漏感

目标

• 将漏感（leakage inductance）解释为只与一个绕组交链（linkage）、而不与另一个绕组交链的磁通（flux），这部分磁通主要分布在绕组之间。
• 建立耦合系数（coupling coefficient）、短路电感（short-circuit inductance）与变压器模型（transformer model）中各漏感之间的关系。
• 估算某种绕组排布（winding arrangement）的漏感，以及它在反激（flyback）变换器中造成的代价。

理论

耦合绕组

同一磁芯上的两个绕组共享大部分磁通，但不是全部。从端子看，它们表现为两个自感（self-inductance）$L_{11}$ 和 $L_{22}$，以及一个互感（mutual inductance）$L_{12}$ [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10]、[Alexander & Sadiku 2017, Ch. 13]。两者共享磁通的程度就是耦合系数：

$$k = \frac{L_{12}}{\sqrt{L_{11} L_{22}}}$$

$k$

耦合系数（coupling coefficient）

$L_{11}$

绕组 2 开路时绕组 1 的电感

$L_{12}$

互感（mutual inductance）

$L_{22}$

绕组 1 开路时绕组 2 的电感

两个绕组的耦合系数✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 定义

备注

完全耦合时为 1；漏感使其变小

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10 (Basic Magnetics Theory: the transformer model; coupled inductors); Alexander & Sadiku 2017, Ch. 13 (Magnetically Coupled Circuits)

公式 id

xfmr.k · equations.yaml 条目

短路测试（short-circuit test）

将二次绕组短路（short circuit），使其电压，即其磁链（flux linkage）的变化率，保持为零：此时二次电流抵消两个绕组共享的大部分磁通，从一次绕组看进去主要是两个绕组的漏感（在此推导）：

$$L_\mathrm{sc} = L_{11} \left(1 - k^{2}\right)$$

$L_\mathrm{sc}$

另一绕组短路时的电感

$L_{11}$

绕组 2 开路时绕组 1 的电感

$k$

耦合系数（coupling coefficient）

另一绕组短路时某一绕组的电感✓ 经 8 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 两个线性耦合且无电阻的绕组

备注

短路使第二个绕组的电压（即其磁链的变化率）保持为零，因此其电流抵消了两个绕组共有磁通的大部分；剩下的主要是两个绕组的漏感（`xfmr.L_sc_T`）：对于耦合良好的变压器，1 − k² 很小

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10 (Basic Magnetics Theory: the transformer model; coupled inductors); derived here; Alexander & Sadiku 2017, Ch. 13 (Magnetically Coupled Circuits)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

xfmr.L_sc · equations.yaml 条目

$k$ 接近 1 时，它只是 $L_{11}$ 的一小部分：将二次绕组短路，在一次侧用阻抗测量仪（impedance meter）即可直接测得。

变压器模型

变压器模型把每个绕组的电感分为一个漏感和两个绕组共有的励磁电感（magnetizing inductance）$L_M$，两个绕组之间是一个理想的 1:$n$ 变压器 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10]。二次绕组短路时，从一次侧看进去：

$$L_\mathrm{sc} = L_{\ell 1} + \frac{L_{\ell 2}' L_M}{L_{\ell 2}' + L_M}$$

$L_\mathrm{sc}$

另一绕组短路时的电感

$L_M$

励磁电感（magnetizing inductance），折算到一次侧

$L_{\ell 1}$

一次侧漏感

$L_{\ell 2}'$

折算到一次侧的二次侧漏感

变压器模型中的短路电感✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 两个线性耦合且无电阻的绕组
• 变压器以励磁电感和每个绕组各一个漏感建模（T 模型），折算到一次侧

备注

$L_M$ 远大于漏感时，$L_\mathrm{sc} \approx L_{\ell 1} + L_{\ell 2}'$：短路测试测得的是折算到一次侧的总漏感，而不是其在两个绕组之间的分配

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10 (Basic Magnetics Theory: the transformer model with magnetizing and leakage inductances); derived here

推导

sympy 逐步推导

公式 id

xfmr.L_sc_T · equations.yaml 条目

由于 $L_M$ 远大于各漏感，短路测试测得的是折算到一次侧（referred）的两个漏感之和，也就是反激变换器的钳位电路（clamp）必须吸收的漏感 $L_\mathrm{lk}$。短路测试无法得知这一总和在两个绕组之间如何分配。

漏磁通的位置

漏磁通穿过绕线窗口（winding window）。其能量由窗口内的磁动势（magnetomotive force）决定：磁动势在一次绕组各层中上升，在绕组间距中保持峰值，在二次绕组中降回零（P-S 排布的漏感）[Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10]。把一次绕组分成两半置于二次绕组两侧，峰值减半，漏感降到约四分之一（P-S-P 排布的漏感）。这些公式中只出现绕组的几何结构和真空磁导率（permeability of free space）：磁芯材料和气隙（air gap）决定的是励磁电感，而不是漏感。

漏感的代价

反激变换器的开关管关断时，漏感中储存的能量（漏感能量）无法传递到二次侧。这部分能量在每个周期都要由钳位电路或缓冲电路（snubber）吸收（漏感功率）[Erickson & Maksimović 2020, Ch. 4]；见缓冲电路与钳位电路。

