绕组损耗：集肤效应与邻近效应

目标

• 解释单根导体中的集肤效应（skin effect），以及绕组各层（layer）之间的邻近效应（proximity effect）。
• 用 Dowell 系数（Dowell’s factor）估算多层绕组的交流电阻（ac resistance），对薄层则用其级数（series）估算。
• 在了解层越厚损耗可能越大的前提下，选择层厚和层数。

理论

集肤效应

交流电流向导体表面集中：每深入导体一个集肤深度（skin depth），电流密度就减小到原来的 $e$ 分之一（集肤深度）[Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10]。远厚于一个集肤深度的导体只在表层中流过电流，其电阻比直流时高。

邻近效应

在多层绕组中，每一层都处于相邻各层的磁场中，该磁场在这一层中感应出涡流（eddy current）。涡流损耗叠加在该层自身电流的损耗之上，并随层数增加而迅速增大 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10]。

Dowell 系数

Dowell 把每一层视为横跨窗口宽度的铜箔（foil），并认为穿过各层的磁场是一维的 [Dowell 1966]。于是交流电阻与直流电阻之比（Dowell 系数）取决于从磁动势（magnetomotive force, MMF）为零处到其峰值处的层数 $M_\ell$，以及以集肤深度计的层厚：

$$\varphi = \frac{h}{\delta}$$

$\varphi$

层厚与集肤深度之比

$\delta$

集肤深度（skin depth）

$h$

导体层厚度

以集肤深度计的铜箔厚度✓ 经 7 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 定义

备注

对于圆导线，`wind.phi_round` 给出等效铜箔的 $\varphi$

出处

Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10 (Basic Magnetics Theory: eddy currents in winding conductors)

公式 id

wind.phi_foil · equations.yaml 条目

由圆导线（round wire）绕成的一层用等效铜箔代替（层的孔隙率、圆导线等效为铜箔）[Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10]。

薄层

对于厚度不超过约一个集肤深度的层，取 Dowell 系数级数的前几项 [Dowell 1966] 就已足够。这几项在此推导，其结果至多比该系数高约 4 %：

$$F_R \approx 1 + \frac{\left(5 M_\ell^{2} - 1\right) \varphi^{4}}{45}$$

$F_R$

交流电阻系数（ac resistance factor）

$M_\ell$

从零到峰值磁动势的层数

$\varphi$

层厚与集肤深度之比

薄层的交流电阻系数（Dowell 系数的级数）✓ 经 8 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 占满绕组宽度的铜箔（foil）层、正弦电流以及窗口内的一维磁场
• 与集肤深度相比很薄的层（φ 约不超过 1）：取 Dowell 系数的前几项

备注

Dowell 系数按 $\varphi$ 的幂展开的前几项：附加损耗随 $\varphi^4$ 增长，并通过邻近效应随 $M_\ell^2$ 增长。$\varphi \le 1$ 时，其值比精确系数最多高约 4 %

出处

Dowell 1966, the one-dimensional model of foil layers whose factor this series expands; Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10 (Basic Magnetics Theory: eddy currents in winding conductors); derived here as the series of Dowell's factor

推导

sympy 逐步推导

公式 id

wind.dowell_low · equations.yaml 条目

电阻超出直流值的部分与层厚的四次方和层数的平方成正比。

损耗最小的层厚

频率给定时，集肤深度是固定的。层越厚，直流电阻越低，但 $F_R$ 越大。以厚一个集肤深度、以直流形式流过同一电流的层为基准，损耗为：

$$P/P_\delta = \frac{F_R}{\varphi}$$

$P/P_\delta$

损耗与厚一个集肤深度的层的直流损耗之比

$F_R$

交流电阻系数（ac resistance factor）

$\varphi$

层厚与集肤深度之比

给定频率下绕组层的损耗与层厚的关系✓ 经 8 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 占满绕组宽度的铜箔（foil）层、正弦电流以及窗口内的一维磁场
• 层的宽度和匝数固定，因此层的直流电阻与其厚度成反比

备注

相对于厚度为一个集肤深度、以直流流过相同电流的层的损耗：层越厚，直流电阻（$1/\varphi$）越小，$F_R$ 越大

出处

Dowell 1966; Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10 (Basic Magnetics Theory: eddy currents in winding conductors); derived here

推导

sympy 逐步推导

公式 id

wind.loss_rel · equations.yaml 条目

采用薄层的级数，损耗在以下厚度处最小：

$$\varphi_\mathrm{opt} \approx \left(\frac{15}{5 M_\ell^{2} - 1}\right)^{\frac{1}{4}}$$

