小信号模型

目标

• 解释什么是小信号模型（small-signal model），以及它在什么条件下有效。
• 描述降压（buck）变换器的控制-输出传递函数（control-to-output transfer function）：直流增益（dc gain）、二重极点（double pole）和品质因数（quality factor）。
• 由电路参数计算 $G_{d0}$、$\omega_0$ 和 $Q$，并预测谐振峰（resonant peak）。

理论

扰动（perturbation）与线性化（linearization）

由于占空比（duty ratio）与电压、电流相乘，变换器的平均模型（averaged model）是非线性的。要设计反馈环路，就需要知道它对工作点（operating point）附近小变化的响应。每个量都写成其直流值加上一个小的交流变化量：例如，占空比写成 $D$ 加 $\hat{d}(t)$。两个交流变化量的乘积被略去。剩下的是一个线性电路，即小信号模型，它在变化量远小于直流值、频率远低于开关频率（switching frequency）时有效 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 7]。

降压变换器的控制-输出传递函数

在降压变换器中，占空比直接作用于开关节点电压，该电压随后由 L-C 滤波器和负载滤波。因此，从 $\hat{d}$ 到输出电压变化量的控制-输出传递函数 $G_{vd}(s)$ 是一个直流增益后接一个二阶低通（low-pass）响应：一对位于滤波器谐振角频率（resonant angular frequency）$\omega_0$ 处的极点，其品质因数 $Q$ 由负载决定 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8]。直流增益就是静态特性（static characteristic）的斜率：

$$G_{d0} = V_g$$

$G_{d0}$

控制-输出直流增益

$V_g$

输入电压

降压变换器控制-输出直流增益，CCM✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 理想（无损）开关器件与无源元件
• 连续导通模式（CCM）
• CCM 工作点附近的小信号（线性化）模型
• 电阻负载 R

备注

等于静态特性的 $\partial V/\partial D$

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8 (Converter Transfer Functions)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

buck.ss.Gd0 · equations.yaml 条目

$$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L C}}$$

$\omega_0$

LC 转折角频率（rad/s）

$C$

电容（输出电容）

$L$

电感

降压变换器：LC 极点的角频率✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 理想（无损）开关器件与无源元件
• 连续导通模式（CCM）
• CCM 工作点附近的小信号（线性化）模型
• 电阻负载 R

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8 (Converter Transfer Functions)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

buck.ss.w0 · equations.yaml 条目

$$Q = R \sqrt{\frac{C}{L}}$$

$Q$

品质因数（quality factor）

$C$

电容（输出电容）

$L$

电感

$R$

负载电阻

降压变换器：LC 极点的品质因数✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 理想（无损）开关器件与无源元件
• 连续导通模式（CCM）
• CCM 工作点附近的小信号（线性化）模型
• 电阻负载 R

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8 (Converter Transfer Functions)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

buck.ss.Q · equations.yaml 条目

由平均电路（averaged circuit）推导这三个量的过程见推导页面。

解读伯德图（Bode plot）

在远低于 $\omega_0$ 处，幅值平坦地保持为 $G_{d0}$，相位接近零。在 $\omega_0$ 处，幅值恰好是直流增益的 $Q$ 倍，相位已下降 90°；在 $\omega_0$ 以上，幅值与频率的平方成反比地下降，相位趋近 −180° [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8]。轻载（light load，$R$ 较大）时 $Q$ 较高：谐振峰高而窄，相位变化陡峭，反馈环路必须适应这一点。以赫兹表示时，将 $\omega_0$ 除以 $2\pi$。

例题

前面各页的降压变换器示例，这次作为小信号系统来看：

降压变换器示例

符号	数值	求法
$V_g$ 输入电压	24 V	已知
$L$ 电感	100 µH	已知
$C$ 电容（输出电容）	10 µF	已知
$R$ 负载电阻	10 Ω	已知
$G_{d0}$ 控制-输出直流增益	24 V	降压变换器控制-输出直流增益，CCM
$\omega_0$ LC 转折角频率（rad/s）	31.6 krad/s	降压变换器：LC 极点的角频率
$Q$ 品质因数（quality factor）	3.16	降压变换器：LC 极点的品质因数

