M4 · 设计 CCM 降压变换器电感

目标

• 由电感的设计指标求出其所需的磁芯几何常数（core geometrical constant）$K_g$，并选择磁芯。
• 在磁性元件设计工具中完成设计：满足磁通密度的最少匝数、得到所需电感量的气隙（air gap），以及能绕进窗口（window）且电阻不超出预算的绕组。
• 找出磁芯过小时最先不满足的约束，以及怎样才能使设计成立。

开始之前

• 阅读电感设计步骤和磁性元件设计工具。
• 了解设计指标从何而来：电感量和峰值电流来自变换器（降压变换器和变换器设计工具），$\Delta i$ 为纹波峰峰值的一半。

步骤

1. 设计指标

示例电感的 $L$ = 100 µH，峰值电流为 5 A，电流有效值（rms）为 4.5 A。其磁通密度最高可达 $B_\mathrm{max}$ = 300 mT，绕组最多可占窗口的 $K_u$ = 0.4，绕组电阻预算为 30 mΩ。

2. 所需的 K_g

求出设计指标所需的 $K_g$（所需的磁芯几何常数），计算时采用绕组温度下导线的电阻率（给定温度下的电阻率）；再求出电阻预算在电流有效值下允许的铜损（copper loss，导通损耗）。将两者填入下方。

3. 磁芯

将求得的 $K_g$ 与电感设计步骤例题中表列的磁芯比较，选取满足要求的最小磁芯。记下它超出所需值的幅度。

4. 匝数、气隙和窗口

用该磁芯打开磁性元件设计工具：

▶ 在磁性元件设计工具中打开：ETD 29 磁芯电感示例
预设取自例题 mag-kg

按最小截面 $A_\mathrm{min}$ 手工核对最少匝数（满足 B_max 的最少匝数）。然后读出该匝数下得到所需电感量的气隙（气隙长度）、绕组占窗口的比例，以及其直流电阻与预算的对比。

5. 较小的磁芯

将磁芯换成 E 25/13/7。找出最先不满足的一项：磁通密度所要求的匝数、窗口，还是电阻。然后只改变一项，即导线、预算或 $B_\mathrm{max}$，并说明这一改变的代价。

验收标准

• 示例电感所需的磁芯几何常数 $K_g$。
  你的数值（cm⁵）核对
  显示例题中的值

  0.05246 cm⁵（出自 kg-inductor：K_g 电感示例）

• 其电阻预算在电流有效值下允许的铜损。
  你的数值（W）核对
  显示例题中的值

  607.5 mW（出自 kg-inductor：K_g 电感示例）

• 表中满足该 $K_g$ 的最小磁芯，及其超出所需值的幅度。
• 设计工具中按 $A_\mathrm{min}$ 计算、满足 $B_\mathrm{max}$ 的最少匝数，并经手工核对。
• 该匝数下得到所需电感量的气隙、所占窗口不超过 $K_u$ 的绕组，以及不超出预算的绕组电阻。
• 在 E 25/13/7 磁芯上最先不满足的一项，以及能修正它的一处改动及其代价。

重置此任务

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易错点

• $B_\mathrm{max}$ 不是材料的饱和磁通密度。如磁性元件设计工具页面所述，它低于磁芯最高温度下的饱和磁通密度，并留有裕量。
• 匝数由最小截面处的磁通密度决定，那里的磁通密度最高，而不是由有效截面积 $A_e$ 处的磁通密度决定。
• 气隙估算忽略了边缘磁通（fringing）。要得到同样的电感量，实际气隙必须更长，这就是数据手册给出带气隙成套磁芯 $A_L$ 值的原因。
• 设计工具中的 $\Delta i$ 是纹波峰峰值的一半。输入完整摆幅会使磁通摆幅（flux swing）加倍，而由此预测的磁芯损耗按摆幅的幂次增长，增幅比这更大（单位体积磁芯损耗）。

延伸阅读

• 图书章节 Inductor Design (Ch. 11) — R. W. Erickson, D. Maksimović · 访问于 2026-09-24
  滤波电感必须满足的约束、将这些约束转化为磁芯尺寸的磁芯几何常数 K_g，以及逐步的设计流程。
• 课程 Magnetics for Power Electronic Converters — University of Colorado Boulder (Coursera) · 访问于 2026-09-23
  磁路、磁芯损耗与绕组损耗，以及电感与变压器设计。

测验

1. 将允许的磁通密度 $B_\mathrm{max}$ 加倍，其余不变。电感所需的 $K_g$ 如何变化？

   1. 减半
   2. 降为四分之一
   3. 加倍
   4. 不变
   答案与解析

   正确答案：B 所需的 $K_g$ 与 $B_\mathrm{max}$ 的平方成反比。

2. 为使铜损减半，将绕组的电阻预算减半。所需的 $K_g$ 如何变化？

   1. 减半
   2. 加倍
   3. 降为四分之一
   4. 不变
   答案与解析

   正确答案：B 所需的 $K_g$ 与允许的电阻成反比：电阻越小，需要的铜越多，窗口也越大。

3. 磁性元件设计工具为什么按磁芯的最小截面 $A_\mathrm{min}$ 计算最少匝数？

   1. 那里的磁通密度最高，磁芯最先在那里饱和
   2. 绕组位于那里
   3. 气隙位于那里
   4. 数据手册不给出其他截面积
   答案与解析

   正确答案：A 同一磁通穿过每个截面，因此面积最小处磁通密度最高。

4. 算出的最少匝数为 17.2。应绕多少匝？

   1. 17：匝数少，用铜少
   2. 18：向上取整使磁通密度保持在 $B_\mathrm{max}$ 以下
   3. 17.2，绕一个不完整的匝
   4. 15 到 20 之间的任意匝数
   答案与解析

   正确答案：B 在同一峰值电流下，匝数越多，磁通密度越低。向下取整会使其超过 $B_\mathrm{max}$。

5. 气隙估算忽略了边缘磁通。与估算值相比，实际得到该电感量的气隙如何？

   1. 更短
   2. 更长
   3. 相同
   4. 为零
   答案与解析

   正确答案：B 在气隙周围，磁通扩散到磁芯截面之外，因此实际气隙通过的磁通比估算所假设的多，必须更长。

6. 在纹波较小的 CCM 滤波电感中，磁通摆幅 $B_\mathrm{ac}$ 与峰值磁通密度相比如何？

   1. 只是其中一小部分
   2. 二者相等
   3. 是其两倍
   4. 为零
   答案与解析

   正确答案：A 磁通跟随电流变化。只有纹波这一占电流很小部分的分量在摆动，因此磁芯损耗很小，而峰值由直流电流决定。