电感设计步骤

目标

用磁芯几何常数（core geometrical constant） $K_g$ ，将滤波电感的设计指标，即电感量、峰值电流、磁通限值和铜损预算（copper-loss budget），转换为磁芯尺寸。
在选定的磁芯上依次确定匝数、气隙（air gap）和导线（wire），并校核每个约束条件。
识别由磁芯损耗（core loss）而不是饱和（saturation）限制磁通密度（flux density）的情况。

理论

四个约束条件

滤波电感必须同时满足四个约束条件 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 11]：

磁通密度。峰值电流下磁通密度保持在 $B_\mathrm{max}$ 以下，由此确定最少匝数（满足磁通限值的匝数）。
电感量。在该匝数下，由气隙确定电感量（气隙长度）。
窗口。铜在窗口（window）中所占的比例不超过实际能绕下的比例，即窗口利用率（window utilization） $K_u$ （窗口利用率）。
电阻。绕组电阻不超出铜损预算 $R_\mathrm{dc,max}$ （直流电阻）。

匝数、气隙和导线各能满足一个约束条件；磁芯必须留有余地，使它们能同时得到满足。

磁芯几何常数

从磁通、窗口和电阻约束条件中消去匝数和导线，等式一侧只剩设计指标，另一侧只剩磁芯尺寸 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 11]：

K_g = \frac{\rho_w L^{2} I_\mathrm{pk}^{2}}{B_\mathrm{max}^{2} R_\mathrm{dc,max} K_u}

$K_g$: 磁芯几何常数（core geometrical constant）
$B_\mathrm{max}$: 允许的最大磁通密度（flux density）
$I_\mathrm{pk}$: 峰值电流
$K_u$: 窗口利用率（window utilization）
$L$: 电感
$R_\mathrm{dc,max}$: 允许的最大绕组电阻
$\rho_w$: 导体电阻率（resistivity）

电感所需的磁芯几何常数✓ 经 8 项测试验证

假设、约定与出处

假设

线性（未饱和）磁性材料
磁通密度在 A_e 上均匀
直流电流在导体截面上均匀分布

备注

在四个约束（磁通密度、电感、窗口、电阻）中消去匝数和导线后，由设计指标决定的一侧；自身

K_g

不小于该值的任何磁芯都能满足这些约束，电感随后由气隙确定。采用 SI 单位 m⁵（表格中常用 cm⁵：1 m⁵ = 10¹⁰ cm⁵）

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 11 (Inductor Design: the core geometrical constant K_g); derived here

推导

sympy 逐步推导

公式 id

mag.Kg_req · equations.yaml 条目

磁芯尺寸组合成同一个量 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 11]：

K_g = \frac{A_e^{2} W_A}{\mathrm{MLT}}

$K_g$: 磁芯几何常数（core geometrical constant）
$A_e$: 磁芯有效截面积（effective area）
$\mathrm{MLT}$: 平均匝长（mean length per turn）
$W_A$: 绕线窗口面积（window area）

磁芯自身的几何常数✓ 经 8 项测试验证

假设、约定与出处

假设

定义

备注

由磁芯决定的一侧：它随磁芯线性尺寸的五次方增长，因此

K_g

为两倍的磁芯，各维尺寸只增大约 15 %

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 11 (Inductor Design: the core geometrical constant K_g)

公式 id

mag.Kg_core · equations.yaml 条目

磁芯自身的 $K_g$ 不小于所需值时，即可同时满足磁通限值、窗口和电阻预算；随后由气隙确定电感量。乘积 $L I_\mathrm{pk}$ 和磁通限值以平方出现，电阻预算和 $K_u$ 以一次方出现：提高磁通限值最能缩小磁芯。气隙不出现在 $K_g$ 中：它在选定磁芯之后才确定。

设计步骤

以下步骤改编自 $K_g$ 法 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 11]。它们先求匝数，与磁性元件设计工具的计算方式相同。选用 $K_g$ 足够大的磁芯，然后：

