气隙与电感系数

目标

• 由尺寸计算带气隙（air gap）磁芯的电感系数（inductance factor），并由匝数（number of turns）计算电感量。
• 解释为什么开气隙后，电感量取决于气隙而不是磁芯材料。
• 解释气隙如何降低电感在给定电流下达到的磁通密度（flux density）。

理论

磁路（magnetic circuit）

磁通路径（magnetic path）的特性类似电阻电路：绕组的磁动势（magnetomotive force），即匝数与电流之积，驱动磁通（flux）流过串联的磁阻（reluctance），这里是磁芯磁阻和气隙磁阻 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10]。磁芯磁阻等于磁路长度除以磁导率（permeability）和截面积；气隙磁阻等于气隙长度除以真空磁导率（permeability of free space）和截面积。由于磁芯的相对磁导率（relative permeability）很大，即使很短的气隙也可能在总磁阻中占主导。

电感系数

每匝平方的电感，即电感系数 $A_L$，等于总磁阻的倒数 [Dixon 2001]、[Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10]：

$$A_L \approx \frac{\mu_0 A_e}{l_g + \frac{l_e}{\mu_i}}$$

$A_L$

电感系数（每匝平方）

$A_e$

磁芯有效截面积（effective area）

$l_e$

有效磁路长度（path length）

$l_g$

气隙（air gap）长度

$\mu_i$

初始相对磁导率（initial permeability）

$\mu_0$

真空磁导率（permeability of free space）

带气隙磁芯的电感系数✓ 经 8 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 线性（未饱和）磁性材料
• 气隙处无边缘磁通（fringing）
• 磁通密度在 A_e 上均匀

备注

边缘磁通使实际 $A_L$ 大于该估算值；对于指定气隙，应采用厂商给出的 $A_L$

出处

Dixon 2001; Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10 (Basic Magnetics Theory: magnetic circuits)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

mag.AL_gap · equations.yaml 条目

$$L = A_L N^{2}$$

$L$

电感

$A_L$

电感系数（每匝平方）

$N$

匝数

由电感系数求电感✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 线性（未饱和）磁性材料

出处

Dixon 2001; Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10 (Basic Magnetics Theory)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

mag.L_from_AL · equations.yaml 条目

气隙项占主导时，$A_L$ 取决于气隙长度和截面积，而几乎与 $\mu_i$ 无关：气隙使电感量对磁芯材料的离散性（spread）不敏感 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10]。

功率电感为什么要开气隙

磁芯材料在一定的磁通密度下饱和（saturation），气隙不改变这一限值。但气隙降低了电感系数，因此获得给定的电感量需要更多匝数，在给定电流下磁通密度随之降低（峰值磁通密度）：带气隙的电感在饱和前能流过更大的电流。

例题

一个示例带气隙磁芯：

带气隙磁芯示例

符号	数值	求法
$A_e$ 磁芯有效截面积（effective area）	100 mm²	已知
$l_e$ 有效磁路长度（path length）	50 mm	已知
$l_g$ 气隙（air gap）长度	0.5 mm	已知
$\mu_i$ 初始相对磁导率（initial permeability）	2000	已知
$N$ 匝数	20	已知
$A_L$ 电感系数（每匝平方）	239 nH	带气隙磁芯的电感系数
$L$ 电感	95.7 µH	由电感系数求电感

在给定气隙下，电感系数为 239 nH，20 匝得到 95.7 µH 的电感量。这里气隙磁阻远大于磁芯磁阻，因此结果几乎与 $\mu_i$ 无关。

动手试试

▶ 在公式浏览器中打开：带气隙磁芯的电感系数
预设取自例题 gapped-core

在对数坐标轴上扫描（sweep）$l_g$：气隙小时由磁芯材料决定 $A_L$，气隙大时由气隙决定，此时 $A_L$ 与气隙长度成反比地减小。分别在小气隙和大气隙下将 $\mu_i$ 减半，看材料在哪种情况下仍有影响。

