在 ngspice 中运行网表

目标

以批处理模式（batch mode）运行库中的网表，并读取其测量结果。
理解积分方法（integration rule）对比其时间步长（time step）快得多的模态有何影响，以及为什么梯形法（trapezoidal rule）会在电路本身不振铃的地方产生振铃。
选择使开关波形可信的选项。

理论

运行网表

仓库的 sim/ngspice/ 文件夹以 ngspice 网表（netlist）的形式收录了每个变换器算例 [ngspice – open source SPICE simulator]。运行 ngspice -b buck-ccm.cir，它会打印最后一个周期的 .meas 结果：开关节点电压、电感电流（反激变换器中为一次电流）和输出电压的平均值、最大值和最小值。运行 ngspice buck-ccm.cir，再输入 run，即可绘制该文件夹的 README 中列出的波形。CI 会重新运行每个网表，要求每个值都在理想公式的 1 % 以内（以该物理量在一个周期内的最大绝对值为基准），并要求输出已稳定。

SPICE 如何逐步计算电路

SPICE 在一系列时间点（time point）上计算电路。它选取每一步的步长，使其对积分方法估计的误差保持在容差（tolerance）以内；除非网表另行设定，相对容差（relative tolerance）为 0.001 [The ngspice team, Ngspice User's Manual]。在两个时间点之间，每个电容和电感都遵循 .options method 所选的积分方法：未另行指定时为梯形法，也可以选择 Gear 法，它使用后向差分公式（backward differentiation formula），默认最高用到第二个 [The ngspice team, Ngspice User's Manual]。

积分方法对快速模态的作用

变换器电路中可能存在比时间步长快得多的模态，例如在二极管停止导通处。单步法（one-step rule），如梯形法或后向欧拉法（backward Euler），每一步都把这种模态的偏差乘以一个固定的放大因子。梯形法取每步两端斜率的平均值：

g_\mathrm{TR} = \frac{1 - \frac{\Delta t}{2 \tau}}{1 + \frac{\Delta t}{2 \tau}}

$g_\mathrm{TR}$: 梯形法的每步放大因子
$\Delta t$: 时间步长（time step）
$\tau$: 时间常数（time constant）

梯形法对衰减模态的每步放大因子✓ 经 8 项测试验证

假设、约定与出处

假设

单独一个衰减模态：其变化率等于偏差除以 tau 的负值（试验方程）
每一步的时间步长相同

备注

该方法取每步两端斜率的平均值。任意步长下其放大因子都在 -1 与 1 之间（该方法是 A 稳定的），但步长远大于

\tau

时放大因子接近 -1：该模态几乎不衰减，且每一步都改变符号，形成电路本身并不存在的逐步振铃。如无另行指定，ngspice 采用该方法积分

出处

Hairer & Wanner 1996, Sec. IV.3 (Stability Function of Implicit RK-Methods: the trapezoidal rule is A-stable, |R| tends to 1); derived here; The ngspice team, Ngspice User's Manual, .options, transient analysis: METHOD, trapezoidal by default

推导

sympy 逐步推导

公式 id

num.gain_tr · equations.yaml 条目

无论步长多大，其放大因子的绝对值都不超过 1，因此解不会发散；但当步长远大于该模态的时间常数（time constant）时，放大因子趋近 -1：该模态几乎不衰减，并在每个时间点翻转符号，形成电路中并不存在的振铃 [Hairer & Wanner 1996]。Gear 法所用的后向差分公式中，第一个就是后向欧拉法，它取每步终点的斜率：

g_\mathrm{BE} = \frac{1}{1 + \frac{\Delta t}{\tau}}

$g_\mathrm{BE}$: 后向欧拉法的每步放大因子
$\Delta t$: 时间步长（time step）
$\tau$: 时间常数（time constant）

后向欧拉法对衰减模态的每步放大因子✓ 经 8 项测试验证

假设、约定与出处

假设

单独一个衰减模态：其变化率等于偏差除以 tau 的负值（试验方程）
每一步的时间步长相同

备注

该方法取每步终点的斜率。任意步长下其放大因子都在 0 与 1 之间，且随步长增大趋于零（该方法是 L 稳定的）：比步长快得多的模态经过一步后几乎消失，且不产生振铃。它是后向差分公式（backward differentiation formula）中的第一个；当 .options method=gear 指定 Gear 法时，ngspice 使用这类公式，默认最高到第二个

出处

Hairer & Wanner 1996, Sec. IV.3 (implicit Euler is L-stable) and Ch. V (Multistep Methods for Stiff Problems: backward differentiation formulas, the first of which is implicit Euler); derived here; The ngspice team, Ngspice User's Manual, .options, transient analysis: METHOD=gear, and MAXORD, 2 by default

推导

sympy 逐步推导

公式 id

num.gain_be · equations.yaml 条目

其放大因子则趋于零，因此这种模态经过一步后几乎消失 [Hairer & Wanner 1996]；第二个公式也能在几步之内使其衰减殆尽 [Hairer & Wanner 1996, Ch. V]。