匝数。取使磁通密度保持在 $B_\mathrm{max}$ 的最少匝数（满足磁通限值的匝数），并向上取整为整数匝。磁性元件设计工具按磁芯的最小截面计算匝数，那里的磁通密度最高。
气隙。取在该匝数下得到所需电感量的气隙（气隙长度）。边缘磁通（fringing）使气隙的电感增大，因此实际气隙须略长一些 [Dixon 2001]；对于表中的磁芯，数据手册中的带气隙成套磁芯给出了实测值。
导线。取能绕下的最大每匝铜截面积：窗口面积乘以 $K_u$ ，由各匝均分（窗口利用率）。
校核。只要磁芯的 $K_g$ 超出所需值的余量足以覆盖向上取整所增加的匝数，绕组电阻（直流电阻）即满足预算。

磁芯损耗限制磁通密度的情况

上述步骤限制的是峰值电流下的磁通密度。纹波小的滤波电感中，磁通主要是直流磁通，而直流磁通不产生磁芯损耗，因此由饱和决定限值 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10]。纹波大时，例如 DCM 电感或反激变压器，交流磁通幅值（交流磁通幅值）引起磁芯损耗（Steinmetz 公式），它可能先于饱和限制磁通；此时设计还必须使磁芯损耗不超出其预算 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 12]。

例题

一个示例滤波电感的设计指标，及其所需的磁芯几何常数：

K_g 电感示例

符号	数值	求法
$\rho_{20}$ 20 °C 时的电阻率（resistivity）	17.2 nΩ·m	已知
$\alpha_{20}$ 20 °C 时的电阻温度系数（temperature coefficient）	0.00393 1/K	已知
$T_w$ 绕组温度	100 °C	已知
$L$ 电感	100 µH	已知
$I_\mathrm{pk}$ 峰值电流	5 A	已知
$I_\mathrm{rms}$ 电流有效值（rms）	4.5 A	已知
$B_\mathrm{max}$ 允许的最大磁通密度（flux density）	300 mT	已知
$R_\mathrm{dc,max}$ 允许的最大绕组电阻	30 mΩ	已知
$K_u$ 窗口利用率（window utilization）	0.4	已知
$\rho_w$ 导体电阻率（resistivity）	22.7 nΩ·m	导体在给定温度下的电阻率
$K_g$ 磁芯几何常数（core geometrical constant）	0.0525 cm⁵	电感所需的磁芯几何常数
${P}_{\mathrm{cu}}$ 功率	608 mW	电阻上的导通损耗

它所需的 $K_g$ 为 0.0525 cm⁵。在其电流有效值（rms current）下，30 mΩ 的电阻预算允许 608 mW 的铜损。磁性元件设计工具的表中有两种磁芯，数值取自各自的数据手册：

K_g 电感示例: 表中磁芯与例题所需 K_g 的比较 (

K_g

= 0.0525 cm⁵)

磁芯（数据手册）	$A_e$	$W_A$	$\mathrm{MLT}$	$K_g$	K_g 与所需值之比
E 25/13/7 (EF 25), N87	52.5 mm²	61 mm²	50 mm	0.0336 cm⁵	0.641（不足）
ETD 29/16/10, N87	76 mm²	97 mm²	52.8 mm	0.106 cm⁵	2.02（满足）