$\varphi_\mathrm{opt}$

损耗最小的层厚（以集肤深度计）

$M_\ell$

从零到峰值磁动势的层数

损耗最小的层厚✓ 经 8 项测试验证

假设、约定与出处

假设

• 占满绕组宽度的铜箔（foil）层、正弦电流以及窗口内的一维磁场
• 与集肤深度相比很薄的层（φ 约不超过 1）：取 Dowell 系数的前几项
• 层的宽度和匝数固定，因此层的直流电阻与其厚度成反比

备注

给定频率下，层越厚，直流电阻越小，但 $F_R$ 越大；二者之积即损耗，在该厚度处最小，此时 $F_R = 4/3$。层数越多，最佳层越薄。由 Dowell 系数的级数得出：两层及以上时与精确最优值相差在 2 % 以内；单层时精确最优值为 $\varphi = \pi/2$

出处

Dowell 1966; Hurley et al. 2000, the optimum layer thickness, for any periodic current waveform; derived here for a sinusoidal current

推导

sympy 逐步推导

公式 id

wind.phi_opt · equations.yaml 条目

在该处，无论层数多少，$F_R = 4/3$。层数越多，最佳层厚越薄。Hurley、Gath 和 Breslin 根据电流及其导数的有效值，给出了适用于任意周期电流的最优值 [Hurley et al. 2000]。

变换器中的电流

变换器的绕组电流不是正弦的。其直流分量对应直流电阻，各次谐波（harmonic）对应各自频率下的 Dowell 系数；损耗为各次谐波损耗之和 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10]。纹波小的电感主要流过直流，因此 $F_R$ 影响不大。反激变压器的绕组流过脉冲电流，其谐波很大。

交错绕制（interleaving）

把变压器的一次绕组分成两半，将二次绕组置于两半之间，可以降低窗口中的峰值磁动势以及从零磁动势到峰值磁动势的层数，从而降低邻近效应损耗 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10]。它还能减小漏感（见漏感）。

例题

一个示例铜箔绕组，从零磁动势到峰值磁动势共三层：

铜箔绕组示例

符号	数值	求法
$\rho_{20}$ 20 °C 时的电阻率（resistivity）	17.2 nΩ·m	已知
$\alpha_{20}$ 20 °C 时的电阻温度系数（temperature coefficient）	0.00393 1/K	已知
$T_w$ 绕组温度	100 °C	已知
$f$ 频率	100 kHz	已知
$h$ 导体层厚度	0.3 mm	已知
$M_\ell$ 从零到峰值磁动势的层数	3	已知
$\rho_w$ 导体电阻率（resistivity）	22.7 nΩ·m	导体在给定温度下的电阻率
$\delta$ 集肤深度（skin depth）	0.24 mm	导体的集肤深度
$\varphi$ 层厚与集肤深度之比	1.25	以集肤深度计的铜箔厚度
$F_R$ 交流电阻系数（ac resistance factor）	3.19	铜箔绕组的交流电阻系数（Dowell）
${F_R}_{\mathrm{low}}$ 交流电阻系数（ac resistance factor）	3.4	薄层的交流电阻系数（Dowell 系数的级数）
$P/P_\delta$ 损耗与厚一个集肤深度的层的直流损耗之比	2.55	给定频率下绕组层的损耗与层厚的关系
$\varphi_\mathrm{opt}$ 损耗最小的层厚（以集肤深度计）	0.764	损耗最小的层厚
${F_R}_{\mathrm{opt}}$ 交流电阻系数（ac resistance factor）	1.33	铜箔绕组的交流电阻系数（Dowell）
${P/P_\delta}_{\mathrm{opt}}$ 损耗与厚一个集肤深度的层的直流损耗之比	1.74	给定频率下绕组层的损耗与层厚的关系

在 100 kHz 和 100 °C 下，铜的集肤深度为 0.24 mm，因此 0.3 mm 厚的铜箔相当于 1.25 个集肤深度。三层时 $F_R$ 为 3.19。级数给出 3.4：偏高，因为铜箔比一个集肤深度厚。三层时，损耗在 0.764 个集肤深度处最小，此时该系数为 1.33。相对损耗从 2.55 降到 1.74：较薄的铜箔尽管直流电阻更高，损耗却更小。

动手试试

▶ 在公式浏览器中打开：铜箔绕组的交流电阻系数（Dowell）
预设取自例题 dowell-foil

扫描（sweep）$\varphi$：按例题的三层，该系数在约半个集肤深度以内保持接近 1，在一个集肤深度处已接近翻倍，超过后急剧上升。将 $M_\ell$ 从 3 改为 1 和 6 并比较。

