用 Python 验证

目标

• 跟踪一个公式从 SymPy 推导到页面、再到测试的全过程。
• 用相对差（relative difference）比较两个计算结果，并选择一个容差（tolerance），使舍入不会导致失败，而真正的错误无法通过。
• 在自己的计算机上运行本站的检查。

理论

一个来源，两种实现

本站的每个公式都只在 packages/pe-core/equations/equations.yaml 中出现一次，以 SymPy 表达式的形式存放，并附有其符号、测试和引用。Python 包 python/pe_core 以该文件为基础工作：

• 在可能的情况下，python/pe_core/derive/ 中的脚本从基本原理推导公式，用 SymPy 逐步求解电路的平衡方程（balance equation）。推导页面按代码的计算过程展示这些步骤，pytest 则检查每个结果是否等于公式目录中的表达式。
• python scripts/gen_equations.py 生成页面上显示的 LaTeX 和测试向量（test vector），测试向量包括每个公式自身的测试，以及由 SymPy 计算的随机输入。CI 会重新运行它，只要有任何差异就失败。

页面和工具背后的 TypeScript 引擎有自己的求值函数，它们是手工编写的，而不是从同一文件生成的，这样一方的错误就不会被复制到另一方。vitest 用测试向量检查每个求值函数。

比较两个数

两个计算结果用它们的相对差来比较：

$$\delta = \frac{\left|{x - x_\mathrm{ref}}\right|}{\left|{x_\mathrm{ref}}\right|}$$

$\delta$

相对差

$x_\mathrm{ref}$

参考值

$x$

被检验的值

数值相对于参考值的相对差✓ 经 8 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 定义

备注

物理量按比例缩放（例如单位从伏特换成毫伏）时，相对差不变，因此同一个容差适用于所有物理量（零点会移动的单位是例外，例如摄氏度相对于开尔文）；参考值为零时相对差无定义，参考值接近零时，很小的绝对差也会变成很大的相对差。本站对同一公式的 TypeScript 与 Python 计算结果要求 1e-9，对仿真与其公式的比较要求 1 % 或 2 %

出处

Higham 2002, Sec. 1.2 (Relative Error and Significant Digits)

公式 id

num.rel_diff · equations.yaml 条目

物理量按比例缩放时（例如单位从伏特换成毫伏），相对差不变，因此同一个容差适用于所有物理量。参考值为零时相对差无定义 [Higham 2002, Sec. 1.2]，参考值接近零时它会夸大很小的差异，因此在那里应与一个尺度比较。两个正确的程序不一定产生逐位相同的结果：每次运算都对其结果舍入，而结果取决于运算的顺序。一次舍入使一个数改变的量，相对于其大小，至多为该格式的单位舍入误差（unit roundoff）：

$$u = \frac{\beta^{1 - p}}{2}$$

$u$

单位舍入误差（unit roundoff）

$\beta$

基数（二进制为 2）

$p$

精度（尾数位数）

浮点格式的单位舍入误差✓ 经 8 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 舍入到该格式中最接近的数，即 IEEE 754 的默认方式

备注

将实数舍入到该格式中最接近的数，所引起的变化至多为其自身的这一比例（在规格化数范围内）。对于 binary64，即 JavaScript 的数值和 Python 的 float 所采用的 IEEE 754 双精度，基数为 2，精度为 53 位，因此 $u = 2^{-53} \approx 1.1 \times 10^{-16}$。Higham 将精度记为 $t$

出处

Higham 2002, Ch. 2 (Floating Point Arithmetic: the unit roundoff, Sec. 2.1, and its value in IEEE double precision)

公式 id

num.unit_roundoff · equations.yaml 条目

本站要求同一公式的 TypeScript 计算结果与 Python 计算结果相差在十亿分之一以内。这是单位舍入误差的数百万倍，因此只要计算过程不像相消（cancellation）即几乎相等的两数相减那样放大误差 [Higham 2002, Sec. 1.7]，舍入就能通过；同时它又远低于任何真正的错误，例如常数错误或漏掉一个因子。仿真与其公式比较时采用较宽松的容差，因为公式把电路理想化了：它假定纹波很小 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 2]，而 SPICE 库中的开关管和二极管只是接近理想。SPICE 库的各个值与理想公式之差必须在 1 % 以内（以各物理量在一个周期内的最大绝对值为基准），浏览器内仿真器的电压变换比和纹波则须在 2 % 以内。

用另一个求解器校验

scripts/spice_crosscheck.py 根据电路原理图，而不是仿真器的方程，把浏览器内仿真器的电路重新写成网表，并在 ngspice 中运行 [ngspice – open source SPICE simulator]。CI 将仿真器与 ngspice 的结果比较：每个值之差都不得超过该物理量在一个周期内最大绝对值的 0.5 %，并为 SPICE 元件引入的影响留出少量余量；每个峰峰值摆幅之差须在 2 % 以内。

