CCM 与 DCM

目标

• 解释第二个开关为二极管时，断续导通模式（discontinuous conduction mode, DCM）为何在轻载（light load）下出现。
• 计算降压（buck）、升压（boost）和升降压（buck-boost）变换器的二极管导通区间（diode-conduction interval）和 DCM 电压变换比（conversion ratio）。
• 根据示波器上的波形识别 DCM。

理论

DCM 的成因

在基本变换器中，第二个开关是二极管，它只能单向导通。电感电流是直流值加上三角波纹波。负载变轻时，直流值减小，但纹波不变：在 CCM 下，纹波只取决于所加的电压、$L$ 和 $T_s$。一旦纹波的谷值降到零，二极管就会在周期结束前停止导通，电感电流保持为零，直到开关管再次开通 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 5]。这时每个周期有三个子区间（subinterval）：开关管导通 $D T_s$，二极管导通 $D_2 T_s$，在剩余的 $D_3 T_s$ 内两者都不导通。这就是断续导通模式（DCM）。电感电流始终不降到零的通常情况，则是连续导通模式（continuous conduction mode, CCM）。

CCM 下、临界（boundary）$K = K_\mathrm{crit}$ 时以及 DCM 下的电感电流；DCM 下电流在 $DT_s$ 内上升，在 $D_2T_s$ 内降到零，并在 $D_3T_s$ 内保持为零。 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 5]

变换器工作在哪种模式，取决于无量纲参数（dimensionless parameter）K，以及它的临界值（critical value）；见参数 K 页面。

DCM 的分析

伏秒平衡（volt-second balance）和电荷平衡（charge balance）仍然成立，但有两点变化 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 5]：

1. 二极管导通区间 $D_2$ 是一个新的未知量，因此需要第二个方程。
2. 电感电流纹波与其直流值相比不再很小，因此不能对电感电流应用小纹波近似（small-ripple approximation）。电感电流的平均值要由实际的三角形波形计算。

对降压变换器，在开关管导通区间和二极管导通区间上应用伏秒平衡，可以用电压变换比表示二极管导通区间：

$$D_2 = \frac{D \left(1 - M\right)}{M}$$

$D_2$

二极管导通区间占比（DCM）

$D$

占空比（duty ratio）

$M$

电压变换比（conversion ratio）

DCM 降压变换器：二极管导通区间✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 理想（无损）开关器件与无源元件
• 断续导通模式（DCM）
• 周期稳态
• 小纹波近似（small-ripple approximation）

备注

空闲区间为 $D_3 = 1 - D - D_2$；$D_2 \le 1 - D$ 当且仅当 $M \ge D$ 时成立，因此 DCM 降压变换器总有 $M > D$

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 5 (The Discontinuous Conduction Mode)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

buck.dcm.D2 · equations.yaml 条目

接着由电荷平衡，令电感电流（一个从零开始、到零结束的三角形）的平均值等于负载电流。联立求解这两个条件，得到降压变换器的 DCM 电压变换比：

$$M = \frac{2}{1 + \sqrt{1 + \frac{4 K}{D^{2}}}}$$

$M$

电压变换比（conversion ratio）

$D$

占空比（duty ratio）

$K$

电感参数（CCM/DCM 判别）

降压变换器的电压变换比，DCM✓ 经 8 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 理想（无损）开关器件与无源元件
• 断续导通模式（DCM）
• 周期稳态
• 小纹波近似（small-ripple approximation）
• 电阻负载 R

约定

$M = V/V_g$；在 $K < K_\mathrm{crit} = 1 - D$ 时成立

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 5 (The Discontinuous Conduction Mode)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

buck.dcm.M · equations.yaml 条目

升压和升降压变换器按同样的步骤求解，只是令二极管电流的平均值等于负载电流：

$$M = \frac{1 + \sqrt{1 + \frac{4 D^{2}}{K}}}{2}$$

$M$

电压变换比（conversion ratio）

$D$

占空比（duty ratio）

$K$

电感参数（CCM/DCM 判别）

升压变换器的电压变换比，DCM✓ 经 8 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 理想（无损）开关器件与无源元件
• 断续导通模式（DCM）
• 周期稳态
• 小纹波近似（small-ripple approximation）
• 电阻负载 R

约定

$M = V/V_g$；在 $K < K_\mathrm{crit} = D(1 - D)^2$ 时成立

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 5 (The Discontinuous Conduction Mode)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

boost.dcm.M · equations.yaml 条目

$$M = - \frac{D}{\sqrt{K}}$$

$M$

电压变换比（conversion ratio）

$D$

占空比（duty ratio）

$K$

电感参数（CCM/DCM 判别）

升降压变换器的电压变换比，DCM✓ 经 8 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 理想（无损）开关器件与无源元件
• 断续导通模式（DCM）
• 周期稳态
• 小纹波近似（small-ripple approximation）
• 电阻负载 R

