法拉第定律与电感

目标

• 用安培环路定律（Ampère’s law）建立绕组（winding）电流与磁芯中磁场强度（magnetic field intensity）的关系。
• 用法拉第定律（Faraday’s law），由施加在绕组上的电压及其持续时间计算磁通密度摆幅（flux-density swing）。
• 解释为什么变换器中磁性元件（magnetic component）的磁通摆幅（flux swing）由伏秒积（volt-seconds）决定，而不是由负载电流决定。

理论

安培环路定律

磁场强度沿闭合路径的积分等于该路径所包围的电流。在无气隙（air gap）的磁芯上绕 $N$ 匝，且磁场沿有效磁路长度（effective path length）均匀分布时，由此得到 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10]：

$$H = \frac{N I_w}{l_e}$$

$H$

磁场强度（field intensity）

$I_w$

绕组电流

$N$

匝数

$l_e$

有效磁路长度（path length）

由安培环路定律求无气隙磁芯中的磁场强度✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 无气隙磁芯，磁场强度沿磁路 l_e 均匀

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10 (Basic Magnetics Theory)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

mag.H_ampere · equations.yaml 条目

法拉第定律

穿过绕组的磁通变化时，绕组中感应（induction）出的电压等于匝数乘以磁通的变化率。若磁通密度在磁芯的有效截面积（effective area）上均匀分布，则在导通时间（on-time）内对绕组施加恒定电压时，磁通密度线性变化 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10]、[Dixon 2001]：

$$\Delta B = \frac{V_w t_\mathrm{on}}{N A_e}$$

$\Delta B$

磁通密度摆幅，峰峰值

$A_e$

磁芯有效截面积（effective area）

$N$

匝数

$V_w$

t_on 期间的绕组电压

$t_\mathrm{on}$

开关管导通时间（on-time）

由法拉第定律求磁通密度摆幅✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 磁通密度在 A_e 上均匀

约定

$\Delta B$ 为峰峰值摆幅；磁芯损耗公式中的交流幅值为 $\Delta B/2$

出处

Dixon 2001; Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10 (Basic Magnetics Theory)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

mag.dB_faraday · equations.yaml 条目

这是电路定律页面中电感伏安关系在磁学上的对应：恒定电压在那里使电流线性变化，在这里使磁通密度线性变化。

伏秒积决定磁通摆幅

磁通摆幅只取决于所加的伏秒积、匝数和磁芯截面积，而与负载电流无关。变压器中没有直流励磁电流（dc magnetizing current），磁通仅由伏秒积决定。滤波电感中，直流电流决定平均磁通密度，伏秒积决定围绕该平均值的摆幅（峰值磁通密度）。稳态（steady state）下，伏秒平衡（volt-second balance）使磁通在每个周期都回到起始值（伏秒平衡）。

例题

一个绕在无气隙磁芯上的示例绕组：

绕线磁芯示例

符号	数值	求法
$N$ 匝数	20	已知
$I_w$ 绕组电流	2 A	已知
$l_e$ 有效磁路长度（path length）	50 mm	已知
$V_w$ ton 期间的绕组电压	12 V	已知
$t_\mathrm{on}$ 开关管导通时间（on-time）	5 µs	已知
$A_e$ 磁芯有效截面积（effective area）	100 mm²	已知
$H$ 磁场强度（field intensity）	800 A/m	由安培环路定律求无气隙磁芯中的磁场强度
$\Delta B$ 磁通密度摆幅，峰峰值	30 mT	由法拉第定律求磁通密度摆幅

绕组电流在磁芯中产生 800 A/m 的磁场强度，所加伏秒积使磁通密度产生峰峰值（peak-to-peak）为 30 mT 的摆幅。

动手试试

▶ 在公式浏览器中打开：由法拉第定律求磁通密度摆幅
预设取自例题 inductor-core

扫描（sweep）$N$：磁通摆幅与匝数成反比地减小。但在相同的绕组面积（winding area）内绕更多匝，会使绕组电阻（winding resistance）增大 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 11]。

