相量、阻抗与拉普拉斯变换

目标

• 用相量（phasor）表示正弦信号（sinusoidal signal），用阻抗（impedance）表示电感和电容。
• 计算给定频率下电感和电容的阻抗。
• 求一阶（first-order）低通滤波器（low-pass filter）的转折频率（corner frequency）及其在转折频率以上的衰减（attenuation）；这种滤波器是变换器传递函数（transfer function）的基本组成单元。

理论

相量与阻抗

在正弦稳态（sinusoidal steady state）下，线性电路中的每个电压和电流都是电源频率的正弦量。每个正弦量都可以用一个复数即它的相量表示，相量包含幅值和相位（phase）[Alexander & Sadiku 2017, Ch. 9]。微分变为乘以 $j\omega$，每个元件用其阻抗描述，即其电压相量与电流相量之比 [Alexander & Sadiku 2017, Ch. 9]。电感和电容的阻抗模为

$$|Z_L| = 2 \pi f L$$

$|Z_L|$

电感阻抗

$L$

电感

$f$

频率

电感的阻抗模值✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 理想（无损）开关器件与无源元件
• 正弦稳态（相量分析）

备注

阻抗为 $j 2\pi f L$：其模值与频率成正比增大，电流滞后电压 90°

出处

Alexander & Sadiku 2017, Ch. 9 (Sinusoids and Phasors)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

imp.ZL · equations.yaml 条目

$$|Z_C| = \frac{1}{2 \pi f C}$$

$|Z_C|$

电容阻抗

$C$

电容（输出电容）

$f$

频率

电容的阻抗模值✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 理想（无损）开关器件与无源元件
• 正弦稳态（相量分析）

备注

阻抗为 $1/(j 2\pi f C)$：其模值与频率成反比减小，电流超前电压 90°

出处

Alexander & Sadiku 2017, Ch. 9 (Sinusoids and Phasors)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

imp.ZC · equations.yaml 条目

电感的阻抗随频率升高而增大，电容的阻抗则随频率升高而减小。正因如此，变换器的 L-C 滤波器能让开关节点（switch node）电压的直流分量（dc component）通过，同时滤除开关谐波（harmonics）[Erickson & Maksimović 2020, Ch. 2]。

拉普拉斯变换与传递函数

拉普拉斯变换（Laplace transform）把同样的思路从正弦量推广到任意信号：用复频率（complex frequency）$s$ 代替 $j\omega$，线性电路就用传递函数描述，即输出的变换与输入的变换之比 [Alexander & Sadiku 2017, Ch. 15]。传递函数在 $j\omega$ 处取值，就得到频率响应（frequency response），即各频率下的增益（gain）和相位 [Alexander & Sadiku 2017, Ch. 14]。

一阶低通滤波器

电阻与电容串联、从电容两端取输出，就是最简单的低通滤波器。其增益在低频时接近 1，在转折频率以上下降 [Alexander & Sadiku 2017, Ch. 14]：

$$f_c = \frac{1}{2 \pi R_f C_f}$$

$f_c$

转折频率（corner frequency, -3 dB）

$C_f$

滤波电容

$R_f$

滤波电阻

一阶 R-C 低通滤波器的转折频率✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 输出端不带负载的一阶 R-C 低通滤波器

备注

在 $f_c$ 处，输出幅值为输入的 $1/\sqrt{2}$（-3 dB 点）

出处

Alexander & Sadiku 2017, Ch. 14 (Frequency Response)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

rc.fc · equations.yaml 条目

$$|G| = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{f}{f_c}\right)^{2}}}$$

$|G|$

低通（low-pass）增益

$f$

频率

$f_c$

转折频率（corner frequency, -3 dB）

一阶低通滤波器的增益幅值✓ 经 8 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 输出端不带负载的一阶 R-C 低通滤波器
• 正弦稳态（相量分析）

备注

在远高于 $f_c$ 的频率上，增益与频率成反比下降：在伯德图上为每十倍频程 -20 dB

出处

Alexander & Sadiku 2017, Ch. 14 (Frequency Response)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

rc.gain · equations.yaml 条目

在远高于转折频率处，频率每升高一个十倍频程（decade），增益降为十分之一：在伯德图（Bode plot）上即每十倍频程 -20 dB 的斜率 [Alexander & Sadiku 2017, Ch. 14]。变换器的 L-C 滤波器是二阶（second-order）的，在其谐振（resonance）频率以上以每十倍频程 -40 dB 下降 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8]（见小信号（small-signal）页面）。

例题

某一频率下的示例电感、电容和 R-C 滤波器：

阻抗与 R-C 滤波器示例

符号	数值	求法
$f$ 频率	100 kHz	已知
$L$ 电感	100 µH	已知
$C$ 电容（输出电容）	1 µF	已知
$R_f$ 滤波电阻	1 kΩ	已知
$C_f$ 滤波电容	10 nF	已知
$|Z_L|$ 电感阻抗	62.8 Ω	电感的阻抗模值
$|Z_C|$ 电容阻抗	1.59 Ω	电容的阻抗模值
$f_c$ 转折频率（corner frequency, -3 dB）	15.9 kHz	一阶 R-C 低通滤波器的转折频率
$|G|$ 低通（low-pass）增益	0.157	一阶低通滤波器的增益幅值