约定

$M = V/V_g < 0$（反相）；在 $K < K_\mathrm{crit} = (1 - D)^2$ 时成立

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 5 (The Discontinuous Conduction Mode)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

buckboost.dcm.M · equations.yaml 条目

逐步推导见推导页面。

DCM 下的变化

• 电压变换比随负载变化。在 CCM 下，$M$ 只是 $D$ 的函数；在 DCM 下，它还取决于 $K$，因而取决于 $R$。去掉负载时，$K$ 趋于零：降压变换器的输出升向 $V_g$，升压和升降压变换器的输出则无限升高。因此，开环（open-loop）变换器绝不能空载运行。
• 电感峰值电流不再取决于负载。每个周期都从零电流开始，因此峰值由 $D T_s$ 期间所加的电压、$L$ 和 $T_s$ 决定。
• 空闲区间（idle interval）内开关节点发生振铃（ringing）。实际的开关节点存在来自开关管和二极管的电容。电感电流降到零时，这一电容与电感构成一个弱阻尼（lightly damped）的 L-C 电路，其振铃频率为

$$f_\mathrm{ring} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L_M C_\mathrm{node}}}$$

$f_\mathrm{ring}$

振铃频率

$C_\mathrm{node}$

开关节点电容

$L_M$

励磁电感（magnetizing inductance），折算到一次侧

DCM 空闲区间内开关节点的振铃频率✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 无阻尼 L-C 谐振

备注

二极管电流降到零后，$L_M$ 与开关节点电容发生振铃

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 8 (Converter Transfer Functions: resonant frequency of an L-C pair)

推导

sympy 逐步推导

公式 id

dcm.ring.f · equations.yaml 条目

例题

开关变换原理页面中的降压变换器示例，这次负载减轻为原来的十分之一：

轻载降压变换器示例

符号	数值	求法
$V_g$ 输入电压	24 V	已知
$D$ 占空比（duty ratio）	0.5	已知
$f_s$ 开关频率	100 kHz	已知
$L$ 电感	100 µH	已知
$R$ 负载电阻	100 Ω	已知
$C$ 电容（输出电容）	10 µF	已知
$T_s$ 开关周期	10 µs	开关周期
$K$ 电感参数（CCM/DCM 判别）	0.2	无量纲电感参数 K
$K_\mathrm{crit}$ CCM/DCM 临界处的 K	0.5	降压变换器的临界 K
$L_\mathrm{crit}$ 临界电感（CCM/DCM 临界）	250 µH	CCM/DCM 临界电感
${M}_{\mathrm{ccm}}$ 电压变换比（conversion ratio）	0.5	降压（buck）变换器的电压变换比，CCM
${M}_{\mathrm{dcm}}$ 电压变换比（conversion ratio）	0.656	降压变换器的电压变换比，DCM
$D_2$ 二极管导通区间占比（DCM）	0.262	DCM 降压变换器：二极管导通区间
${V}_{\mathrm{dcm}}$ 输出电压	15.7 V	由电压变换比求输出电压

工作模式：DCM（$K > K_\mathrm{crit}$：不成立）

按 CCM 公式，输出电压变换比应为 0.5。在 DCM 下，变换比为 0.656，因此输出为 15.7 V，而不是输入的一半。二极管导通时间占周期的 0.262；加上开关管的 0.5，周期中还剩下一段空闲区间。

动手试试

▶ 在公式浏览器中打开：降压变换器的电压变换比，DCM
预设取自例题 buck-light-load

▶ 在仿真器中打开：降压
预设取自例题 buck-light-load

以对数坐标在几个数量级的范围内扫描 $K$。$K$ 很小时，变换比趋近 1。随着 $K$ 增大，变换比减小，并恰好在 $K$ 达到 $K_\mathrm{crit}$ 处等于 CCM 值 $D$。超过这一点，变换器处于 CCM，这个公式不再适用，但公式浏览器仍会继续绘出它。

实验练习

取一个带二极管整流器（diode rectifier）的降压变换器，例如采用非同步（asynchronous）控制器并工作在固定频率模式的低压评估板（evaluation board），再准备一个阻值可调的电阻负载。逐渐减轻负载，同时用电流探头观察电感电流，用电压探头观察开关节点。记下电流首次触及零时的负载、空闲区间的出现，以及空闲区间内开关节点上的振铃。检查在占空比（duty ratio）保持不变时，输出电压是否随负载减轻而升高。