例题

将仿真所得的电压变换比与理想值比较，并计算 binary64，即 JavaScript 的数值和 Python 的 float 所采用的 IEEE 754 双精度的单位舍入误差：

交叉校验示例

符号	数值	求法
$x$ 被检验的值	0.496	已知
$x_\mathrm{ref}$ 参考值	0.5	已知
$\beta$ 基数（二进制为 2）	2	已知
$p$ 精度（尾数位数）	53	已知
$\delta$ 相对差	0.008	数值相对于参考值的相对差
$u$ 单位舍入误差（unit roundoff）	1.11e-16	浮点格式的单位舍入误差

该变换比与理想值相差 0.008，在库的 1 % 以内。单位舍入误差为 1.11e-16：十亿分之一的容差可以容纳数百万次舍入。

动手试试

▶ 在公式浏览器中打开：数值相对于参考值的相对差
预设取自例题 num-parity

扫描被测值：相对差在参考值两侧线性增大，只在参考值本身处为零。

实验练习

在实验台上用万用表测量变换器的输入电压和输出电压，用 Python 计算两者之比相对于理想值的相对差，并列出可能造成这一差异的因素：二极管压降、开关管和绕组的电阻、纹波。然后改变负载，观察其中哪些因素随电流增大。

易错点

• 参考值接近零时，相对差失去意义；应像库的检查那样，与一个尺度比较，例如该物理量在一个周期内的最大值。
• 共用代码的两种实现也共有其中的错误。生成的求值函数即使在源文件出错的地方，也会与该文件一致。
• 浮点数（floating-point）不作相等比较。在 binary64 中，0.1 + 0.1 + 0.1 不等于 0.3：应在容差范围内比较（单位舍入误差）。

延伸阅读

• 工具 SymPy: Solve Equations — the SymPy development team · 访问于 2026-09-25
  SymPy 如何针对某个符号求解方程或方程组；本站的推导脚本就是这样求解平衡方程的。
• 技术文章 Floating-Point Arithmetic: Issues and Limitations — the Python documentation (the tutorial) · 访问于 2026-09-25
  为什么在计算机中 0.1 + 0.1 + 0.1 不等于 0.3，为什么每次运算都可能引入最多 2**53 分之一的舍入误差，以及为什么比较结果时看其是否在容差之内，而不是看是否相等。

测验

1. 本站显示的公式来自哪里？

   1. 手工输入到各页面中的 LaTeX
   2. equations.yaml 中的一个条目：附有符号、测试和引用的 SymPy 表达式
   3. TypeScript 引擎
   4. 测验文件
   答案与解析

   正确答案：B 生成器根据该条目生成 LaTeX 和测试向量；若已提交的文件与生成结果不同，CI 就会失败。

2. 为什么 TypeScript 求值函数是手工编写的，而不是从 equations.yaml 生成的？

   1. 为了使一方的错误不会被复制到另一方：两个独立的实现必须彼此一致
   2. 因为 TypeScript 无法读取 YAML
   3. 为了让页面加载得更快
   4. 因为 SymPy 无法进行数值计算
   答案与解析

   正确答案：A 生成的代码即使在源文件出错的地方也会与之一致；独立的实现则必须凭自身与测试向量一致。

3. 将仿真得到的电压变换比 0.495 与理想值 0.5 比较。相对差是多少？

   1. 0.5 %
   2. 0.005 %
   3. 10 %
   4. 1 %
   答案与解析

   正确答案：D 差值 0.005 除以参考值 0.5 得 0.01，即 1 %。

4. binary64 的单位舍入误差约为 1.1e-16。为什么一致性检查的容差是十亿分之一，而不是单位舍入误差？

   1. 因为 JavaScript 的精度低于 Python
   2. 两个正确的计算在每次运算中的舍入不同，结果可能相差若干个单位舍入误差；十亿分之一既为此留出余地，又仍能发现真正的错误
   3. 因为公式只精确到十亿分之一
   4. 因为 YAML 无法存放更小的数
   答案与解析

   正确答案：B 十亿分之一是单位舍入误差的数百万倍，因此在不放大舍入误差的计算中，舍入能够通过；而错误的常数或因子造成的差异要大得多。

5. 为什么参考值接近零时相对差会失效？

   1. 除以接近零的参考值，会使极小的绝对差看起来很大
   2. 因为零没有单位
   3. 因为在那里它总是为零
   4. 不会失效
   答案与解析

   正确答案：A 在这种情况下，应像库的检查那样，与一个尺度比较，例如该物理量在一个周期内的最大值。

6. 在 Python 中，0.1 + 0.1 + 0.1 == 0.3 的计算结果是：

   1. True
   2. 报错
   3. False：其和被舍入为一个不同于 0.3 的双精度数
   4. 仅在某些计算机上为 True
   答案与解析

   正确答案：C 0.1 无法用二进制精确表示，三者之和经舍入后为 0.30000000000000004，是与 0.3 相邻的双精度数；应在容差范围内比较。