开关波形的傅里叶级数

目标

把周期波形分解为直流分量（dc component）和谐波（harmonics）。
计算变换器开关节点（switch node）上的波形，即矩形脉冲序列（rectangular pulse train）的谐波幅值和有效值（rms value）。
解释低通滤波器（low-pass filter）为何能提取出开关节点电压的直流分量。

理论

周期信号表示为正弦波之和

周期信号等于其平均值（average value）与一系列正弦波（sinusoid）之和：平均值即直流分量，这些正弦波的频率为基波频率（fundamental frequency）的整数倍，即谐波 [Alexander & Sadiku 2017, Ch. 17]。把各次谐波的幅值画成频率的函数，就得到该信号的幅度谱（amplitude spectrum）[Alexander & Sadiku 2017, Ch. 17]。

矩形脉冲序列

降压（buck）变换器的开关节点上是一个脉冲序列：在每个周期中占比为 $D$ 的时间内为输入电压，其余时间为零 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 2]。它的直流分量就是它的平均值（开关节点平均电压），其谐波幅值为

a_h = \frac{2 V_\mathrm{pk} \left|{\sin{\left(\pi h D \right)}}\right|}{\pi h}

$a_h$: h 次谐波幅值
$D$: 占空比（duty ratio）
$V_\mathrm{pk}$: 脉冲幅值
$h$: 谐波次数（harmonic order）

矩形脉冲序列第 h 次谐波的幅值✓ 经 8 项测试验证

假设、约定与出处

假设

在 0 与 V_pk 之间切换、占空比为 D 的理想矩形脉冲序列
周期稳态

备注

直流分量为

D V_\mathrm{pk}

；谐波幅值按

1/h

下降，在

h D

为整数时为零

出处

Alexander & Sadiku 2017, Ch. 17 (The Fourier Series)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

fourier.pulse.harm · equations.yaml 条目

谐波幅值与谐波次数（harmonic order）成反比地减小；只要 $h D$ 为整数，该次谐波就为零：在 $D = 0.5$ 时，所有偶次谐波都不存在。

有效值

有效值是一个周期内平方的平均值的平方根 [Alexander & Sadiku 2017, Ch. 11]。对脉冲序列而言，只有脉冲部分对这一平均值有贡献：

V_\mathrm{rms} = V_\mathrm{pk} \sqrt{D}

$V_\mathrm{rms}$: 电压有效值（rms）
$D$: 占空比（duty ratio）
$V_\mathrm{pk}$: 脉冲幅值

矩形脉冲序列的有效值✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

在 0 与 V_pk 之间切换、占空比为 D 的理想矩形脉冲序列

出处

Alexander & Sadiku 2017, Ch. 11 (AC Power Analysis)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

fourier.pulse.rms · equations.yaml 条目

电阻中的损耗取决于电流的有效值，而不是平均值（导通损耗）；对于窄脉冲，有效值远大于平均值。

输出滤波器为何有效

降压变换器的 L-C 滤波器让开关节点电压的直流分量通过，并使其谐波衰减（attenuation），其中最低次谐波位于开关频率（switching frequency）处。输出端剩下的是平均值 $D V_g$ 加上很小的纹波 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 2]。

例题

一个示例脉冲序列，即降压变换器开关节点上的那种波形：

矩形脉冲序列示例

符号	数值	求法
$V_\mathrm{pk}$ 脉冲幅值	12 V	已知
$D$ 占空比（duty ratio）	0.25	已知
$h$ 谐波次数（harmonic order）	1	已知
$\langle v_s \rangle$ 开关节点平均电压	3 V	开关节点电压的直流分量（降压变换器）
$a_h$ h 次谐波幅值	5.4 V	矩形脉冲序列第 h 次谐波的幅值
$V_\mathrm{rms}$ 电压有效值（rms）	6 V	矩形脉冲序列的有效值