E 25/13/7 磁芯太小。ETD 29/16/10 磁芯的 $K_g$ 约为所需值的两倍，磁性元件设计工具用它完成其余步骤：

ETD 29 磁芯电感示例

符号	数值	求法
$L$ 电感	100 µH	已知
$I_{L,\mathrm{pk}}$ 电感峰值电流	5 A	已知
$I_{L,\mathrm{rms}}$ 电感电流有效值（rms）	4.5 A	已知
$\Delta i_L$ 电感电流纹波，峰峰值的一半	500 mA	已知
$f_s$ 开关频率	100 kHz	已知
$B_\mathrm{max}$ 允许的最大磁通密度（flux density）	300 mT	已知
$T_w$ 绕组温度	100 °C	已知
$b_w$ 绕组宽度（winding breadth）	19 mm	已知
$K_{u,\mathrm{max}}$ 可绕制的最大窗口利用率	0.4	已知
$d_w$ 裸线（bare wire）直径	0.8 mm	已知
$d_o$ 含绝缘层的导线外径	0.86 mm	已知
$k_s$ 并联股数	3	已知
$M_\ell$ 绕组层数（Dowell 公式中的 M）	4	已知
$A_e$ 磁芯有效截面积（effective area）	76 mm²	TDK Electronics, ETD 29/16/10
$A_\mathrm{min}$ 磁芯最小截面积	71 mm²	TDK Electronics, ETD 29/16/10
$l_e$ 有效磁路长度（path length）	70.4 mm	TDK Electronics, ETD 29/16/10
$A_{L0}$ 无气隙整套磁芯的电感系数	2.2 µH	TDK Electronics, ETD 29/16/10
$W_A$ 绕线窗口面积（window area）	97 mm²	TDK Electronics, ETD 29/16/10
$\mathrm{MLT}$ 平均匝长（mean length per turn）	52.8 mm	TDK Electronics, ETD 29/16/10
$N_\mathrm{min}$ 满足 B_max 的最少匝数，按 A_min	23.47	使峰值磁通密度不超过限值的最少匝数
$N$ 匝数	24	向上取整
$A_L$ 设计所需的电感系数	173.6 nH	由电感系数求电感
$\mu_e$ 无气隙磁芯组的有效磁导率	1622	带气隙磁芯的电感系数
$l_g$ 气隙，忽略边缘磁通	0.5067 mm	N 匝时得到给定电感所需的气隙长度
$B_\mathrm{pk}$ 峰值磁通密度（flux density）（按 A_min）	293.4 mT	由电感和峰值电流求峰值磁通密度
$B_\mathrm{ac}$ 交流磁通密度幅值	27.41 mT	由电流纹波求交流磁通密度幅值
$\rho_w$ 导体电阻率（resistivity）（T_w 时）	22.66 nΩ·m	导体在给定温度下的电阻率
$\delta$ 集肤深度（skin depth）（f_s 时）	0.2396 mm	导体的集肤深度
$A_w$ 单匝的裸导体截面积	1.508 mm²	由圆线股构成的单匝铜截面积
$R_\mathrm{dc}$ 绕组直流电阻	19.04 mΩ	绕组的直流电阻
$\eta$ 层的孔隙率（porosity）	0.6717	圆导体层的孔隙率（porosity）
$\varphi$ 层厚与集肤深度之比	2.425	圆导体的 Dowell 层厚参数
$F_R$ 交流电阻系数（ac resistance factor）（f_s 时）	26.69	铜箔绕组的交流电阻系数（Dowell）
$P_\mathrm{dc}$ 直流电阻上的损耗	385.6 mW	电阻上的导通损耗
$K_u$ 窗口利用率（window utilization）	0.3731	绕组的窗口利用率

匝数按最小截面计算并向上取整。绕组由三股（strand）导线并绕、分四层，所占窗口比例小于 $K_u$ 的允许值，其直流电阻低于预算。该绕组在 $f_s$ 下的 Dowell 系数（Dowell’s factor）很大，但频率为 $f_s$ 的电流只有纹波，而这里纹波的有效值只占电流的一小部分（见绕组损耗）。

动手试试

▶ 在公式浏览器中打开：电感所需的磁芯几何常数
预设取自例题 kg-inductor

扫描（sweep） $B_\mathrm{max}$ ：所需的 $K_g$ 与其平方成反比，因此将其加倍，所需的 $K_g$ 降为四分之一。然后将 $R_\mathrm{dc,max}$ 减半：铜损减半，所需的 $K_g$ 加倍。