库中观察到的现象

在 ngspice 的默认设置下，即采用梯形法且相对容差为 0.001 时，库中的 DCM 反激变换器恰好表现出这种现象：二极管一停止导通，二次电流就在相邻两步之间围绕零来回振铃，漏极电压则摆到低于零约一千伏。在相同容差下改用 Gear 法可以消除振铃，但二极管导通结束时其电流仍会越过零点，漏极电压在那一瞬间下冲到低于零数十伏。采用 .options method=gear reltol=1e-4（库中每个网表和原理图都带有这一行）后，两者都消失了。

例题

时间常数为一纳秒的模态，以二十纳秒为步长计算：

刚性模态示例

符号	数值	求法
$\tau$ 时间常数（time constant）	1 ns	已知
$\Delta t$ 时间步长（time step）	20 ns	已知
$g_\mathrm{TR}$ 梯形法的每步放大因子	−0.818	梯形法对衰减模态的每步放大因子
$g_\mathrm{BE}$ 后向欧拉法的每步放大因子	0.0476	后向欧拉法对衰减模态的每步放大因子

梯形法每一步把该模态乘以 −0.818：十步之后仍剩下约七分之一，且其符号在每个时间点都翻转。后向欧拉法把它乘以 0.0476：两步之后剩下的不到四百分之一。

动手试试

▶ 在公式浏览器中打开：梯形法对衰减模态的每步放大因子
预设取自例题 num-stiff

扫描步长：放大因子在步长为时间常数的两倍处穿过零，步长更长时趋近 -1。

▶ 在公式浏览器中打开：后向欧拉法对衰减模态的每步放大因子
预设取自例题 num-stiff

后向欧拉法的放大因子则朝零减小。

实验练习

在实验台上捕获 DCM 变换器在二极管停止导通时的开关节点波形。那里的振铃是真实的：电感与开关节点处的电容一起振铃，频率由这些元件决定。对同一电路仿真两次：一次采用梯形法和较长的最大步长，另一次采用 Gear 法和足够短的最大步长，短到能分辨真实的振铃，即取振铃周期的一小部分。在每个时间点都来回交替、且随最大步长改变而移动的振铃是数值性的；频率保持不变的振铃属于电路本身，除实验台附加的损耗外，它应与实验台上的结果相符。

易错点

在每个时间点都翻转符号的振铃来自积分方法，而不是电路（梯形法的放大因子）。
Gear 法也会使其未能分辨的真实振铃衰减。对于无阻尼振荡，后向欧拉法的放大因子绝对值小于 1，而梯形法的恰好为 1 [Hairer & Wanner 1996]：除非步长相对于振铃周期很短，否则轻阻尼的 L-C 振铃在 Gear 法仿真中比在实际电路中衰减得更快。
更严格的容差是有代价的。它使步长变短、运行时间变长。库是为了 DCM 反激变换器的二极管关断而选用它的，并对所有算例一律采用。

测验

若网表未另行指定，ngspice 采用哪种积分方法？
1. 后向欧拉法
2. 梯形法
3. 前向欧拉法
4. Gear 法
答案与解析
正确答案：B 手册给出的 .options method 默认值是梯形法；Gear 法需要专门指定。
用梯形法以 20 ns 的步长计算时间常数为 1 ns 的模态。每一步把它乘以多少？
1. 约 0.05
2. 约 1
3. 约 -19
4. 约 -0.82
答案与解析
正确答案：D 步长的一半与时间常数之比为 10，放大因子为 (1 - 10)/(1 + 10)，即 -9/11：该模态保留其大部分幅度，并改变符号。
这个放大因子在仿真波形中表现为什么？
1. 在每个时间点都翻转符号的振铃
2. 缓慢的指数衰减
3. 一次阶跃
4. 什么也看不到：该模态太快，显示不出来
答案与解析
正确答案：A 接近 -1 的放大因子使该模态几乎不衰减，并在每个时间点翻转其符号：这是积分方法造成的振铃，而不是电路的振铃。
用后向欧拉法，即 Gear 法所用后向差分公式中的第一个，以 20 ns 的步长计算同一模态。它会怎样？
1. 在每个时间点振铃
2. 增长
3. 一两步之后几乎消失
4. 保持不衰减
答案与解析
正确答案：C 放大因子为 1/(1 + 20)，约为 0.05：两步之后，该模态剩下的不到四百分之一。
为什么 Gear 法仿真可能错误地表现轻阻尼的 L-C 振铃？
1. 它使振铃增长
2. 它使振铃频率加倍
3. 它无法仿真电感
4. 它会使步长未能精细分辨的振荡衰减，因此振铃比在实际电路中衰减得更快
答案与解析
正确答案：D 对于无阻尼振荡，后向欧拉法的放大因子绝对值小于 1，而梯形法的恰好为 1；步长较短时，两者的差别很小。
在 ngspice 的默认设置下，库中的 DCM 反激变换器表现出什么？
1. 二极管停止导通后，二次电流在相邻两步之间围绕零来回振铃，漏极电压远低于零
2. 正确的波形
3. 比预期更高的输出电压
4. 没有任何结果
答案与解析
正确答案：A 二极管关断后留下的快速模态在梯形法下振铃；采用 Gear 法并将相对容差设为 1e-4 后，振铃消失。

本站例题、预设和练习中的数值均为合成值：为教学而凑整的数值，并非来自任何实际设计的数据。