实验练习

将二次绕组短路，从低频到开关频率的几倍、并在远低于自谐振（self-resonance）的范围内，测量变压器一次绕组的串联电阻（见磁性元件的测量）。此时二次电流与一次电流方向相反，与工作时一样，读数同时包含两个绕组：一次绕组电阻加上二次绕组电阻除以匝比的平方。在低频端，短路绕组已承担电流（见磁性元件的测量），而两个电阻都还没有开始增大，此时的读数就是按上述方式合成的两个直流电阻。应除以这个值，而不是只除以一次绕组的直流电阻；然后将读数的增长与两个绕组的 Dowell 系数比较，各系数按各自的层数计算，并按各绕组在该值中所占的份额加权。

易错点

• 铜用得多，损耗可能反而大。超过损耗最小的厚度后，更厚的铜箔或更粗的导线会增大开关频率下的损耗。
• 层数从磁动势为零处算起。$M_\ell$ 是从磁动势为零的位置到峰值处的层数；交错绕制使其减半 [Erickson & Maksimović 2020, Ch. 10]。
• 气隙附近的磁场不是一维的。Dowell 系数假设窗口内的磁场是一维的（Dowell 系数），但磁通在气隙周围形成边缘磁通（fringing）[Dixon 2001]。对于靠近气隙的匝，其损耗估算不成立。

延伸阅读

• 图书章节 Basic Magnetics Theory (Ch. 10) — R. W. Erickson, D. Maksimović · 访问于 2026-09-23
  磁路、含励磁电感和漏感的变压器模型，以及磁芯损耗和绕组损耗的机理。
• 课程 Magnetics for Power Electronic Converters — University of Colorado Boulder (Coursera) · 访问于 2026-09-23
  磁路、磁芯损耗与绕组损耗，以及电感与变压器设计。
• 图书 Magnetics Design Handbook (SLUP132) — L. H. Dixon, Texas Instruments (Unitrode) · 访问于 2026-09-23
  Lloyd Dixon 的磁性元件设计手册，由 TI 根据 2001 年的 Unitrode 版本重新发布。ti.com 上的副本需要用免费的 myTI 账户登录。

测验

1. 什么是邻近效应？

   1. 单根导体中电流向表面集中
   2. 相邻匝之间的电容
   3. 其他各层的磁场在某一层中感应出的涡流
   4. 绕组附近的磁芯损耗
   答案与解析

   正确答案：C 绕组的每一层都处于相邻各层的磁场中；该磁场感应出的涡流会增加损耗，且损耗随层数迅速增大。

2. 某铜箔厚 0.3 mm，所关心频率下的集肤深度为 0.2 mm。以集肤深度计，该铜箔的厚度是多少？

   1. 1.5
   2. 0.67
   3. 0.06
   4. 3
   答案与解析

   正确答案：A 厚度除以集肤深度：0.3/0.2。

3. 层比一个集肤深度薄时，交流电阻超出直流值的部分如何随层厚增长？

   1. 与层厚成正比
   2. 与层厚的四次方成正比
   3. 与层厚的平方成正比
   4. 不增长
   答案与解析

   正确答案：B Dowell 系数的级数中，1 之后的第一项与 $\varphi^4$ 成正比。

4. 三层时，损耗在约 0.76 个集肤深度处最小。若层厚超过该值，损耗会怎样？

   1. 增大：交流电阻系数增长得比直流电阻下降得快
   2. 继续减小，因为直流电阻在下降
   3. 保持不变
   4. 降到直流损耗
   答案与解析

   正确答案：A 频率固定时，损耗与 $F_R/\varphi$ 成正比：超过最佳值后，$F_R$ 比 $\varphi$ 增长得快。

5. 按薄层级数，损耗最小的层厚处交流电阻系数是多少？

   1. 1
   2. 2
   3. 随层数增大
   4. 4/3，与层数无关
   答案与解析

   正确答案：D 在最佳值处，无论层数多少，四阶项都等于三分之一。

6. 变压器绕组的交错绕制如何降低邻近效应损耗？

   1. 缩短平均匝长
   2. 增大集肤深度
   3. 降低峰值磁动势，以及从零磁动势到峰值磁动势的层数
   4. 降低直流电阻
   答案与解析

   正确答案：C 把二次绕组置于一次绕组的两半之间，窗口中的峰值磁动势减半，决定邻近效应的层数也随之减半。