易错点

• 同步整流（synchronous rectification）消除了 DCM。DCM 的产生是因为二极管不能流过反向电流。与主开关管互补（complementary）驱动的晶体管可以双向导通，因此轻载时电感电流只是变为负值，变换器保持在 CCM [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 5]。
• “轻载”是相对的。一个负载算不算轻，不仅取决于 $R$，还取决于 $L$、$T_s$ 和 $D$；应将 $K$ 与 $K_\mathrm{crit}$ 比较。
• 不要在 DCM 下使用 CCM 公式。电流一旦降到零，纹波、峰值电流和电压变换比都遵循不同的表达式。

延伸阅读

• 图书章节 The Discontinuous Conduction Mode (Ch. 5) — R. W. Erickson, D. Maksimović · 访问于 2026-09-23
  DCM 的成因、以 K 和 K_crit 表示的临界条件，以及用电荷平衡推导出的 DCM 电压变换比。
• 课程 Converter Circuits — University of Colorado Boulder (Coursera) · 访问于 2026-09-23
  DCM 分析与隔离型变换器电路，沿用同一本教材。
• 应用笔记 Understanding Buck Power Stages in Switchmode Power Supplies (SLVA057) — E. Rogers, Texas Instruments · 访问于 2026-09-23
  降压功率级在 CCM 和 DCM 下的稳态与小信号分析，以及对元件的要求。

测验

1. 带二极管整流器的降压变换器为什么在轻载时进入 DCM？

   1. 轻载时开关频率降低
   2. 电感直流电流减小而纹波不变，因此电流降到零，而二极管不能让电流变为负值
   3. 占空比变得大于 0.5
   4. 输出电容完全放电
   答案与解析

   正确答案：B 在 CCM 下，纹波只取决于所加的电压、$L$ 和 $T_s$，与负载无关。当直流电流低于纹波峰峰值的一半时，谷值本应为负；二极管阻断反向电流，因此电流在周期的剩余时间内保持为零。

2. 在 DCM 下，对电感电流必须放弃 CCM 分析中所用的哪个假设？

   1. 伏秒平衡
   2. 电荷平衡
   3. 小纹波近似
   4. 周期稳态
   答案与解析

   正确答案：C 在 DCM 下，纹波与电流本身一样大，因此不能用直流值代替电感电流。电路仍处于周期稳态，所以平衡条件仍然成立。

3. 增大一个工作在 DCM 的开环降压变换器的负载电阻。占空比固定时，输出电压如何变化？

   1. 升高，趋向输入电压
   2. 保持为 $D V_g$
   3. 降低，趋向零
   4. 以开关频率振荡
   答案与解析

   正确答案：A 增大 $R$ 会使 $K$ 减小，而 $K$ 趋于零时，DCM 变换比升向 1。只有在 CCM 下，变换比才仅由 $D$ 决定。

4. 一个降压变换器工作在 $D = 0.5$，测得输出为输入的 $0.7$ 倍。可以得出什么结论？

   1. 变换器工作在 CCM，电感有损耗
   2. 占空比测量有误
   3. 变换器工作在 DCM
   4. 变换器工作在 CCM 且空载
   答案与解析

   正确答案：C 在 CCM 下，理想降压变换器的变换比恰好为 $D$，损耗只会降低变换比。变换比高于 $D$，说明电感电流降到了零：变换器处于 DCM，此时 $M > D$。

5. 在 DCM 变换器中，空闲区间内开关节点上的振铃是由什么引起的？

   1. 开关管开通时二极管的反向恢复
   2. 电感电流降到零后，电感与开关节点的电容发生谐振
   3. 输出电容与其 ESR 的谐振
   4. 控制环路的噪声
   答案与解析

   正确答案：B 开关管和二极管都关断时，电感与开关节点电容构成一个弱阻尼的 L-C 电路，以其谐振频率 $1/(2\pi\sqrt{L C})$ 振铃。

6. 把降压变换器的二极管换成与主开关管互补驱动的晶体管。轻载时会怎样？

   1. 变换器更早进入 DCM
   2. 变换器保持在 CCM：电感电流只是在周期的一部分时间内变为负值
   3. 输出电压升向输入电压
   4. 开关频率减半
   答案与解析

   正确答案：B DCM 之所以存在，是因为二极管不能反向导通。同步整流管可以双向导通，因此电流反向而不是停止，CCM 的关系式继续成立。