实验练习

用函数发生器（function generator）输出的方波（square wave），经一个小的串联电阻驱动铁氧体（ferrite）磁芯上的绕组，并在同一磁芯上绕一个几匝的第二绕组作为检测绕组（sense winding）。用示波器对检测绕组电压积分，再除以其匝数和磁芯截面积，即得磁通密度。检查其峰峰值摆幅是否符合上式，然后将驱动频率加倍，检查摆幅是否减半。

易错点

• 匝数是一把双刃剑。电压一定时，匝数越多，磁通摆幅越小；电流一定时，匝数越多，磁场强度和磁通密度越大（安培环路定律）。
• 净伏秒积（net volt-seconds）使磁通一步步走向饱和（saturation）。若绕组电压在一个周期内的平均值不为零，其磁通每个周期都会增大，直到磁芯饱和 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 6]。

延伸阅读

• 图书章节 Basic Magnetics Theory (Ch. 10) — R. W. Erickson, D. Maksimović · 访问于 2026-09-23
  磁路、含励磁电感和漏感的变压器模型，以及磁芯损耗和绕组损耗的机理。
• 课程 Magnetics for Power Electronic Converters — University of Colorado Boulder (Coursera) · 访问于 2026-09-23
  磁路、磁芯损耗与绕组损耗，以及电感与变压器设计。
• 讲义 6.334 Lecture Notes — D. Perreault, MIT OpenCourseWare · 访问于 2026-09-23
  按章节编写的讲义，涵盖 DC/DC 变换器、磁性元件与隔离型变换器。

测验

1. 有效磁路长度为 $0.05\,\mathrm{m}$ 的无气隙磁芯上绕有 20 匝绕组，绕组电流为 $1\,\mathrm{A}$。磁芯中的磁场强度是多少？

   1. $20\,\mathrm{A/m}$
   2. $400\,\mathrm{A/m}$
   3. $1000\,\mathrm{A/m}$
   4. $4000\,\mathrm{A/m}$
   答案与解析

   正确答案：B 所包围的电流为 $20\,\mathrm{A}$ 匝，分布在 $0.05\,\mathrm{m}$ 长的磁路上。

2. 有效截面积为 $1\,\mathrm{cm^2}$ 的磁芯上绕有 24 匝绕组，对其施加 $12\,\mathrm{V}$ 的恒定电压，持续 $10\,\mu\mathrm{s}$。磁通密度摆幅是多少？

   1. $0.005\,\mathrm{T}$
   2. $0.05\,\mathrm{T}$
   3. $0.5\,\mathrm{T}$
   4. $5\,\mathrm{T}$
   答案与解析

   正确答案：B 伏秒积 $120\,\mu\mathrm{Vs}$ 除以匝数与截面积之积 $24 \times 10^{-4}\,\mathrm{m^2}$。

3. 占空比和电压不变，将变换器的开关频率加倍。其变压器中的磁通摆幅如何变化？

   1. 加倍
   2. 减半
   3. 不变
   4. 降为四分之一
   答案与解析

   正确答案：B 导通时间减半，因此每个周期的伏秒积减半，磁通摆幅也随之减半。

4. 在没有直流励磁电流的变压器中，磁通摆幅由什么决定？

   1. 负载电流
   2. 施加在绕组上的伏秒积、该绕组的匝数和磁芯截面积
   3. 仅磁芯的磁导率
   4. 二次电流
   答案与解析

   正确答案：B 法拉第定律把磁通的变化率与绕组电压联系在一起，与负载无关。

5. 在给定磁芯上将匝数加倍，绕组电流保持不变。磁场强度如何变化？

   1. 减半
   2. 不变
   3. 加倍
   4. 变为四倍
   答案与解析

   正确答案：C 所包围的电流，即匝数与绕组电流之积，加倍，而磁路长度不变。

6. 为什么稳态下变压器绕组两端的平均电压必须为零？

   1. 为了保持输出电压恒定
   2. 任何净伏秒积都会使磁通每个周期增大，直到磁芯饱和
   3. 为了避免绕组损耗
   4. 因为二次侧是隔离的
   答案与解析

   正确答案：B 每个周期的磁通变化量与净伏秒积成正比；只有净伏秒积为零，磁通才能回到起始值。