析

   正确答案：A 0.25 乘以 40 ohm 得 10 ohm，再除以 200 µH 得 50 000 rad/s，约为 8 kHz。

3. 该升压变换器的负载电流加倍（$R$ 减半）。零点如何变化？

   1. 加倍
   2. 减半
   3. 保持不变
   4. 移到左半平面
   答案与解析

   正确答案：B 零点与 $R$ 成正比：负载越重，零点越低，因此满载是最坏情况。

4. 输出经过稳压的升压变换器，在哪个工作点上 RHP 零点最低？

   1. 最高输入电压下的轻载
   2. 最低输入电压下的满载
   3. 最低输入电压下的轻载
   4. 最高输入电压下的满载
   答案与解析

   正确答案：B $R$ 越小（负载越重）、$D$ 越大，零点越低；而稳压的升压变换器在最低输入电压下需要最大的 $D$。

5. 补偿器为什么不能用位于同一位置的极点抵消 RHP 零点？

   1. 该极点必须位于右半平面，而这是不稳定的
   2. 极点不能置于开关频率以上
   3. 该零点不是实数
   4. 该极点会使环路过慢
   答案与解析

   正确答案：A 抵消位于 $+\omega_z$ 的零点需要一个位于 $+\omega_z$ 的极点：这是环路中的一个不稳定极点。