例题

一对示例绕组，以阻抗测量仪的读数给出：

耦合绕组示例

符号	数值	求法
$L_{11}$ 绕组 2 开路时绕组 1 的电感	404 µH	已知
$L_{22}$ 绕组 1 开路时绕组 2 的电感	25.3 µH	已知
$L_{12}$ 互感（mutual inductance）	100 µH	已知
$L_M$ 励磁电感（magnetizing inductance），折算到一次侧	400 µH	已知
$L_{\ell 1}$ 一次侧漏感	4 µH	已知
$L_{\ell 2}'$ 折算到一次侧的二次侧漏感	4 µH	已知
$n$ 匝比（turns ratio），二次/一次	0.25	已知
$k$ 耦合系数（coupling coefficient）	0.99	两个绕组的耦合系数
$L_\mathrm{sc}$ 另一绕组短路时的电感	7.96 µH	另一绕组短路时某一绕组的电感
${L_\mathrm{sc}}_{\mathrm{T}}$ 另一绕组短路时的电感	7.96 µH	变压器模型中的短路电感
$V_2/V_1$ 开路电压比（open-circuit voltage ratio）	0.248	变压器的开路电压比

耦合系数为 0.9901。二次绕组短路时，一次绕组的读数为 7.96 µH。变压器模型取励磁电感 400 µH，一次侧和二次侧漏感分别为 4 µH 和 4 µH（均折算到一次侧），得到相同的值 7.96 µH：几乎等于两个漏感之和。二次绕组开路时，电压比为 0.2475，略低于匝比 0.25（见磁性元件的测量）。

动手试试

▶ 在公式浏览器中打开：另一绕组短路时某一绕组的电感
预设取自例题 coupled-pair

从 0.9 向 1 扫描（sweep）$k$：短路电感随 $1 - k^2$ 减小。$k$ 在 1 附近的微小变化会使漏感大幅改变。

实验练习

用 LCR 测试仪按串联电感（series inductance）读数，先在二次绕组开路时、再在用短而宽的短接片将其短路时，测量变压器一次绕组的电感。测试频率应远低于自谐振（self-resonance），同时又要足够高，使短路时的读数不再随频率变化（见磁性元件的测量）。两次读数之比代入短路电感公式，即可求出 $k$。然后将两个绕组分别顺向串联（series aiding）和反向串联（series opposing）：两次读数之差是互感的四倍 [Alexander & Sadiku 2017, Ch. 13]。将测得的漏感与根据绕组几何结构得到的估算值比较。

易错点

• 短路连接本身也有电感。又长又细的短路线会使读数增大；应使用短而宽的短接片。
• 测试频率过低，读数偏高。二次绕组短路时，励磁电感的电抗必须远大于折算到一次侧的二次绕组电阻；否则励磁电感会分走一部分电流，读数向开路电感升高。
• 测得的是总和。短路测试测得的是一次侧与二次侧漏感之和，折算到一次侧。
• 气隙不能消除漏感。磁芯开气隙会降低 $L_M$ 和 $k$，但漏感本身由绕组决定。

延伸阅读

• 图书章节 Basic Magnetics Theory (Ch. 10) — R. W. Erickson, D. Maksimović · 访问于 2026-09-23
  磁路、含励磁电感和漏感的变压器模型，以及磁芯损耗和绕组损耗的机理。
• 图书章节 Transformer Design (Ch. 12) — R. W. Erickson, D. Maksimović · 访问于 2026-09-24
  当限制交流磁通密度的是磁芯损耗而非饱和时的变压器设计，其中铜损与磁芯损耗相互权衡。
• 图书 Magnetics Design Handbook (SLUP132) — L. H. Dixon, Texas Instruments (Unitrode) · 访问于 2026-09-23
  Lloyd Dixon 的磁性元件设计手册，由 TI 根据 2001 年的 Unitrode 版本重新发布。ti.com 上的副本需要用免费的 myTI 账户登录。

测验

1. 两个绕组在另一绕组开路时分别测得 $400\,\mu\mathrm{H}$ 和 $25\,\mu\mathrm{H}$，互感为 $99\,\mu\mathrm{H}$。其耦合系数是多少？

   1. 0.25
   2. 0.99
   3. 4
   4. 0.0099
   答案与解析

   正确答案：B 互感除以两个电感乘积的平方根：99 除以 100。

2. 二次绕组开路时，一次绕组的读数为 $1\,\mathrm{mH}$，耦合系数为 0.99。二次绕组短路时读数是多少？

   1. $10\,\mu\mathrm{H}$
   2. $19.9\,\mu\mathrm{H}$
   3. $990\,\mu\mathrm{H}$
   4. $1.99\,\mu\mathrm{H}$
   答案与解析

   正确答案：B 开路电感乘以 1 减去耦合系数的平方：1 mH 乘以 0.0199。

3. 短路测试测量的是什么？

   1. 一次侧与二次侧漏感之和，折算到一次侧
   2. 励磁电感
   3. 仅一次侧漏感
   4. 绕组电容
   答案与解析

   正确答案：A 励磁电感远大于漏感，因此读数几乎等于折算到一次侧的两个漏感之和。

4. 将一次绕组分成两半置于二次绕组两侧（P-S-P），漏感大致如何变化？

   1. 降到约一半
   2. 加倍
   3. 降到约四分之一
   4. 完全不变
   答案与解析

   正确答案：C 窗口中的峰值磁动势减半，而储能与其平方成正比。

5. 将磁芯的气隙加长到原来的两倍。漏感如何变化？

   1. 减半
   2. 几乎不变：漏感由绕组的几何结构决定
   3. 加倍
   4. 消失
   答案与解析

   正确答案：B 气隙降低的是励磁电感；漏感由绕组之间的磁场决定，而气隙对该磁场几乎没有影响。

6. 开关管关断时，反激变换器的漏感能量去了哪里？

   1. 送到输出端
   2. 进入磁芯，成为磁芯损耗
   3. 每个周期都进入钳位电路或缓冲电路
   4. 留在漏感中
   答案与解析

   正确答案：C 漏磁通不与二次绕组交链，因此其能量无法到达输出端；必须由钳位电路或缓冲电路吸收。