实验练习

测量绕在一对无气隙铁氧体（ferrite）半磁芯上的绕组的电感量。然后在两个半磁芯之间放入厚度已知的薄非磁性垫片（spacer），例如塑料薄膜，再测量一次。将电感量的变化与公式比较，磁通路径每穿过一处垫片都要计入。实测电感量比预测值略大，因为气隙周围存在边缘磁通（fringing）[Dixon 2001]。

易错点

• 边缘磁通使实际的 $A_L$ 更大。磁通在气隙周围向外鼓出，使气隙的有效截面积（effective area）增大，因此简单公式会低估电感量 [Dixon 2001]。
• 对规定气隙的磁芯，采用厂商给出的 $A_L$。厂商的 $A_L$ 是实测值，而边缘磁通难以计算；该公式用于理解气隙，以及估算自行设计的气隙。
• 电感量与匝数的平方成正比。在同一磁芯上将匝数加倍，电感量变为原来的四倍。

延伸阅读

• 图书 Magnetics Design Handbook (SLUP132) — L. H. Dixon, Texas Instruments (Unitrode) · 访问于 2026-09-23
  Lloyd Dixon 的磁性元件设计手册，由 TI 根据 2001 年的 Unitrode 版本重新发布。ti.com 上的副本需要用免费的 myTI 账户登录。
• 图书章节 Basic Magnetics Theory (Ch. 10) — R. W. Erickson, D. Maksimović · 访问于 2026-09-23
  磁路、含励磁电感和漏感的变压器模型，以及磁芯损耗和绕组损耗的机理。
• 课程 Magnetics for Power Electronic Converters — University of Colorado Boulder (Coursera) · 访问于 2026-09-23
  磁路、磁芯损耗与绕组损耗，以及电感与变压器设计。

测验

1. 某磁芯每匝平方的电感为 $A_L = 250\,\mathrm{nH}$。要得到 $100\,\mu\mathrm{H}$，需要绕多少匝？

   1. 4
   2. 20
   3. 40
   4. 400
   答案与解析

   正确答案：B 匝数的平方等于电感量除以 $A_L$，即 400；其平方根为 20。

2. 在给定磁芯上将匝数加倍。电感量如何变化？

   1. 加倍
   2. 变为四倍
   3. 不变
   4. 减半
   答案与解析

   正确答案：B 电感量等于 $A_L$ 乘以匝数的平方。

3. 为什么气隙使电感量几乎与磁芯材料无关？

   1. 气隙磁阻在总磁阻中占主导，而它只取决于气隙长度和截面积
   2. 气隙提高了材料的磁导率
   3. 气隙消除了磁滞
   4. 气隙缩短了磁路
   答案与解析

   正确答案：A 由于相对磁导率很大，即使与很短的气隙的磁阻相比，磁芯磁阻也很小。

4. 与简单公式相比，气隙周围的边缘磁通如何改变实际的 $A_L$？

   1. 使其变小
   2. 使其变大
   3. 没有影响
   4. 使其随电流变化
   答案与解析

   正确答案：B 边缘磁通增大了气隙的有效截面积，降低了气隙磁阻，从而提高了 $A_L$。

5. 某磁芯的有效截面积为 $1\,\mathrm{cm^2}$，总气隙长度为 $1\,\mathrm{mm}$，磁芯本身的磁阻可以忽略。忽略边缘磁通时，$A_L$ 是多少？

   1. $12.6\,\mathrm{nH}$
   2. $126\,\mathrm{nH}$
   3. $1.26\,\mu\mathrm{H}$
   4. $12.6\,\mu\mathrm{H}$
   答案与解析

   正确答案：B $\mu_0$ 乘以截面积再除以气隙长度：$4\pi \times 10^{-7} \times 10^{-4}/10^{-3}$。

6. 在电感量和电流都相同时，带气隙磁芯与同样尺寸的无气隙磁芯相比如何？

   1. 它达到的磁通密度更低，因为获得相同的电感量需要更多匝数
   2. 它达到的磁通密度更高
   3. 它在更高的磁通密度下才饱和，因为气隙提高了材料的限值
   4. 没有差别
   答案与解析

   正确答案：A 峰值磁通密度等于电感量与电流之积除以匝数和截面积；气隙不改变材料的限值，但匝数增多会降低磁通密度。