该脉冲序列的直流分量为 3 V，其基波（fundamental）幅值为 5.4 V，在此占空比（duty ratio）下比直流分量本身还大。其有效值为 6 V。

动手试试

▶ 在公式浏览器中打开：矩形脉冲序列第 h 次谐波的幅值
预设取自例题 pulse-train

扫描（sweep） $D$ ：基波在 $D = 0.5$ 时最大。然后把 $h$ 设为 2 再次扫描：二次谐波在 $D = 0.5$ 时为零，在 0.25 和 0.75 处最大。

实验练习

在降压评估板（evaluation board）上，用差分探头（differential probe）或接地连线很短的探头测量开关节点电压，并使用示波器（oscilloscope）的 FFT 功能。读出直流值和前几次谐波的幅值，并与公式在实测占空比和输入电压下给出的值比较。确认示波器显示的是各次谐波的峰值幅值，还是峰值除以 $\sqrt{2}$ 所得的有效值。

易错点

谐波并不止于开关频率。理想脉冲序列的谐波只按 $1/h$ 减小，因此一直延伸到远高于开关频率的范围；这对滤波器、干扰（interference）和采样都有影响。
平均值与有效值不同。平均值相同的两个电流，其有效值可能相差很大，而电阻损耗取决于有效值 [Alexander & Sadiku 2017, Ch. 11]。
正弦波的有效值是幅值除以 $\sqrt{2}$ ，脉冲序列的有效值则不是。应使用实际波形的有效值 [Alexander & Sadiku 2017, Ch. 11]。

测验

一个脉冲序列以 $D = 0.3$ 在 $0$ 和 $10\,\mathrm{V}$ 之间切换。其直流分量是多少？
1. $0.3\,\mathrm{V}$
2. $3\,\mathrm{V}$
3. $5\,\mathrm{V}$
4. $7\,\mathrm{V}$
答案与解析
正确答案：B 直流分量就是平均值：脉冲高度乘以脉冲持续时间占周期的比例。
在 $D = 0.25$ 时，在 $0$ 和 $10\,\mathrm{V}$ 之间切换的脉冲序列的有效值是多少？
1. $2.5\,\mathrm{V}$
2. $5\,\mathrm{V}$
3. $7.07\,\mathrm{V}$
4. $10\,\mathrm{V}$
答案与解析
正确答案：B 平方的平均值为 $0.25 \times 100\,\mathrm{V^2}$ ，其平方根为 $5\,\mathrm{V}$ ，是平均值的两倍。
在 $D = 0.5$ 时，矩形脉冲序列缺少哪些谐波？
1. 不缺少任何谐波
2. 奇次谐波
3. 偶次谐波
4. 三次以上的所有谐波
答案与解析
正确答案：C 当 $h D$ 为整数时该次谐波为零；在 $D = 0.5$ 时，每个偶数 $h$ 都是如此。
除零点外，矩形脉冲序列的谐波幅值如何随谐波次数 $h$ 减小？
1. 按 $1/h$ 减小
2. 按 $1/h^2$ 减小
3. 按指数规律减小
4. 不减小
答案与解析
正确答案：A 幅值为 $2 V_\mathrm{pk} |\sin(\pi h D)|/(\pi h)$ ：其包络按 $1/h$ 减小。
在 $D = 0.5$ 时，在 $0$ 和 $12\,\mathrm{V}$ 之间切换的脉冲序列，其基波幅值是多少？
1. $6\,\mathrm{V}$
2. $7.64\,\mathrm{V}$
3. $12\,\mathrm{V}$
4. $3.82\,\mathrm{V}$
答案与解析
正确答案：B 当 $h = 1$ 、 $D = 0.5$ 时，正弦项为 1，因此幅值为 $2 \times 12/\pi$ 。
为什么降压变换器的输出等于其开关节点电压的平均值？
1. L-C 滤波器让直流分量通过，并大幅衰减各次谐波，其中最低次谐波位于开关频率处
2. 开关节点电压没有谐波
3. 二极管滤除了谐波
4. 负载电阻对电压取平均
答案与解析
正确答案：A 输出保留直流分量和少量残余谐波，即纹波。

本站例题、预设和练习中的数值均为合成值：为教学而凑整的数值，并非来自任何实际设计的数据。