▶ 在磁性元件设计工具中打开：ETD 29 磁芯电感示例
预设取自例题 mag-kg

在磁性元件设计工具中将磁芯换成 E 25/13/7。它需要更多匝数，同样的导线已绕不进窗口：设计工具会发出警告。细到能绕下的导线，电阻则超出例题的预算。

实验练习

按设计在一套带气隙磁芯上绕制。用 LCR 测试仪在远低于其自谐振（self-resonance）的频率下测量电感量，并用四线（four-wire）法测量直流电阻（见磁性元件的测量）。然后用该页介绍的脉冲测试找出其开始饱和的电流，并与设计的峰值电流比较。

易错点

$K_g$ 不考虑磁芯损耗。它涵盖磁通限值、窗口和铜损。磁通摆幅（flux swing）大时，还要校核磁芯损耗 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 12]。
向上取整后要再次校核。匝数向上取整，或按更小的截面计算匝数，都会增加匝数和电阻： $K_g$ 刚好达到所需值的磁芯，这时可能满足不了预算。
气隙估算忽略了边缘磁通。应采用数据手册中的带气隙成套磁芯，或预计实际气隙比估算值略长 [Dixon 2001]。

测验

磁芯几何常数 $K_g$ 综合了哪三个约束条件？
1. 磁通限值、气隙和窗口
2. 电感量、气隙和磁芯损耗
3. 饱和、磁芯损耗和温度
4. 磁通限值、窗口和绕组电阻
答案与解析
正确答案：D 从磁通密度、窗口和电阻约束条件中消去匝数和导线，剩下的就是 $K_g$ ；气隙在此之后选定，并决定电感量。
其他条件不变，将 $B_\mathrm{max}$ 从 0.2 T 提高到 0.3 T。所需的 $K_g$ 变为原来的多少倍？
1. 0.67：减小
2. 1.5：增大
3. 0.44：减小
4. 2.25：增大
答案与解析
正确答案：C 所需的 $K_g$ 与 $B_\mathrm{max}$ 的平方成反比，而 0.2/0.3 的平方为 0.44。
在同一电流有效值下，将允许的铜损加倍。所需的 $K_g$ 如何变化？
1. 减半
2. 加倍
3. 降为四分之一
4. 不变
答案与解析
正确答案：A 电流相同时，损耗加倍意味着允许的绕组电阻加倍，而绕组电阻以一次方出现在 $K_g$ 的分母中。
某磁芯的 $K_g$ 是另一个同形状磁芯的两倍。它的每个尺寸大多少？
1. 约 26 %
2. 约 41 %
3. 两倍
4. 约 15 %
答案与解析
正确答案：D $K_g$ 与磁芯尺寸的五次方成正比，而 2 的五次方根为 1.15。
为什么匝数向上取整后要再次校核绕组电阻？
1. 更多的匝分摊窗口，每匝的铜更少，绕组也更长：电阻随匝数的平方增大
2. 向上取整使磁通密度低于 $B_\mathrm{max}$
3. 向上取整改变了磁芯的 $K_g$
4. 电感量不再由气隙决定
答案与解析
正确答案：A 磁芯的 $K_g$ 只保证在精确匝数下满足预算；向上取整或按更小的截面计算匝数都会增加电阻，只有 $K_g$ 留有余量才能覆盖。
在下列哪种元件中，最可能由磁芯损耗而不是饱和来限制磁通密度？
1. 纹波小的滤波电感
2. 只流过直流的电感
3. 每个周期磁通都大幅摆动的反激变压器或 DCM 电感
4. 工频扼流圈
答案与解析
正确答案：C 磁芯损耗来自交流磁通。纹波小的滤波电感交流磁通很少，而纹波大时，磁通每个周期都大幅摆动。

本站例题、预设和练习中的数值均为合成值：为教学而凑整的数值，并非来自任何实际设计的数据。