在 100 kHz 下，电感的阻抗为 62.8 Ω，而电容的阻抗只有 1.59 Ω。R-C 滤波器的转折频率为 15.9 kHz，因此在该频率下，滤波器只让输入幅值的 0.157 通过。

动手试试

▶ 在公式浏览器中打开：一阶低通滤波器的增益幅值
预设取自例题 impedance-basic

在对数轴上扫描（sweep）$f$：增益在转折频率以下保持平坦，在转折频率处等于 $1/\sqrt{2}$，在其以上每十倍频程降为十分之一。然后打开电容的阻抗公式，再次扫描 $f$，可以看到同样的反比关系。

实验练习

搭建一个转折频率位于音频范围内的 R-C 低通滤波器，用函数发生器（function generator）输出的正弦波驱动它，并在转折频率附近的若干频率下用示波器（oscilloscope）测量输出的幅值和相位。在对数频率轴上绘出以分贝（decibel）表示的增益，并与公式比较：在转折频率处增益下降 3 dB，输出滞后输入 45°；在高出一个十倍频程处，增益下降约 20 dB。

易错点

• 模值掩盖了相位。阻抗模相等的电感和电容串联时相互抵消而不是相加：在该频率下它们处于串联谐振（series resonance）[Alexander & Sadiku 2017, Ch. 14]。
• 弧度还是赫兹。$\omega$ 的单位是弧度每秒，$f$ 的单位是赫兹；二者混用会使转折频率偏移 $2\pi$ 倍。
• 带负载的滤波器是另一个滤波器。转折频率公式假设输出端没有电流流出。与电容并联的负载会降低增益并使转折频率移动。

延伸阅读

• 讲义 6.003 Lecture Notes — D. Freeman, MIT OpenCourseWare · 访问于 2026-09-23
  讲座幻灯片：拉普拉斯变换（第 6 讲）、频率响应与伯德图（第 9 讲和第 11 讲）、傅里叶级数（第 15 讲）。
• 课程 6.003 Signals and Systems (Fall 2011) — D. Freeman, MIT OpenCourseWare · 访问于 2026-09-23
  配有视频讲座的信号与系统课程：拉普拉斯变换、频率响应、伯德图和傅里叶级数。
• 讲义 6.002 Lecture Notes — A. Agarwal, MIT OpenCourseWare · 访问于 2026-09-23
  逐讲编写的讲义（取自 2000 年秋季学期），涵盖电路定律、储能元件和正弦稳态。

测验

1. $10\,\mu\mathrm{H}$ 电感在 $1\,\mathrm{MHz}$ 下的阻抗模是多少？

   1. $6.28\,\Omega$
   2. $62.8\,\Omega$
   3. $628\,\Omega$
   4. $0.0159\,\Omega$
   答案与解析

   正确答案：B 阻抗模为 $2\pi f L$：$2\pi \times 10^6 \times 10^{-5}$。

2. 频率加倍。电容的阻抗模如何变化？

   1. 加倍
   2. 减半
   3. 不变
   4. 降为四分之一
   答案与解析

   正确答案：B 电容的阻抗模与频率成反比。

3. R-C 低通滤波器由 $10\,\mathrm{k}\Omega$ 电阻和 $1\,\mathrm{nF}$ 电容组成。其转折频率是多少？

   1. $1.59\,\mathrm{kHz}$
   2. $15.9\,\mathrm{kHz}$
   3. $159\,\mathrm{kHz}$
   4. $100\,\mathrm{kHz}$
   答案与解析

   正确答案：B 转折频率为 $1/(2\pi R C)$，其中 $R C$ 等于 $10\,\mu\mathrm{s}$。

4. 一阶低通滤波器在其转折频率处的增益是多少？

   1. 1
   2. $1/\sqrt{2}$，约 -3 dB
   3. 1/2，约 -6 dB
   4. 0
   答案与解析

   正确答案：B 在转折频率处，分母的实部与虚部相等，因此模为 $1/\sqrt{2}$。

5. 对于比转折频率高一个十倍频程的正弦波，一阶低通滤波器大约使其衰减多少？

   1. 衰减 2 倍
   2. 衰减约 10 倍（-20 dB）
   3. 衰减 100 倍（-40 dB）
   4. 完全不衰减
   答案与解析

   正确答案：B 增益为 $1/\sqrt{1 + 100}$，约为 $0.0995$：斜率为每十倍频程 -20 dB。

6. 为什么降压变换器的 L-C 滤波器能让开关节点电压的直流分量通过，却不让开关纹波通过？

   1. 电感的阻抗在直流下为零、在开关频率下很大，而电容的阻抗恰好相反
   2. 电容隔断直流
   3. 电感在任何频率下都是短路
   4. 开关节点电压没有谐波
   答案与解析

   正确答案：A 在直流下，电感相当于短路，电容相当于开路；在开关频率下，电感的阻抗大而电容的阻抗小，因此纹波被分压衰减。