直流增益等于输入电压，即每单位占空比 24 V。极点位于 31.6 krad/s，由于 $Q$ = 3.16，该频率处的幅值等于直流增益乘以这个值。

动手试试

▶ 在公式浏览器中打开：降压变换器：LC 极点的品质因数
预设取自例题 buck-basic

以对数坐标在几个数量级的范围内扫描（sweep）$R$：$Q$ 与负载电阻（load resistance）成正比地增大，因此谐振峰在轻载时最高。

实验练习

用频率响应分析仪（frequency response analyzer, FRA）向开环（open-loop）降压变换器的 PWM 调制器（PWM modulator）控制输入注入一个小的正弦（sinusoidal）变化量，并测量输出电压变化量与控制输入变化量之比随频率的变化。找出谐振峰，并将其频率与 $\omega_0/(2\pi)$ 比较。在更轻的负载下重复，确认峰值增大而其频率不变。注入幅值要足够小，使其减半时响应不变。

易错点

• 实际元件会对谐振产生阻尼（damping）。理想模型中除负载外没有任何损耗。绕组电阻（winding resistance）和电容串联电阻会降低 $Q$，而且电容的串联电阻会引入一个零点（zero）：电容的阻抗是 $1/(sC)$ 加上该电阻。
• 该模型只在远低于开关频率时有效，并且只适用于小变化量 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 7]。在 $f_s$ 附近，平均模型不再能描述电路。
• DCM 会改变传递函数。在 DCM 下，电感电流不再把状态从一个周期带到下一个周期，L-C 谐振从低频响应中消失 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 15]。

延伸阅读

• 图书章节 AC Equivalent Circuit Modeling (Ch. 7) — R. W. Erickson, D. Maksimović · 访问于 2026-09-23
  变换器方程的平均、扰动与线性化，以及 PWM 调制器的小信号模型。
• 图书章节 Converter Transfer Functions (Ch. 8) — R. W. Erickson, D. Maksimović · 访问于 2026-09-23
  控制-输出传递函数的伯德图，包括升压和升降压变换器的右半平面零点。
• 课程 Converter Control — University of Colorado Boulder (Coursera) · 访问于 2026-09-23
  平均小信号模型、变换器传递函数与反馈环路设计。

测验

1. 为什么在用传递函数设计反馈环路之前，必须先把变换器的平均模型线性化？

   1. 因为占空比与电压、电流相乘，使平均模型成为非线性的
   2. 因为开关是理想的
   3. 因为电感电流是断续的
   4. 因为开关频率太高
   答案与解析

   正确答案：A 传递函数描述的是线性系统。占空比乘以输入电压这样的乘积是非线性的；把每个量写成直流值加小变化量，并略去变化量之间的乘积，就得到工作点附近的线性模型。

2. 输入为 $24\,\mathrm{V}$ 的理想 CCM 降压变换器，其控制-输出直流增益 $G_{d0}$ 是多少？

   1. $12\,\mathrm{V}$
   2. $24\,\mathrm{V}$
   3. $48\,\mathrm{V}$
   4. 取决于负载
   答案与解析

   正确答案：B 静态特性为 $D V_g$，它对 $D$ 的斜率是 $V_g$。该增益的单位是伏每单位占空比，在理想模型中与负载无关。

3. 一个降压变换器滤波器的 $L = 100\,\mu\mathrm{H}$，$C = 100\,\mu\mathrm{F}$。$\omega_0$ 是多少？

   1. $1\,\mathrm{krad/s}$
   2. $10\,\mathrm{krad/s}$
   3. $100\,\mathrm{krad/s}$
   4. $1\,\mathrm{Mrad/s}$
   答案与解析

   正确答案：B 乘积 $L C$ 为 $10^{-8}\,\mathrm{s}^2$，其平方根为 $10^{-4}\,\mathrm{s}$，因此 $\omega_0$ 为 $10^{4}\,\mathrm{rad/s}$。

4. 降压变换器的负载电阻加倍。其控制-输出极点的 $Q$ 如何变化？

   1. 减半
   2. 不变
   3. 加倍
   4. 变为四倍
   答案与解析

   正确答案：C $Q$ 为 $R\sqrt{C/L}$，与 $R$ 成正比。负载越轻，对 L-C 谐振的阻尼越小，因此谐振峰增大。

5. 在谐振角频率 $\omega_0$ 处，二阶控制-输出响应的幅值有多大？

   1. 等于直流增益
   2. 直流增益的 $Q$ 倍
   3. 直流增益除以 $Q$
   4. 零
   答案与解析

   正确答案：B 在 $\omega_0$ 处，分母的常数项与 $s^2$ 项相互抵消，只剩下 $j/Q$；幅值是直流增益的 $Q$ 倍，相位为 $-90^\circ$。

6. 小信号模型对哪些扰动有效？

   1. 任意大小、任意频率
   2. 远小于直流值的变化量，且频率远低于开关频率
   3. 仅在开关频率处
   4. 仅在 DCM 下
   答案与解析

   正确答案：B 线性化要求变化量很小；平均化要求所关心的频率远低于开关频率。